Geometria Analítica II

Question 1

Posições relativas entre a reta e a hipérbole

Answer 1

Fazer a intersecção entre a equação da reta e a da hipérbole.

• Δ = 0, 1 raiz, logo é tangente
• Δ > 0, 2 raízes, logo é secante
• Δ < 0, sem raízes |R, logo ∩ = Ø

Question 2

Posições relativas entre o ponto e a hipérbole

Answer 2

Aplicar as coordenadas do ponto na equação reduzida da hipérbole.

• = 1, pertence a hipérbole
• > 1, exterior a hipérbole
• < 1, interior a hipérbole

Question 3

Hipérbole: Equação reduzida

Answer 3

(X - Xc)²/a² - (Y - Yc)²/b² = 1 -> horizontal

(Y - Yc)²/a² - (X - Xc)²/b² = 1 -> vertical

Question 4

Excentricidade da hipérbole

Answer 4

e = c/a

Obs.: e > 1

Question 5

Algumas propriedades da hipérbole

Answer 5

Eixo real = 2a
Eixo imaginário = 2b
Distância focal f1 f2 = 2c
c² = a² + b²
|Pf1 - Pf2| = 2a
Equilátera -> a = b

Question 6

Posições relativas entre a reta e a elipse

Answer 6

Fazer a intersecção entre a equação da reta e a da elipse.

• Δ = 0, 1 raiz, logo é tangente
• Δ > 0, 2 raízes, logo é secante
• Δ < 0, sem raízes |R, logo é externa

Question 7

Posições relativas entre o ponto e a elipse

Answer 7

Pf1 + Pf2 = 2a -> ponto na elipse
Pf1 + Pf2 < 2a -> ponto dentro da elipse
Pf1 + Pf2 > 2a -> ponto fora da elipse
Obs.: Aplicar o ponto na equação reduzida da elipse

Question 8

Elipse: Equação reduzida

Answer 8

(X - Xc)²/a² + (Y - Yc)²/b² = 1 -> horizontal (deitada)

X - Xc)²/b² + (Y - Yc)²/a² = 1 -> vertical (em pé

Question 9

Algumas propriedades da elipse

Answer 9

Eixo maior = 2a
Eixo menor = 2b
Distância focal f1 f2 = 2c
a² = b² + c²
Pf1 + Pf2 = 2a

Question 10

Excentricidade da elipse

Answer 10

e = c/a

Obs.: 0 < e < 1

Question 11

O que é a Assíntota?

Answer 11

Reta a qual o gráfico da hipérbole se aproxima, mas nunca toca. As assíntotas contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.
Obs.: Na hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si.

Question 12

Equação das assíntotas?

Answer 12

y - yo = ± b/a (x - xo) -> horizontal

y - yo = ± a/b (x - xo) -> vertical

Question 13

Algumas propriedades da parábola

Answer 13

Reta diretriz (d)
Foco (F)
Vértice (xv; yv)
Parâmetro (p) = distância do F até a d
p/2 = distância do F ao centro ou do centro a d
Eixo de simetria

Question 14

Equações da parábola na vertical

Answer 14

(x - xv)² = 2p(y - yv) -> concavidade para cima

(x - xv)² = -2p(y - yv) -> concavidade para baixo

Question 15

Equações da parábola na horizontal

Answer 15

(y - yv)² = 2p(x - xv) -> concavidade para direita

(y - yv)² = -2p(x - xv) -> concavidade para esquerda

Question 16

Posições relativas entre o ponto e a parábola

Answer 16

Aplicar as coordenadas do ponto na equação da parábola.

• = o, pertence a parábola
• > 0, exterior a parábola
• < 0, interior a parábola

Question 17

Posições relativas entre a reta e a parábola

Answer 17

Fazer a intersecção entre a equação da reta e a da parábola.

• Δ = 0, 1 raiz, logo é tangente
• Δ > 0, 2 raízes, logo é secante
• Δ < 0, sem raízes |R, logo ∩ = Ø

Question 18

Reconhecimento de Cônicas a partir da equação geral:

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

Answer 18

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0
A = B -> circunferência
A ≠ B e sinais iguais -> elipse
A ≠ B e sinais diferentes -> hipérbole
Somente x² ou somente y² -> parábola
Cuidado: y² = x² -> é um par de retas