Maths : numération (disciplinaire) Flashcards
Ex 2 : Numération positionnelle en base autre que 10
Le tableau suivant donne des nombres écrits en base 10 et dans une base inconnue b.
Base 10 : 17 20 7 19 21 3 1
Base b : 10 1000 103
a. Déterminer la valeur de b.
L’écriture 103 ̅𝑏 = 19 permet d’écrire que:
1 × b² + 0 × b + 3 = 19.
D’où b² + 3 = 19
soit b² =16.
D’où b = 4
Ex 2 : Numération positionnelle en base autre que 10
Le tableau suivant donne des nombres écrits en base 10 et dans une base inconnue b.
Base 10 : 17 20 7 19 21 3 1
Base b : 10 1000 103
b) Compléter le tableau en passant d’une base 4 à une base 10 avec les nb suivants de la base4 : 10 et 1000.
Faire pareil en passant d’une base 10 à une base 4 avec les nb suivants : 1 ; 3 ; 7 ; 17 ; 20
Passer d’une base 4 à une base 10 :
10 (base4) = 1 × 4 + 0 = 4
et
1000 (base4) = 1 × 4(au cube) = 64
Pour passer d’une base 10 à une base 4 :
1 = 1(base4)
3 = 3(base4)
–> car la base 4 possède 4 chiffres.
7 = 1 × 4 + 3 = 13(base4)
–> car 1 dizaine de base 4 + 3 unités.
17 : on fait des divisions successives par 4.
17/4 –> reste 1, quotient 4
on prend le quotient précédent qu’on divise encore par 4.
4/4 –> reste 0, quotient 1
Le résultat est 101(base4) :
on prend le dernier quotient et les 2 derniers restes.
Pour 20 : on fait la même chose.
20/4 –> reste 0, quotient 5
5/4 –> reste 1, quotient 1
Le résultat est donc 110(base4).
Quel est le successeur et le précédecésseur de :
ABCD(base14)
2830(base11)
689(base12)
ABCD base 14
ABCC|ABD0
2830 base 11
282A|2831
689 base 12
688|68A
Écrire chacun des nombres dans la base indiquée :
40314(base5) en base 10
30 015 (en base 16)
2AB5 (base 12) en base 10
256 en base 2
555 en base 7
2222 (base3) en base 9
Attention à utiliser la multipli si on veut en base 10
40314 (base5) en base 10 :
5(petit4) x 4 + 5(petit3) x 0 + 5(petit2) x 3 + 5 x 1 + 4 = 2584 (base10)
30 015 en base 16 :
divisions successives
30 015 / 16 reste 15 ; quotient 1875
1875 /16 reste 3 ; quotient 117
117/16 reste 5 ; quotient 7
= 753F(petit16)
2AB5(base12) en base 10 :
2AB5(base12) = 2 x 12(petit3) + 10 x 12(petit2) + 11 x 12 + 5
= 5033 en base 10
256 en base 2 :
256/2 = reste 0 ; quotient 128
128/2 = reste 0 : quotient 64
64/2 = reste 0 : quotient 32
32/2 = reste 0 : quotient 16
16/2 = reste 0 : quotient 8
8/2 = reste 0 : quotient 4
4/2 = reste 0 : quotient 2
2/2 = reste 0 ; quotient 1
= 10000000(base2)
555 en base 7 :
Le nombre 555 s’écrit 1422(base7) en base 7
2222(base 3) en base 9 :
On peut convertir ce nombre en base 10 :
2222 ̅̅̅̅̅̅̅3= 𝟐 × 3(petit3) + 𝟐 × 3(petit2) + 2 × 3 + 𝟐 = 80
Une fois le résultat obtenu en base 10, le convertir en base 9 :
Par les divisions successives habituelles
= 88(base9)
Caractéristiques de la numération romaine
Caractéristiques :
- Système additif
- Pas de symbole désignant 0
- N’est pas positionnel, la valeur d’un symbole ne varie pas selon sa position
Caractéristiques de la numération égyptienne
Caractéristiques :
- Système de numération de base 10 (aussi appelé système décimal)
- Additif
- Sans 0
- N’est pas un système positionnel car la positon des symboles n’a pas d’importance)
Caractéristiques de la numération maya
La numération maya :
- système positionnel : la valeur des symboles dépend de leur positon
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
Quelle conjecture peut-on faire sur la différence entre un nombre et son retourné ?
On peut conjecturer que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de 9.
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
On note 𝑁 le nombre choisi, u son chiffre des unités et d son chiffre des dizaines. a. Exprimer 𝑁 en fonction de d et u.
N = 10d + u
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
Exprimer le « retourné » 𝑅 du nombre choisi en fonction de d et u.
𝑅 = 10𝑢 + d
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
Montrer que la différence 𝑁 – 𝑅 est égale à 9(𝑑 − 𝑢).
𝑁 − 𝑅 = 10𝑑 + 𝑢 − 10𝑢 − 𝑑
𝑁 − 𝑅 = 9𝑑 − 9𝑢
𝑁 − 𝑅 = 9(𝑑 − 𝑢)
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
En déduire que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de 9.
Les deux nombres d et u étant des entiers, leur différence est un entier.
Le nombre 𝑁 − 𝑅 s’écrit comme le produit de 9 par un entier,
c’est bien la définition d’un multiple de 9.
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
Pour obtenir une différence 𝑁– 𝑅 égale à 63, quels nombres est-il possible de choisir au départ ? Donner l’ensemble des solutions.
Remarquons que si 𝑁 − 𝑅 = 63, alors N > R.
Soit à résoudre l’équation : 𝑁 − 𝑅 = 9(𝑑 − 𝑢) = 63
Les deux dernières égalités donnent : 𝑑 − 𝑢 = 63/9 = 7.
Alors 𝑑 = 𝑢 + 7
Comme u et d sont des chiffres de la base 10, ce sont des entiers compris entre 0 et 9, on ne peut donc pas ajouter plus de 2 à u (sinon d vaudrait 10 ou plus).
On en conclut que u est un entier compris entre 0 et 2. Cherchons tous les cas possibles à l’aide d’un tableau :
u : 0 1 2
d : 7 8 9
N = 10d + u : 70 81 92
R = 10u + d : 07 18 29
N – R : 63 63 63
Il y a donc trois solutions possibles pour N : 70, 81 et 92.
On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18
Pour obtenir une différence 𝑁 – 𝑅 égale à 56 quels nombres est-il possible de choisir au départ ? Donner l’ensemble des solutions.
56 n’étant pas un multiple de 9, il n’est pas possible de trouver un entier et son retourné tels que leur différence soit de 56, puisqu’on a démontré en question d. que cette différence est toujours un multiple de 9. Il n’y a donc pas de solution.
Scratch : On décide d’entrer le nombre 7. Montrer que le résultat obtenu est 64.
x est mis à (réponse : 7)
y est mis à (réponse :7) + 2 = 9
Le résultat est 7 × 9 + 1 = 64
Scratch : On choisit 19 comme nombre de départ. Quel est alors le résultat ?
X est mis à …
Y est mis à … + 2 = 21
Le résultat est … x 21 + 1 = 400
x est mis à (réponse :19)
y est mis à (réponse : 19) + 2 = 21
Le résultat est 19 × 21 + 1 = 400.
Scratch : Démontrer que quel que soit le nombre impair choisi au départ, le résultat est toujours le carré d’un nombre et un multiple de 4.
Soit 2𝑛 + 1 le nombre impair choisi au départ (avec n un entier naturel quelconque).
x est mis à 2𝑛 + 1
y est mis à 2𝑛 + 1 + 2 = 2𝑛 + 3
Le résultat est :
(2𝑛 + 1) × (2𝑛 + 3) + 1
= 4𝑛 2 + 6𝑛 + 2𝑛 + 3 + 1
= 4𝑛² + 8𝑛 + 4.
Ce nombre peut s’écrire sous la forme 4(𝑛 2 + 2𝑛 + 1)
donc c’est un multiple de 4 puisqu’il peut s’écrire comme le produit de 4 par un entier naturel.
Ce nombre peut également s’écrire (on reconnaît une identité remarquable) sous la forme (2𝑛 + 2)² donc c’est le carré d’un entier naturel.
Programme de calcul (CRPE 2019) 1. Pour tout nombre entier n, montrer que 30n + 25 est divisible par 5
Un nombre est divisible par 5 si on peut le mettre sous la forme : 5 x p, où p est un entier.
Ici on a : 30𝑛 + 25 = 5x(6𝑛 + 5)
(6𝑛 + 5) est un nombre entier, comme produit et somme de nombres tous entiers, donc on en déduit que 30n + 25 est divisible par 5.
Voici un programme de calcul :
• Choisir un nombre entier
• Multiplier par 3
• Ajouter 5
• Élever au carré
• Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ
a. Montrer que ce programme a pour résultat 265 si le nombre entier choisi est 8. Les calculs seront détaillés.
Suivons le programme pas à pas :
- Choisir un nombre entier : 8
- Multiplier par 3 : 8 x 3 = 24
- Ajouter 5 : 24 + 5 = 29
- Élever au carré : 29² = 841
- Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ :
841 – 9 x 8²
= 841– 576
= 265
On obtient 265.
Voici un programme de calcul :
• Choisir un nombre entier
• Multiplier par 3
• Ajouter 5
• Élever au carré
• Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ
Montrer que le résultat de ce programme de calcul, quel que soit le nb de départ, est divisible par 5
On nomme n le nombre entier que l’on entre dans le programme. Écrivons les calculs effectués en fonction de n :
- Choisir un nombre entier : n
- Multiplier par 3 : n x 3 = 3n
- Ajouter 5 : 3n + 5
- Élever au carré :
(3n + 5)²
= (3n)² + 2 x 3n x 5 + 5²
= 9n² + 30n + 25
- Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ :
9n² + 30n + 25 – 9n²
= 30n + 25
Le résultat du programme de calcul donne 30n + 25, si l’on a entré le nombre entier n.
Or, on a montré en question 1 que pour tout nombre entier n, 30n + 25 est divisible par 5. Donc le résultat du programme de calcul est bien divisible par 5.
Affirmation 1 : Le nombre 157 est un nombre premier
Utilisons le théorème suivant :
« Si un nombre n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à sa racine carrée, alors il est premier. Dans le cas contraire, c’est un nombre composé. ».
La racine carrée de 157 vaut environ √157 ≈ 12,5.
La liste des nombres premiers inférieurs à cette racine est : 2, 3, 5, 7, 11.
À la calculatrice, on vérifie que 157 n’est divisible par aucun de ses nombres (tous les quotients obtenus ne sont pas des entiers).
Si la calculatrice ne réagit pas, on en déduit que 157 est un nombre premier.
L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : Le nombre 437 est un nombre premier.
Utilisons le même théorème que précédemment.
La racine carrée de 437 vaut environ √437 ≈ 20,9.
La liste des nombres premiers inférieurs à cette racine est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
À la calculatrice, on trouve que 437 = 19 × 23.
Donc 437 est divisible par 19 et par 23.
Il n’admet pas seulement 1 et lui-même comme diviseurs. L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3 : Le nombre 4 700 001 est un nombre premier. Utilisons le critère de divisibilité par 3
la somme des chiffres de 4 700 001 est 12 et 12 est divisible par 3 donc 4 700 001 aussi.
3 étant un diviseur de 4 700 001, ce n’est pas un nombre premier car il n’admet pas seulement 1 et lui-même comme diviseurs.
L’affirmation 3 est fausse.
Affirmation 4 : La somme de deux nombres premiers est un nombre premier
L’affirmation 4 est fausse.
Voici un contre-exemple : 2 et 7 sont des nombres premiers et cependant 2 + 7 = 9 n’en est pas un.
En effet, 9 est divisible par 1, 3 et 9.
