Maths : numération (disciplinaire)

Question 1

Ex 2 : Numération positionnelle en base autre que 10
Le tableau suivant donne des nombres écrits en base 10 et dans une base inconnue b.
Base 10 : 17 20 7 19 21 3 1
Base b : 10 1000 103

a. Déterminer la valeur de b.

Answer 1

L’écriture 103 ̅𝑏 = 19 permet d’écrire que:
1 × b² + 0 × b + 3 = 19.
D’où b² + 3 = 19
soit b² =16.
D’où b = 4

Question 2

Ex 2 : Numération positionnelle en base autre que 10
Le tableau suivant donne des nombres écrits en base 10 et dans une base inconnue b.
Base 10 : 17 20 7 19 21 3 1
Base b : 10 1000 103

b) Compléter le tableau en passant d’une base 4 à une base 10 avec les nb suivants de la base4 : 10 et 1000.

Faire pareil en passant d’une base 10 à une base 4 avec les nb suivants : 1 ; 3 ; 7 ; 17 ; 20

Answer 2

Passer d’une base 4 à une base 10 :
10 (base4) = 1 × 4 + 0 = 4
et
1000 (base4) = 1 × 4(au cube) = 64

Pour passer d’une base 10 à une base 4 :
1 = 1(base4)
3 = 3(base4)
–> car la base 4 possède 4 chiffres.
7 = 1 × 4 + 3 = 13(base4)
–> car 1 dizaine de base 4 + 3 unités.

17 : on fait des divisions successives par 4.
17/4 –> reste 1, quotient 4
on prend le quotient précédent qu’on divise encore par 4.
4/4 –> reste 0, quotient 1
Le résultat est 101(base4) :
on prend le dernier quotient et les 2 derniers restes.

Pour 20 : on fait la même chose.
20/4 –> reste 0, quotient 5
5/4 –> reste 1, quotient 1
Le résultat est donc 110(base4).

Question 3

Quel est le successeur et le précédecésseur de :
ABCD(base14)
2830(base11)
689(base12)

Answer 3

ABCD base 14
ABCC|ABD0

2830 base 11
282A|2831

689 base 12
688|68A

Question 4

Écrire chacun des nombres dans la base indiquée :
40314(base5) en base 10
30 015 (en base 16)
2AB5 (base 12) en base 10
256 en base 2
555 en base 7
2222 (base3) en base 9

Attention à utiliser la multipli si on veut en base 10

Answer 4

40314 (base5) en base 10 :
5(petit4) x 4 + 5(petit3) x 0 + 5(petit2) x 3 + 5 x 1 + 4 = 2584 (base10)

30 015 en base 16 :
divisions successives
30 015 / 16 reste 15 ; quotient 1875
1875 /16 reste 3 ; quotient 117
117/16 reste 5 ; quotient 7
= 753F(petit16)

2AB5(base12) en base 10 :
2AB5(base12) = 2 x 12(petit3) + 10 x 12(petit2) + 11 x 12 + 5
= 5033 en base 10

256 en base 2 :
256/2 = reste 0 ; quotient 128
128/2 = reste 0 : quotient 64
64/2 = reste 0 : quotient 32
32/2 = reste 0 : quotient 16
16/2 = reste 0 : quotient 8
8/2 = reste 0 : quotient 4
4/2 = reste 0 : quotient 2
2/2 = reste 0 ; quotient 1
= 10000000(base2)

555 en base 7 :
Le nombre 555 s’écrit 1422(base7) en base 7

2222(base 3) en base 9 :
On peut convertir ce nombre en base 10 :
2222 ̅̅̅̅̅̅̅3= 𝟐 × 3(petit3) + 𝟐 × 3(petit2) + 2 × 3 + 𝟐 = 80
Une fois le résultat obtenu en base 10, le convertir en base 9 :
Par les divisions successives habituelles
= 88(base9)

Question 5

Caractéristiques de la numération romaine

Answer 5

Caractéristiques :
- Système additif
- Pas de symbole désignant 0
- N’est pas positionnel, la valeur d’un symbole ne varie pas selon sa position

Question 6

Caractéristiques de la numération égyptienne

Answer 6

Caractéristiques :
- Système de numération de base 10 (aussi appelé système décimal)
- Additif
- Sans 0
- N’est pas un système positionnel car la positon des symboles n’a pas d’importance)

Question 7

Caractéristiques de la numération maya

Answer 7

La numération maya :
- système positionnel : la valeur des symboles dépend de leur positon

Question 8

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

Quelle conjecture peut-on faire sur la différence entre un nombre et son retourné ?

Answer 8

On peut conjecturer que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de 9.

Question 9

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

On note 𝑁 le nombre choisi, u son chiffre des unités et d son chiffre des dizaines. a. Exprimer 𝑁 en fonction de d et u.

Answer 9

N = 10d + u

Question 10

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

Exprimer le « retourné » 𝑅 du nombre choisi en fonction de d et u.

Answer 10

𝑅 = 10𝑢 + d

Question 11

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

Montrer que la différence 𝑁 – 𝑅 est égale à 9(𝑑 − 𝑢).

Answer 11

𝑁 − 𝑅 = 10𝑑 + 𝑢 − 10𝑢 − 𝑑
𝑁 − 𝑅 = 9𝑑 − 9𝑢
𝑁 − 𝑅 = 9(𝑑 − 𝑢)

Question 12

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

En déduire que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de 9.

Answer 12

Les deux nombres d et u étant des entiers, leur différence est un entier.
Le nombre 𝑁 − 𝑅 s’écrit comme le produit de 9 par un entier,

c’est bien la définition d’un multiple de 9.

Question 13

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

Pour obtenir une différence 𝑁– 𝑅 égale à 63, quels nombres est-il possible de choisir au départ ? Donner l’ensemble des solutions.

Answer 13

Remarquons que si 𝑁 − 𝑅 = 63, alors N > R.

Soit à résoudre l’équation : 𝑁 − 𝑅 = 9(𝑑 − 𝑢) = 63

Les deux dernières égalités donnent : 𝑑 − 𝑢 = 63/9 = 7.
Alors 𝑑 = 𝑢 + 7

Comme u et d sont des chiffres de la base 10, ce sont des entiers compris entre 0 et 9, on ne peut donc pas ajouter plus de 2 à u (sinon d vaudrait 10 ou plus).

On en conclut que u est un entier compris entre 0 et 2. Cherchons tous les cas possibles à l’aide d’un tableau :

u : 0 1 2
d : 7 8 9
N = 10d + u : 70 81 92
R = 10u + d : 07 18 29
N – R : 63 63 63

Il y a donc trois solutions possibles pour N : 70, 81 et 92.

Question 14

On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son « retourné » le nombre obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre choisi : 43 ; 57 ; 52 ; 60 ; 16
Nombre retourné : 34 ; 75
Différence entre le nombre choisi et son « retourné » 9 ; -18

Pour obtenir une différence 𝑁 – 𝑅 égale à 56 quels nombres est-il possible de choisir au départ ? Donner l’ensemble des solutions.

Answer 14

56 n’étant pas un multiple de 9, il n’est pas possible de trouver un entier et son retourné tels que leur différence soit de 56, puisqu’on a démontré en question d. que cette différence est toujours un multiple de 9. Il n’y a donc pas de solution.

Question 15

Scratch : On décide d’entrer le nombre 7. Montrer que le résultat obtenu est 64.

Answer 15

x est mis à (réponse : 7)
y est mis à (réponse :7) + 2 = 9
Le résultat est 7 × 9 + 1 = 64

Question 16

Scratch : On choisit 19 comme nombre de départ. Quel est alors le résultat ?

X est mis à …
Y est mis à … + 2 = 21
Le résultat est … x 21 + 1 = 400

Answer 16

x est mis à (réponse :19)
y est mis à (réponse : 19) + 2 = 21
Le résultat est 19 × 21 + 1 = 400.

Question 17

Scratch : Démontrer que quel que soit le nombre impair choisi au départ, le résultat est toujours le carré d’un nombre et un multiple de 4.

Answer 17

Soit 2𝑛 + 1 le nombre impair choisi au départ (avec n un entier naturel quelconque).
x est mis à 2𝑛 + 1
y est mis à 2𝑛 + 1 + 2 = 2𝑛 + 3
Le résultat est :
(2𝑛 + 1) × (2𝑛 + 3) + 1
= 4𝑛 2 + 6𝑛 + 2𝑛 + 3 + 1
= 4𝑛² + 8𝑛 + 4.

Ce nombre peut s’écrire sous la forme 4(𝑛 2 + 2𝑛 + 1)
donc c’est un multiple de 4 puisqu’il peut s’écrire comme le produit de 4 par un entier naturel.

Ce nombre peut également s’écrire (on reconnaît une identité remarquable) sous la forme (2𝑛 + 2)² donc c’est le carré d’un entier naturel.

Question 18

Programme de calcul (CRPE 2019) 1. Pour tout nombre entier n, montrer que 30n + 25 est divisible par 5

Answer 18

Un nombre est divisible par 5 si on peut le mettre sous la forme : 5 x p, où p est un entier.

Ici on a : 30𝑛 + 25 = 5x(6𝑛 + 5)

(6𝑛 + 5) est un nombre entier, comme produit et somme de nombres tous entiers, donc on en déduit que 30n + 25 est divisible par 5.

Question 19

Voici un programme de calcul :
• Choisir un nombre entier
• Multiplier par 3
• Ajouter 5
• Élever au carré
• Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ

a. Montrer que ce programme a pour résultat 265 si le nombre entier choisi est 8. Les calculs seront détaillés.

Answer 19

Suivons le programme pas à pas :
- Choisir un nombre entier : 8
- Multiplier par 3 : 8 x 3 = 24
- Ajouter 5 : 24 + 5 = 29
- Élever au carré : 29² = 841
- Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ :
841 – 9 x 8²
= 841– 576
= 265

On obtient 265.

Question 20

Voici un programme de calcul :
• Choisir un nombre entier
• Multiplier par 3
• Ajouter 5
• Élever au carré
• Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ

Montrer que le résultat de ce programme de calcul, quel que soit le nb de départ, est divisible par 5

Answer 20

On nomme n le nombre entier que l’on entre dans le programme. Écrivons les calculs effectués en fonction de n :
- Choisir un nombre entier : n
- Multiplier par 3 : n x 3 = 3n
- Ajouter 5 : 3n + 5
- Élever au carré :
(3n + 5)²
= (3n)² + 2 x 3n x 5 + 5²
= 9n² + 30n + 25
- Soustraire 9 fois le carré du nombre de départ :
9n² + 30n + 25 – 9n²
= 30n + 25

Le résultat du programme de calcul donne 30n + 25, si l’on a entré le nombre entier n.
Or, on a montré en question 1 que pour tout nombre entier n, 30n + 25 est divisible par 5. Donc le résultat du programme de calcul est bien divisible par 5.

Question 21

Affirmation 1 : Le nombre 157 est un nombre premier

Answer 21

Utilisons le théorème suivant :
« Si un nombre n’est divisible par aucun nombre premier inférieur à sa racine carrée, alors il est premier. Dans le cas contraire, c’est un nombre composé. ».

La racine carrée de 157 vaut environ √157 ≈ 12,5.
La liste des nombres premiers inférieurs à cette racine est : 2, 3, 5, 7, 11.

À la calculatrice, on vérifie que 157 n’est divisible par aucun de ses nombres (tous les quotients obtenus ne sont pas des entiers).
Si la calculatrice ne réagit pas, on en déduit que 157 est un nombre premier.

L’affirmation 1 est vraie.

Question 22

Affirmation 2 : Le nombre 437 est un nombre premier.

Answer 22

Utilisons le même théorème que précédemment.
La racine carrée de 437 vaut environ √437 ≈ 20,9.
La liste des nombres premiers inférieurs à cette racine est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
À la calculatrice, on trouve que 437 = 19 × 23.
Donc 437 est divisible par 19 et par 23.

Il n’admet pas seulement 1 et lui-même comme diviseurs. L’affirmation 2 est fausse.

Question 23

Affirmation 3 : Le nombre 4 700 001 est un nombre premier. Utilisons le critère de divisibilité par 3

Answer 23

la somme des chiffres de 4 700 001 est 12 et 12 est divisible par 3 donc 4 700 001 aussi.
3 étant un diviseur de 4 700 001, ce n’est pas un nombre premier car il n’admet pas seulement 1 et lui-même comme diviseurs.

L’affirmation 3 est fausse.

Question 24

Affirmation 4 : La somme de deux nombres premiers est un nombre premier

Answer 24

L’affirmation 4 est fausse.
Voici un contre-exemple : 2 et 7 sont des nombres premiers et cependant 2 + 7 = 9 n’en est pas un.
En effet, 9 est divisible par 1, 3 et 9.

Question 25

Soit n un nombre entier positif.

Affirmation 5 : Si n est un nombre premier, alors n +1 n’est pas premier.

Answer 25

L’affirmation 5 est fausse.
Voici un contre-exemple : 2 est un nombre premier et 2 + 1 = 3 en est également un.

Question 26

Affirmation 6 : La somme de deux nombres premiers peut parfois être un nombre premier

Answer 26

L’affirmation 6 est vraie.
Par exemple, si on choisit 2 et 3 comme nombres premiers, 2 + 3 = 5 est aussi un nombre premier.

Question 27

Affirmation 7 : Le carré d’un nombre premier est parfois un nombre premier.

Answer 27

L’affirmation 7 est fausse.
En effet, le carré d’un nombre premier n ne peut jamais être un nombre premier, puisqu’il admet trois diviseurs : 1, n et n².

Question 28

Affirmation 8 (CRPE 2018) : 126 possède exactement 10 diviseurs.

Answer 28

Faux, il en possède 12.
Il est divisible par 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 et 126

Par 1 car 1 x 126 = 126
Par 2 car 2 x 63 = 126
Par 3 car 3 x 42 = 126
Par 6 car 6 x 21 = 126
…
Par 126 car 126 x 1 = 126

Question 29

Exercice 6 – Les confiseries Jacques est confiseur et veut réaliser des assortiments de lirettes au chocolat et de contettes au praliné. Il a fabriqué 1386 lirettes et 308 contettes.

Il veut faire des sachets de la manière suivante :
- chaque sachet contient le même nombre de lirettes ;
- chaque sachet contient le même nombre de contettes ;
- toutes les confiseries doivent être contenues dans les sachets.

Combien de sachets peut-il réaliser au maximum ?

Answer 29

Étant donné qu’il ne doit pas rester de confiseries, le nombre de sachets est un diviseur à la fois de 1386 et de 308.

1) On cherche le plus grand nombre de sachets possible :
il faut donc chercher le PGCD de 1386 et de 308.
1386 = 2 x 3² x 7 x 11
308 = 2 ² x 7 x 11

Le PGCD s’obtient en effectuant le produit des facteurs communs aux deux décompositions des nombres en facteurs premiers. PGCD(1386, 308) = 2 x 7 x 11 = 154

Le nombre maximal de sachets que Jacques peut réaliser est 154. Remarque : 1386 = 154 x 9 : chaque sachet contient 9 lirettes.
308 = 154 x 2 : chaque sachet contient 2 contettes

Question 30

Soit N un nombre entier compris entre 100 et 999.
N s’écrit sous la forme 𝑁 = 𝑎 × 100 + 𝑏 × 10 + 𝑐,
où a, b et c sont des entiers compris entre 0 et 9.

Démontrer que si le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités est divisible par 4 alors N est divisible par 4.

Par exemple, pour 732, comme 32 est divisible par 4 alors 732 est divisible par 4.

Answer 30

Le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités s’écrit 𝑏 × 10 + 𝑐.

Si ce nombre est divisible par 4, il est un multiple de 4 et il existe un nombre entier k vérifiant :
𝑏 × 10 + 𝑐
= 4 × 𝑘.

(Par exemple, si b x 10 + c = 84, alors k = 21 car 4 x 21 = 84.)

Alors 𝑁
= 𝑎 × 100 + (𝑏 × 10 + 𝑐)
= 𝑎 × 100 + 4 × 𝑘
= 4 × 25 × 𝑎 + 4 × 𝑘
= 4 × (25𝑎 + 𝑘)

Le nombre N est le produit de 4 par un nombre entier (25a + k est entier, comme produit et somme d’entiers) donc N est divisible par 4.

Question 31

L’entier 4 216 est-il un multiple de 17 ? Justifier.

Answer 31

4 216 = 17 × 248
donc l’entier 4 216 est un multiple de 17

Question 32

Rappeler le critère de divisibilité par 3.

Answer 32

Un nombre est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou multiple de 3)

Question 33

229_

Donner toutes les valeurs possibles du chiffre des unités (manquant) en utilisant le critère de divisibilité par 3.

Answer 33

Un nombre est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou multiple de 3).

2 + 2 + 9 = 13.

Le chiffre des unités est un nombre entier compris entre 0 et 9.

Le chiffre des unités peut être 2, 5 ou 8.
2 car (2+2+9) +2 = 15 et 15 est divisible par 3
5 car (2+2+9) +5 = 18 et 18 est divisible par 3
…

Question 34

3. On admet qu’un nombre entier n est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est un multiple 7, positif ou négatif.

Par exemple, 294 est divisible par 7 car 29 – 4 × 2 = 21, et 21 est divisible par 7.

a. En détaillant les étapes, vérifier que 413 est bien divisible par 7 en utilisant le critère indiqué ci-dessus.

Answer 34

Le nombre de dizaines de 413 est 41
car 413 = 41 × 10 + 3

et le chiffre des unités de 413 est 3.

Or, 41 − 3 × 2 = 35
et 35 = 7 × 5 est divisible par 7.

D’après le critère, 413 est divisible par 7.

Question 35

3. On admet qu’un nombre entier n est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est un multiple 7, positif ou négatif.

Par exemple, 294 est divisible par 7 car 29 – 4 × 2 = 21, et 21 est divisible par 7.

Answer 35

Le nombre de dizaines de 5 292 est 529 et son chiffre des unités est 2.

De plus, 529 − 2 × 2 = 525.
Le nombre de dizaines de 525 est 52 et son chiffre des unités est 5.

De plus, 52 − 5 × 2
= 42.
Or, 42 = 7 × 6 est divisible par 7.

D’après le critère, 5 292 est divisible par 7

Question 36

L’abscisse (x) c’est

Answer 36

L’antécédent

Question 37

L’ordonnée/image c’est..