Maths Geometrie Plane (2) Flashcards
Affirmation 3 : Le triangle ABC avec :
AB = 6,4 m,
BC = 4,8 m
AC = 8 m
est rectangle en B.
Vrai ou faux ?
La réciproque du théorème de Pythagore, pour trouver si un triangle est rectangle.
D’une part : AB ² + BC ² = 6,4 ² + 4,8 ² = 64
De l’autre : AC ² = 8 ² = 64
On a l’égalité AB ² + BC ² = AC ²
donc le triangle ABC est rectangle en B.
On considère un triangle IJK où on sait que :
On sait que : M appartient à [IJ] et L appartient à [IK]
IM = 0,8 ;
IL = 1,6 ;
LK = 2,4 ;
IJ = 2
Affirmation 4 : Les droites (ML) et (KJ) sont paralleles. Vrai ou faux ?
Pour démontrer que 2 droites sont parallèles dans un triangle, on calcule les rapports suivants :
D’une part : IM/IJ = 0,8/2 = 0,4
D’autre part : IL/IK = 1,6/1,6+2,4 = 0,4
Donc : IM/IJ = IL/IK
De plus, les points I, M et J sont alignés dans le même ordre que I, L et K donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (LM) et (KJ) sont paralleles.
L’affirmation est vraie.
En figure 4, on considère le triangle ABC.
Soit S le milieu de [AB] et K le milieu de [SC].
Soit D le point d’intersection de (AK) et (BC).
La parallèle à (AK) passant par S coupe (BC) en E.
Affirmation 5: BE = ED = DC = BC/3
Vrai ou faux
D’une part :
Dans le triangle SEC :
(SE) est parallèle à (AK) donc à (KD) puisque A, K, D sont alignés.
Or, d’après le théorème des milieux : La droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
Donc D est le milieu de [EC] et ED = DC.
D’autre part :
Dans le triangle ABD,
(SE) est parallèle à (AK) donc à (AD).
On sait aussi que S est le milieu de [AB]
Or, d’après le théorème des milieux : La droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
Donc E est le milieu de [BD]et BE = ED.
On en déduit que BE = ED = DC.
Le segment [BC] est bien partagé en trois segments égaux et BE = ED = DC = BC/3
Donc l’affirmation est vraie.
Figure 5
ABC est un triangle,
D et E sont des points des côtés [AB] et [AC] tels que :
ADE est une sous-figure ou ADE est rectangle en E.
AD = 9 cm,
DB = 6 cm,
AC = 10 cm,
EC = 4 cm
Affirmation 6 : Le triangle ABC est rectangle en C.
Vrai ou faux
Utilisons la réciproque du théorème de Thales.
Pour savoir si ABC es rectangle en C, on voit si ED et BC sont parallèles
On sait que :
A, E, C d’une part et À, D, B sont alignés d’autre part, dans le même ordre.
D’une part : AD / AB = 9 / 9+6 = 3/5
D’autre part : AE / AC = 10-4 / 10 = 3/5
Donc : AD/AB = AE/AC
D’après la réciproque du théorème de thales, le droites ED et BC sont parallèles.
En effet, comme la droite ED est perpendiculaire à AC alors CB est perpendiculaire à AC.
Que signifie construire L’image T3 du triangle T1 par la symétrie ortogonale d’axe (d).
Cela signifie que l’on a une figure (T1) d’un côté d’un axe de symétrie (d) et que l’on doit reproduire la même de l’autre côté (comme un enfant de CE2)
(C’est le plus simple)
Que signifie construire l’image T4 du triangle T2 par la translation de vecteur BC.
On prend un point de notre triangle T2 ( par ex le point A), on positionne le point B notre vecteur BC sur le point A. Le point C du vecteur BC sera le nouveau point A’ du triangle T4.
Attention à bien prendre le même sens que le vecteur. Par ex, si le vecteur BC part en haut à droite, on va bien vers le haut à droite.
Refaire la même chose avec les 2 autres points.
Que signifie construire l’image T5 du triangle T1 par la symétrie centrale de centre E.
Sachant que T1 ne touche pas E.
Symétrie centrale = comme un manège (les objets touchent pas le centre)
On ne s’occupe pas de l’axe de symétrie d.
On s’occupe que du centre de symétrie E.
T5 est le même que T1 mais en inversé.
Que signifie construire L’image T6 du triangle T1 par la rotation de centre D et d’angle 90° dans le sens indirect.
La pointe de T1 (C) touche D en bas.
Les points A et B de T1 partent vers le haut à droite et à gauche.
On ne s’occupe pas de l’axe de symétrie (d) mais du point D.
Rotation : comme la rotation des palmes d’une éolienne.
Sens indirect = sens des aiguilles d’une montre.
D’angle 90° = on descend vers la droite de D (sens indirect) jusqu’à avoir 90° entre AB et AB’
Le construire de la même façon avec la pointe sur le centre D.
On fait pareil pour les autres côtés AC et BC.
La figure ci-contre représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l’hexagone ci-dessus. On a numéroté certains de
ces hexagones.
Voir photo sur tel
Quelle est l’image de l’hexagone 14 par la translation qui transforme l’hexagone 2 en l’hexagone 12 ?
La translation a pour vecteur AB (flèche sur le dessus)
L’image de l’hexagone 14 est l’hexagone 19
Ce panneau routier indique une descente dont la pente est de 10%.
Cela signifie que pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 10 mètres.
- Déterminer la mesure de l’angle BCA que fait la route avec l’horizontale.
Arrondir la réponse au degré.
Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique les formules de trigonometrie.
Tan BCA = 100/10 = 0,1
D’où BCA = 5,7° soit 6°
- Dans certains pays, il arrive parfois que la pente d’une route ne solt pas donnée par un pourcentage, mais par une indication du rationtelle que « 1:5 », ce qui veut alors dire que pour un déplacement horizontal de 5 mètres, le dénivelé est de 1 mètre.
Lequel des deux panneaux ci-dessous indique la pente la plus forte ?
Panneau A : pente à 15%
Panneau B : pente à 1 : 5
Pour le panneau A, la pente est de 15% donc pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 15 mètres.
Pour le panneau B, pour un déplacement horizontal de 5 mètres, le dénivelé est de 1 mètre. Donc pour un déplacement horizontal de 5 ×20 = 100 mètres, le dénivelé est de 1 x20 = 20 mètres.
C’est donc le panneau B qui indique la pente la plus forte.
Exercice 5 :
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures.
Les distances OA, AB, BC, CD et DE sont toutes égales entre elles.
Voir photos
Quel est le rapport de l’homothétie de centre O qui permet d’obtenir la figure C à partir de la figure A ?
Le rapport de l’homothétie de centre O qui permet d’obtenir la figure C à partir de la figure A est 3 puisque l’on a :
OC= 3 x OA.
De plus, le point C est sur la demi-droite [OA) donc le rapport de l’homothétie est positif.
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures. Les distances OA, AB, BC, CD et DE sont
toutes égales entre elles.
Voir photos
- On applique l’homothétie de centre O et de rapport 3/5 à la figure E. Quelle figure obtient-on
Si on applique l’homothétie de centre O et de rapport 3/5 à la figure E, alors le point E se transforme en le point E’
tel que 0E’ = 3/5 x OE
Or, 3/5 x OE = OC.
la figure obtenue est la figure C.
Exercice 5
Avec un logiciel de géométrie dynamique, on a construit la figure A. En appliquant à la figure A des homothéties de centre O et de rapports différents, on a ensuite obtenu les autres figures. Les distances OA, AB, BC, CD et DE sont
toutes égales entre elles.
Quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure A?
Voir photos
Si une figure a une aire 4 fois plus grande que la figure A, ses dimensions ont été multipliées par 2, car ainsi, les aires le sont par 2 ²= 4.
On en déduit que c’est la figure B qui a une aire 4 fois plus grande que la figure A.
En effet, le rapport d’homothétie permettant de passer de la figure A à la figure B est 2 puisque OB = 2 x OA et le point B est sur la demi-droite [OA).
Exercice 6 :
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.
- Déterminer le centre de l’homothétie et le placer sur le schéma ci-dessus.
Voir photos
Notons O le centre de l’homothétie.
On sait que le centre de l’homothétie, un point et son image sont alignés. On trace donc les droites (AA’) et (BB’) et le point O est le point à leur intersection. La droite (CC’) passe egalement par O.
Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.
- Déterminer la mesure de l’angle A’B’C’. (On donnera l’arrondi à l’unité).
Une homothétie conserve les angles, donc les triangles A’B’C’ et ABC sont semblables.
On en déduit :
A’B’C = ABC
Le triangle ABC étant rectangle, on peut appliquer les formules de trigonométrie :
tan (ABC) = AC/AB = 3/4
D’où ABC = arctan (3/4) = 37°
L’angle A’B’C’ vaut donc environ 37°.
Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.
Calculer la distance A’ C’
on sait que :
- K est positif O, A, A’ ou O, B, B’ ou O, C, C’ sont alignés dans cet ordre.
- [A’ B’] est l’image du segment [AB]
On détermine le rapport k de l’homothétie :
D’où, 9 = 4 k
—> k = 9/4
—> k = 2,25
3 x 2,25 = 6,75 cm
Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.
4) Calculer l’aire du triangle ABC et l’aire du triangle A’B’C’
On sait que A’ C’ fait 6,75 cm
(3x4)/2 = 6cm ²
(9 x 6,75)/2 = 30,37 cm ²
Exercice 6
Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie.
- Comment passe-t-on de l’aire du triangle ABC à l’aire du triangle A’B’C’ ? Justifier.
On sait que le rapport de l’homothétie est 2,25 ou 9/4
On sait que les 2 aires sont 6cm ² et 30,375cm ²
On passe de l’aire du triangle ABC à l’aire du triangle A’B’C’ en la multipliant par le rapport de l’homothétie au carré.
Formons le rapport des deux aires :
30,375 / 6 = 5,0625
Ou
Calculons le rapport de l’homothétie au carré : k ² = (9/4 )² = 2,25 ² = 5,0625
Exercice 7 (CRPE 2023)
Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, ABIFCDE, est représenté ci-contre.
• Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• FE € [AC] et I € [BC].
• Les droites (AB), (FI) et (DE) sont paralleles.
• ABC est un triangle rectangle en A.
• AB = 300 m ; AC = 400 m ; CD = 1250 m et IC = 350 m.
- a. Déterminer la longueur BC
BC ² = 300 ² + 400 ²
BC ² = 90000 + 160000
BC = 500 m
Exercice 7 (CRPE 2023)
Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, ABIFCDE, est représenté ci-contre.
• Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• FE € [AC] et I € [BC].
• Les droites (AB), (FI) et (DE) sont paralleles.
• ABC est un triangle rectangle en A.
• AB = 300 m ; AC = 400 m ; CD = 1250 m et IC = 350 m.
BC = 500m
b. déterminer les longueurs IF et CF.
On sait que :
F € AC
I € BC
AB et FI parallèles
Donc on peut appliquer le Théo de thales dans le triangle ABC
CF/CA = CI / CB = FI / AB
CF / 400 = 350/500 = FI / 300
CF = 280
FI = 210
Exercice 8 (CRPE 2019)
Des paysagistes veulent réaliser un parterre triangulaire avec des tulipes blanches et rouges.
Ils placent trois piquets A, B et C tels que :
• A et B sont distants de 8 m ;
• A et C sont distants de 6 m ;
• B et C sont distants de 10,5 m ;
puis ils tirent des cordes d’un piquet à l’autre.
Ils décident de séparer ce parterre en deux parties. Le long de la corde reliant les piquets A et B, ils placent un piquet D distant de A de 4,8 m. Le long de la corde reliant les piquets A et C, ils placent un piquet E distant de A de 3,6 m. Puis ils tirent une corde entre D et E.
La corde qui relie les piquets D et E délimite la zone dans laquelle seront plantées des tulipes rouges de celle dans laquelle seront plantées des tulipes blanches.
- Pour des questions esthétiques, les paysagistes souhaitent que la corde qui relie les piquets D et E soit parallèle
à la corde qui relie les piquets B et C.
Cette situation est-elle vérifiée? Justifier votre réponse.
Les points D et E appartiennent respectivement aux segments [AB] et [AC].
Calculons les rapports suivants d’après la réciproque de thales :
AE / AC = 3,6 / 6 = 0,6
AD / AB = 4,8 / 8 = 0,6
Les rapports AC et AB sont égaux.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La situation est donc vérifiée.
Exercice 8 (CRPE 2019)
Des paysagistes veulent réaliser un parterre triangulaire avec des tulipes blanches et rouges.
Ils placent trois piquets A, B et C tels que :
• A et B sont distants de 8 m ;
• A et C sont distants de 6 m ;
• B et C sont distants de 10,5 m ;
puis ils tirent des cordes d’un piquet à l’autre.
Ils décident de séparer ce parterre en deux parties. Le long de la corde reliant les piquets A et B, ils placent un piquet D distant de A de 4,8 m. Le long de la corde reliant les piquets A et C, ils placent un piquet E distant de A de 3,6 m. Puis ils tirent une corde entre D et E.
La corde qui relie les piquets D et E délimite la zone dans laquelle seront plantées des tulipes rouges de celle dans laquelle seront plantées des tulipes blanches.
- Déterminer si l’aire de la zone dans laquelle seront plantées des tulipes rouges est égale à celle de la zone dans laquelle seront plantées des tulipes blanches.
La question précédente nous indique :
Les points D et E appartiennent respectivement aux segments [AB] et [AC].
Calculons les rapports suivants d’après la réciproque de thales :
AE / AC = 3,6 / 6 = 0,6
AD / AB = 4,8 / 8 = 0,6
Les rapports AC et AB sont égaux.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La situation est donc vérifiée.
Étant donné que l’aire du triangle ABC est la somme des aires des deux zones où sont plantées les tulipes blanches (triangle ADE) et rouges (trapèze BCED), si les deux aires étaient égales, on aurait :
Aire(ADE) = 0,5 x Aire(ABC).
Or, les questions précédentes ont montré que les longueurs des côtés du triangle ADE sont la réduction des longueurs des côtés du triangle ABC dans un rapport de 0,6.
On sait alors que l’aire du triangle ADE est réduite d’un rapport de 0,6 ² par rapport à l’aire du triangle ABC.
D’où Aire (ADE) = 0,6 ² × Aire(ABC) = 0,36 × Aire(ABC).
Comme 0,5 n’est pas égale à 0,36 alors les aires des deux zones ne sont pas égales.
La zone BDED a une aire plus grande que la zone ADE.
Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.
Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.
- Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
Cherchons AC
AC ² = BC ² + AB ²
AC ² = 8 ² + 6 ²
AC ² = 100
donc AC ² = AB ² + BC ²
D’après la réciproque du théorème de Pytha, ABC est rectangle en B. Donc AB et BC sont parallèles.
Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.
Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.
- En déduire la longueur BD.
Prouvons que ABD est rectangle en B.
- Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires
- le point D est sur BC
—> Donc le triangle ABD est donc rectangle en B.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en B, on obtient :
AB ² + BD ² = AD ²
d’où 36 + BD ² = 64
soit BD ² = 64 - 36
= racine carré de 28
= 5,29 cm
Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.
Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.
- Déterminer la longueur CE
La question précédente nous permet de savoir que BD = 5,29cm
Le point D est sur [BC] donc :
DC = BC - BD = 8 - 5,29 = 2,71cm
Les droites (AB) et (CE) sont perpendiculaires à la même droite (BC) donc elles sont parallèles entre elles.
Les points C, D et B et E, D et A sont alignés
Ainsi, les droites (AB) et (CE) sont parallèles donc d’après le théorème de Thalès, on a :
CE / AB = CD / BD
CE = (2,71 x 6) / 5,29
CE = 3,07cm
Exercice 9 (CRPE 2019)
On considère la figure ci-contre qui n’est pas représentée à l’échelle.
On sait que :
BC = 8 cm ;
AB =6 cm ;
AC = 10 cm ;
AD = 8 cm ;
D appartient aux segments [AE] et [BC]
• Les droites (BC) et (CE) sont perpendiculaires.
Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle ACE.
- Déterminer l’aire du triangle ACE.
Les questions précédentes nous permet de savoir que BD = 5,29cm et que CE = 3,07cm
On considère [CE] comme base dans le triangle ACE, la hauteur correspondante est (AH), avec le point H qui est l’intersection de la perpendiculaire à la droite (CE) passant par A et de la droite (CE).
Imaginons le rectangle AHCB qui possède 3 angles droits. BC = AH = 8cm. AH étant sa hauteur.
Donc Aire ACE = (AH x CE) / 2 = 12,3 cm ²
Exercice 10
Dans ce problème, la figure dessinés n’est pas représentée à l’échelle.
Une enseignante a le projet d’installer un potager rectangulaire ADEF sur une parcelle de forme triangulaire
ABC dans l’enceinte de l’école.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que :
• AB = 24 m,
AC = 10 m
BC = 26 m ;
• D € [AB], E € [BC] et F € [AC].
- Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Le plus long côté du triangle ABC est le côté BC.
ВС ² = 26²
= 676
AC ² + AB ²
= 10 ² + 24 ²
= 100 + 576
= 676
On a alors: AC ² + AB ² = BC ²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que la triangle ABC est rectangle en A.
