Maths : les proportionnalités

Question 1

Quelles sont les propriétés mathématiques qui peuvent être utilisées en proportionnalité ?

Answer 1

• propriété additive de la linéarité
• propriété multiplicative de la linéarité
• propriété de retour à l’unité
• propriété mixte (plusieurs propriétés)

Question 2

Didactique. Ex 1. Il faut 6 oeufs si la recette est prévue pour 9 pers. 10 oeufs si la recette est prévue pour 15. Combien faut il d’oeufs pour 24 personnes ?

2) Analyser la prod d’Arthur et donner sa méthode

Il a dessiné 9 bonhommes puis 15 puis 24
Il a posé 2 additions : 10+6=16 et 15+9=24
A dit qu’il faut 16 oeufs pour 24 personnes.

Answer 2

Dessine la situation
A besoin de dessiner les personnes pour se rendre compte que 9+15 pers = 24.
Il en déduit qu’il faut aussi additionner le nb d’oeufs pour 9 et 15 pers.
Procédure correcte

Propriété additive de la linéarité

Question 3

Situation 1 Ex 2 : il faut 6 œufs pour faire une crème au caramel pour 10 personnes.
combien d’œufs dois-je prévoir si je veux faire cette crème au caramel pour 15 personnes ?

2) Analyser la prod de Beatrix et donner sa méthode

Elle a écrit “6 oeuf pour 10 personnes”
“ ? pour 15 personnes”
6/2 = 3 et 10/2 = 5
il faut 3 oeufs pour 5 personnes
3 x 5 = 15
Il faut 9 oeufs pour 15 personnes

Answer 3

reprend et structure les données
divise par 2 les 6 oeufs et les 10 pers.
Elle comprend que s’il y a 2 fois moins de personnes, il faut 2 fois moins d’oeufs.
Elle reconnait ensuite qu’il faut mutliplier 5 par 3 pour trouver 5 personnes.
Elle en déduit qu’il faut aussi multiplier les 3 oeufs correspondant par 3 = 9

Procédure et calculs corrects

Propriété multiplicative de la linéarité

Question 4

Situation 1. Ex 3 : Il faut 5 oeufs pour faire une mousse au chocolat pour 10 per. J’ai 3 oeufs. Pour combien de personnes puis-je faire une mousse au chocolat ?

2) Analyser la prod de Ulysse et donner sa méthode

Il a écrit :
1 oeuf = 2 personnes
3 x 2 = 6
On peut faire une mousse au choco pour 6 pers

Answer 4

• fait une correspondance entre 1 oeuf et 2 personnes sans l’expliciter
• multiplie à partir de la valeur unitaire pour obtenir le nb de personnes pour 3 oeufs.

Procédure correcte

Propriété de retour à l’unité

Question 5

Situation 1.
3. Montrer en quoi les différences entre les 3 énoncés suivants permettent une progressivité dans l’apprentissage de la notion de proportionnalité.

Ex 1. Il faut 6 oeufs si la recette est prévue pour 9 pers. 10 oeufs si la recette est prévue pour 15. Combien faut il d’oeufs pour 24 personnes ?

Ex 2 : il faut 6 œufs pour faire une crème au caramel pour 10 personnes.
combien d’œufs dois-je prévoir si je veux faire cette crème au caramel pour 15 personnes ?

Ex 3 : Il faut 5 oeufs pour faire une mousse au chocolat pour 10 per. J’ai 3 oeufs. Pour combien de personnes puis-je faire une mousse au chocolat ?

Answer 5

Ex 1 : permet d’utiliser la propriété additive de la linéarité
car : on doit additionner 15 et 9 pour trouver 24.

Ex 2 : permet d’utiliser la propriété multiplicative
car : il faut au moins revenir à 5 donc diviser 10 par 2.

Ex 3 : le passage a l’unité est privilégié grâce à la division de 10 par 5 qui donne le nb de personnes pour 1 oeuf.

3 exos qui permettent de manipuler les 3 procédures en cycle 3 : additive, multi de la linéarité et de retour à l’unité.

Question 6

Proposer une exo qui permet de travailler, en deuxième moitié de cycle 3 de travailler la notion de coef de proportionnalité

Answer 6

Pour faire un cake pour 3 personnes, il faut 120g de beurre. Combien faut-il de beurre pour faire le même cake pour 5 personnes ?

Le coef de proportionnalité sera 40 (car 40x3 =120)

Question 7

quels mots nous permettent de savoir que c une situation de proportionnalité ?

Answer 7

à chaque…

Question 8

Une sauterelle saute de 30cm a chaque saut. Combien de saut doit elle faire pour faire 15m ?

Décrire 2 procédures que les élèves peuvent faire pour résoudre et les difficultés ?

Answer 8

Procédure 1
- chercher par quel nb il faut multiplier 30 pour avoir 1500 (càd 15m). Donc faire une multiplication a trou : 30 x … = 1500 donc faire une division : 1500 / 30

• Pas d’erreur
• Ce n’est pas un raisonnement de la proportionnalité.

Procédure 2 :
- Il détermine plusieurs couples constitué d’un nb de sauts qui donne en les additionnant la longueur correspondante (15m).

• conversion en m et en cm.

Question 9

Exo : Une sauterelle saute de 30cm a chaque saut. Combien de saut doit elle faire pour faire 15m ?

Par quelle fonction linéaire peut etre modélisée cette situation de proportionnalité ?

Answer 9

f(x) = ax

x = le nb de saut
f(x) = distance parcourue (en m)

f(x) = 0,3 x

Question 10

Exercice 6 : 6 objets identiques coûtent 150 €. Combien coûtent 9 de ces objets ?

1. Dans cet énoncé, qu’est-ce qui indique que la situation est une situation de proportionnalité ?

Answer 10

• «identique» indique qu’il s’agit d’une situation de prix proportionnels.

Question 11

Exercice 6 : 6 objets identiques coûtent 150 €. Combien coûtent 9 de ces objets ?

Qu’est-ce qui différencie cet exo de celui de la sauterelle ? En regardant l’énoncé.

(À chaque saut, une sauterelle avance de 30 cm. Combien de sauts doit-elle faire pour parcourir 15 mètres ?)

Answer 11

Dans l’exo de la sauterelle :
l’image de l’unité était donnée (1 saut = 30 cm).
Ici le prix unitaire n’est pas donné (1 objet → ? €).

Question 12

Exercice 6 : 6 objets identiques coûtent 150 €. Combien coûtent 9 de ces objets ?

3. Ce problème, comportant des productions des élèves Kim, Yassir et Sophie est reproduit en annexe 4.
   a. Décrire les procédures correctes mises en œuvre par les élèves. Préciser, le cas échéant, les propriétés mathématiques utilisées implicitement.
   b. Analyser les erreurs éventuelles de chaque élève.

Answer 12

• l’opération posée est juste.
• procédure incorrecte : elle multiplie par 9 le prix de 6 objets.
• elle reconnaît le prix de l’énoncé : 150€

Question 13

Une entreprise réalise un sondage auprès de clients afin de savoir quelle forme de flacon est préférée parmi les 3 formes proposées.

Déterminer la proportion de personnes préférant le flacon cylindrique. Exprimer le résultat sous forme d’un pourcentage arrondi à l’unité.

Parallélépipède : 82
Cylindrique : 109
Pyramidale : 47

Answer 13

Au total, il y a 82 + 109 + 47 = 238 personnes ayant participé au sondage.
La proportion de personnes préférant le flacon cylindrique est donc de : 109/238 x 100 = 46%

Question 14

Qu’est-ce que la propriété multiplicative de linéarité ?

Donner un exemple avec les tomates

Answer 14

C’est quand on connaît une donnée et qu’en la multipliant, nous trouvons le résultat recherché

Ex : chercher le prix de 6kg de tomate quand on sait que 2kg = 5€.
Nous multiplions par 3 les 2kg car 2x3=6.
On multiplie les 5€ par 3 car le prix est proportionnel au poids (en kg)

Question 15

Qu’est-ce que la propriété de linéarité additive ?

Donner un exemple avec les tomates

Answer 15

C’est lorsque l’on additionne des donnés de l’énoncé afin de trouver le résultat.

Exemple : je cherche le prix de 7kg de tomate sachant que je sais que 1kg de tomate coûte 2,5€ et 6kg coûte 15€.

J’additionne donc les prix de 1kg et de 6kg de tomates pour trouver le prix pour 7kg.

Également valable pour la soustraction. Ex : je veux le prix de 5kg de tomate.

Question 16

Qu’est-ce que la propriété des rapports constants ou produit en croix ou retour à l’unité

Exemple des tomates

Answer 16

Je divise le prix d’un objet par son poids afin de trouver son prix pour une unité de masse donnée (kg, g…)

Exemple : je sais que 2kg de tomates côte 5€. Je veux savoir le prix au kg.
Donc je fais 5/2 = 2,5€

Question 17

Fonction linéaire et proportionnalité :
Déterminer une fonction qui au nb de minutes fait correspondre un volume d’eau ?

Answer 17

F(x) = a x
F(min) = v x min

Question 18

Fonction linéaire :
Comment justifier qu’un prix est proportionnel à une durée (ou autre) ?

Ex : nous savons que le prix à payer pour x min d’appel est :
2€ pour 10min
48€ pour 240min

Answer 18

Nous cherchons le coef de proportionnalité :
Nous divisons 240 par 48
Nous divisons 10 par 2
Nous trouvons : 5 à chaque fois
5 est le coef de proportionnalité

Pour x = 2 et a = 5 :
F(x) = 5 x 2 = 10

Pour X = 48 et a = 5 :
F(x) = 48 x 5 = 240

Le prix a payé en fonction des min de communication est représenté par la fonction f(x) = a x
Le prix est donc proportionnel à la durée de communication.

Question 19

Fonction linéaire :
Calculer la durée des communi si le prix à payer est de 72€

nous savons que le prix à payer pour x min d’appel est :
2€ pour 10min
48€ pour 240min
Donc que le coef de pro est 5 (ou a)

Answer 19

F(72) = 5 x 72 = 360

Question 20

Fonction linéaire :
Calculer le prix a payer si la durée des comm est de 4h30

nous savons que le prix à payer pour x min d’appel est :
2€ pour 10min
48€ pour 240min
Donc que le coef de pro est 5 (ou a)

Answer 20

4h30 = 4h30 x 60 = 270
F(x) = 5 x = 270
F(x) = 270/5
F(x) = 54 €

Question 21

Pourcentage :
Chercher une proportion grâce a 2 données : la quantité totale et la quantité “offerte”
Enoncé : 2kg achetés dont 500g offerts
Quel calcul faire pour calculer une proportion ?

Answer 21

Calcul : Quantité offerte / quantité totale
= (500/2000) x100 = 25%

Question 22

Pourcentage :
Appliquer un pourcentage grâce a 2 données : la quantité et le pourcentage de cette quantité

Enoncé : 6kg achetés dont 20% offerts sachant que 6kg = 15€
On veut trouver le montant de la ristourne pour 6kg de tomate avec la ristourne de 20%

Answer 22

20/100 = 0,2
Et
0,2*15 = 3€

Question 23

Pourcentage Calculer le prix d’un article qui valait 132€ et qui est en soldes a -30%

Answer 23

1-(30/100) = 0,7
0,7*132 = 92,4€

Question 24

Pourcentage : Calculer le prix initial d’un article dont le prix soldé a -30% est de 29,40€.

Answer 24

1- (30/100) = 0,7
29,40 / 0,7 = 42€

Question 25

Pourcentage : Un article avait augmenté au cours de l’année de 5 % et a été soldé à -30 % ensuite. Quelle est alors le pourcentage de réduction par rapport au prix initial ?

Answer 25

[(1+ 5/100 ) x (1- 30/100) -1] x 100
= (1,05 x 0,7 - 1) x 100
= (0,735 - 1) x 100
= 0,265 x 100
= 26,5%

Question 26

Ratio :
Chloé investi 320 € et Younes, 480 € dans une même œuvre d’art. L’œuvre d’art ayant pris de la valeur, ils la revendent 15 000 €. Quelle somme récupère chacun chacun des amis ?

Answer 26

(Somme investit / somme totale investit) x somme finale

Chloé : (320/320+480) x 15000
= 6000€

Faire quasi meme calcul pour l’autre

Question 27

Ratio : Mario, Lily et Djibril jouent en ligne à un jeu vidéo. Mario gagne cinq fois plus de points que Gebril et deux fois plus de points que Lily.

Dans quel ratio les trois amis gagnent-t-il leurs points ?

Answer 27

Ratio 1 : 2 : 5

Question 28

Mario, Lily et Djibril jouent en ligne à un jeu vidéo. Mario gagne cinq fois plus de points que Gebril et deux fois plus de points que Lily.

À la fin de la partie, ils ont accumulé 4216 points. Combien de points a obtenu chaque joueur ?

Answer 28

Somme total des points :
x + 2x + 5x = 8x
8x = 4216 points
x = 4216/8
x = 527

Gebril : 527
Lily : 2 x 527 = 1054
Mario : 5 x 527 = 2635

Question 29

Comment convertir des secondes en h ?

Answer 29

x secondes / (60x60)

Question 30

Quel est la formule pour trouver une vitesse

Answer 30

D(km) / T(h)

Question 31

Quel est la formule pour trouver le temps pour effectuer qqch ?

Answer 31

d (km) / v (km/h)

Question 32

Quel est la formule pour trouver une distance ?

Answer 32

d = V(km/h) x t (h)

Question 33

Trouver que 2 villages distants de 7cm sur une carte 1/25 000 seront distants de 4,37cm sur une carte 1/40 000.

Answer 33

(25000 x 7) / 40000 = 4,37

Question 34

Vrai ou faux Arthur a acheté un article bénéficiant d’une réduction de 30% et a ainsi économisé 48 €.
Affirmation 1 : Au final, il a payé 112 € pour cet article.

Answer 34

Les 48 € économisés correspondent à 30% du prix.
Si P est le prix initial de cet article alors :
48/0,3 = 160.

Question 35

Vrai ou faux : La masse d’un ourson baisse de 30% pendant l’hiver puis elle augmente de 30 % au printemps.
Affirmation 2 : Finalement, à la fin du printemps, l’ourson a retrouvé la masse qu’il avait en début d’hiver.

Answer 35

Masse pendant l’hiver :
1-0,3=0,7

Masse après l’hiver :
0,7*1,3 = 0,91

Faux. Sa masse a donc diminué de 9%

Question 36

Vrai ou faux : Augmenter une quantité de 15% puis de 10% revient à l’augmenter de son quart.

Answer 36

FAUX. Une augmentation de 15% correspond à un coefficient multiplicateur de :
1 + 15/100 = 1,15.

Une augmentation de 10% correspond à un coefficient multiplicateur de 1+ 1/100 = 1,1.

Donc, une augmentation de 15 % puis de 10% correspond à un coefficient multiplicateur de :
1,15 x 1,10 = 1,265

Soit une augmentation de 26,5%, supérieure à une augmentation d’un quart (25%).

Question 37

Vrai ou faux : Si des prix augmentent de 5% par an, ils auront plus que doublé en 15 ans.

Answer 37

VRAI.

Si les prix augmentent de 5% par an, le coefficient multiplicatif des prix (c’est-à-dire le nombre par lequel il
faut multiplier l’ancien prix pour obtenir le nouveau) est 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05.

Si l’on applique ce coefficient pendant 15 années de suite, le prix initial sera multiplié par 1,05(exposant15) = 2,08.

Le prix initial aura été multiplié par un peu plus que 2, donc l’affirmation est vraie.

Question 38

Vrai ou faux : Un randonneur marche pendant 12 km à 6 km/h puis il marche pendant 12 km à 4 km/h.
Affirmation 5 : pour les 24 km de randonnée, sa vitesse moyenne est 5 km/h.

Answer 38

FAUX.
Pour effectuer 12 km à la vitesse de 6 km/h le temps nécessaire est de 2 h.

Pour effectuer 12 km à la vitesse de 4 km/h, le temps nécessaire est de 3 h.

Finalement, ce randonneur a parcouru 24 km en 5 h.
Sa vitesse est donc :
v = d/t = 24/5 = 4,8 km/h.

Question 39

Vrai ou faux. On dispose de deux cartes de la même région: la première est au 1/100 000 et la seconde au 1/25 000.
Affirmation 6: La seconde est un agrandissement de la première de 400%.

Answer 39

4 x 25 000 = 100 000
4 x 100 = 400%

Question 40

Si on multiplie par 3 les longueurs des côtés d’un rectangle, alors son aire est également multipliée par 3.

Answer 40

FAUX. D’après le théorème sur les agrandissements-réductions : « si les longueurs d’une figure sont multipliées par k, alors son aire est multipliée par k ² ».
alors l’aire du rectangle n’est pas multipliée par 3 mais par 9.

Rappelons que l’aire d’un rectangle est L x l.

Les aires ne sont pas proportionnelles aux longueurs.

Question 41

Comment Savoir si qqch est proportionnel à qqch grâce à un graphique ?

Answer 41

Une droite qui passe par l’origine
Donc fonction linéaire qui modélise une situation de proportionnalité

Question 42

5. Dans un souci de préservation de la ressource en eau, la ville de Lyon a imaginé un dispositif de recyclage.
   Cette ville fournit un volume de 20m ³ d’eau par jour aux engins de nettoiement grâce à l’eau récupérée de la fonte de la glace de la patinoire de Baraban. À combien de litres de glace correspond le volume d’eau fourni par la ville de Lyon pour 30 jours de nettoyage? On rappelle qu’un mètre cube vaut 1000 litres.

Answer 42

En 30 jours, le volume d’eau liquide récupérée est de 30 x 20 = 600 m ³ .

Le volume de glace correspondant est de 8% plus élevé, il est donc de :
600 x 1,08 = 648 m ³ = 648000 litres.

Question 43

Pour faire de la confiture, Grand-père ajoute à des mirabelles une masse de sucre égale aux quatre cinquièmes de la masse des fruits dénoyautés. La cuisson fait perdre 25% de la masse du mélange. Après la cuisson, la confiture est conditionnée dans des pots de 500 g. Les pots doivent être remplis pour une bonne conservation.

1. Aujourd’hui Grand-père a récolté des mirabelles; après les avoir dénoyautées, il a obtenu 5 kg de fruits.
   Combien de pots de confiture peut-il remplir ?

Answer 43

Après l’ajout du sucre, la masse totale est : 5 + 4/5 x 5 = 5 + 4 = 9 kg.

Comme la cuisson fait perdre 25% de la masse du mélange, il reste 75% de ce mélange. Soit : 9 x 0,75 = 6,75 kg, ce qui correspond à 6750 g.

Comme 6750/500 = 13,5
alors Grand-père pourra remplir 13 pots de confiture.

Question 44

Pour faire de la confiture, Grand-père ajoute à des mirabelles une masse de sucre égale aux quatre cinquièmes de la masse des fruits dénoyautés. La cuisson fait perdre 25% de la masse du mélange. Après la cuisson, la confiture est conditionnée dans des pots de 500 g. Les pots doivent être remplis pour une bonne conservation.

La masse de confiture obtenue par le procédé suivi par Grand-père est-elle proportionnelle à la masse de mirabelles dénoyautées ? Justifier votre réponse.

Answer 44

Soit M la masse de mirabelles dénoyautées (en kg) et C la masse de confiture obtenue (en kg).
En reprenant la procédure précédente, on obtient :

Après l’ajout du sure, la masse totale est:
M + 4/5 M
= (1+4/5) M
= 9/5 M

Avec la perte de 25% de la masse du mélange après cuisson, on obtient la masse C de confiture, telle que :
C =9/5M × 0,75 = 1,35 × M.

On passe donc de la grandeur M à la grandeur C en multipliant par le coefficient constant 1,35.
On a bien une relation de proportionnalité entre M et C, et le coefficient de proportionnalité est 1,35.

Remarque : On peut aussi dire que la fonction f telle que f(M) = C est une fonction linéaire, ce qui montre qu’on a une situation de proportionnalité.

Question 45

Pour faire de la confiture, Grand-père ajoute à des mirabelles une masse de sucre égale aux quatre cinquièmes de la masse des fruits dénoyautés. La cuisson fait perdre 25% de la masse du mélange. Après la cuisson, la confiture est conditionnée dans des pots de 500 g. Les pots doivent être remplis pour une bonne conservation.
On sait que C = 1,35 x M d’après la question précédente

3) Grand-père souhaite obtenir 18 pots de confiture. Déterminer la masse m minimum de mirabelles dénoyautées
que Grand-père devra prévoir. On arrondira la masse à l’hectogramme près.

Answer 45

18 pots de confiture correspondent à une masse de C = 18 x 500 = 9000 g = 9 kg

La question précédente permet d’écrire : (équation)
C = 1,35 x M,
M = C/1,35
= 9/1,35
= 6,67 kg.

Il faudra que Grand-père prévoit une masse de 6,7 kg de mirabelles dénoyautées.

Question 46

Exercice 4 : ratios
Trois pirates se partagent 5 960 pièces d’or.
Le terrible pirate Jambe-de-Bois prend 10 pièces. Ensuite, le redoutable pirate Barbe-Noire en prend 5. Et enfin le féroce pirate Rackham-le-Rouge en prend 2. Ainsi se termine un tour de partage.
Ils recommencent ainsi des tours de partage jusqu’à ce qu’il n’y ait plus assez de pièces pour faire un tour de partage complet. S’il reste quelques pièces, superstitieux, ils les jetteront à la mer en offrande au dieu Neptune.

Combien chaque personnage de cette petite histoire recevra-t-il de pièces ?

Answer 46

Ratio : 10 : 5 : 2

On a au total: 10 + 5 + 2 = 17 parts.
On effectue la division euclidienne de 5960 par 17 pour connaître la valeur d’une part, sachant que Jambe-de-Bois en prend 10, Barbe-Noire en prend 5 et Rackham-le-Rouge en prend 2.

5960 = 17 x 350 + 10.
Une part équivaut donc à 350 pièces et il en restera 10.

Donc :
Rackham-le-Rouge prend 2 x 350 = 700 pièces.
Barbe-Noire prend 5 x 350 = 1750 pièces.
Jambe-de-Bois prend 10 x 350 = 35000 pièces.
700 + 1750 + 3500 = 5950.
Les 10 pièces restantes sont jetées à la mer pour Neptune.

Question 47

Le problème suivant est proposé à une classe de CM2 :
Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat.
Karim achète 5 paquets et paie 8 €.
Dellia veut acheter 15 paquets, combien va-t-elle payer ?.

1. Quelle tâche est assignée à l’élève dans ce problème ?

Answer 47

La tâche de l’élève est de déterminer dans un problème contextualisé une quatrième proportionnelle dans une situation de proportionnalité.

Remarque : il y a un implicite fort pour savoir que l’on se trouve dans une situation de proportionnalité.

Question 48

Le problème suivant est proposé à une classe de CM2 :
Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat.
Karim achète 5 paquets et paie 8 €.
Dellia veut acheter 15 paquets, combien va-t-elle payer ?.

2. Quelle procédure est favorisée par les données chiffrées de l’énoncé? Donner la solution au problème en
   utilisant cette procédure.

Answer 48

La procédure favorisée par les données de l’énoncé est l’utilisation de la propriété multiplicative de linéarité.

En effet, comme 15 paquets est le triple de 5 paquets, le prix cherché sera le triple du prix donnée pour 5 paquets, soit 3 x 8 = 24 €.

Question 49

Le problème suivant est proposé à une classe de CM2 :
Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat.
Karim achète 5 paquets et paie 8 €.
Dellia veut acheter 15 paquets, combien va-t-elle payer ?.

24 €.
3. L’enseignant souhaite maintenant amener ses élèves à recourir à la procédure de retour à l’unité.
Proposer une modification des données de cet énoncé pour lui permettre d’atteindre cet objectif.

Answer 49

Pour que la procédure de retour à l’unité soit encouragée, il suffit de faire en sorte que les nombres en présence ne soient pas multiples ou diviseurs simples les uns des autres.

Dans ce cas, les procédures par propriété multiplicative de linéarité et par recherche du coefficient de proportionalité sont plus difficiles à mettre en œuvre parce que les coefficients recherchés ne sont pas des entiers.

On peut par exemple proposer: « Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat.

Karim achète 8 paquets et paie 12 €. Dellia veut acheter 15 paquets, combien va-t-elle payer ? ».
12 n’est pas un diviseur de 8 et 15 n’est pas un multiple de 12, ce qui peut inciter les élèves à un retour à l’unité.

Question 50

Le problème suivant est proposé à une classe de CM2 :
Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat.
Karim achète 8 paquets et paie 12 €.
Dellia veut acheter 15 paquets, combien va-t-elle payer ?.

b. Résoudre alors l’exercice proposé en utilisant cette procédure. (Retour à l’unité)

Answer 50

L’élève cherche le prix d’un paquet, en posant la division décimale de 12 par 8 : le quotient exact est 1,5.
Donc un paquet coûte 1,5 €.

Pour trouver le prix de 15 paquets, il multiplie alors par 15 le prix d’un paquet: 15 x 1,5 = 22,5
15 paquets coûtent 22,5 €.

Question 51

Le problème suivant est proposé à une classe de CM2 :
Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat.
Karim achète 5 paquets et paie 8 €.
Dellia veut acheter 15 paquets, combien va-t-elle payer ?.

C. En termes didactiques, comment se nomme cette modification qui entraîne un changement de procédure ?

Answer 51

Cette modification de données se nomme une variable didactique.

oblige l’élève à changer de procédure, pour privilégier le passage par l’unité.

Question 52

Un enseignant propose la situation suivante en cycle 3 :
Modalités de mise en œuvre : le professeur demande aux élèves de travailler par groupes de quatre, de s’accorder sur la procédure à adopter pour agrandir les éléments du puzzle, de se répartir la construction des pièces en faisant leurs calculs individuellement puis d’assembler les morceaux pour reconstituer le puzzle agrandi.

Consignes données oralement :
« Voici un puzzle carré.
Vous allez devoir refaire le même puzzle mais en plus grand. Il faudra le reconstituer exactement avec les pièces agrandies.
Le segment de 4 cm devra mesurer
6 cm sur votre puzzle agrandi.
Le compte-rendu de vos recherches sera présenté sous la forme d’une affiche ».

Quel champ mathématique cette situation permet-elle de travailler ?

Answer 52

le champ de la proportionnalité puisque l’agrandissement d’une figure est une situation de proportionnalité.

Question 53

Un enseignant propose la situation suivante en cycle 3 :
Modalités de mise en œuvre : le professeur demande aux élèves de travailler par groupes de quatre, de s’accorder sur la procédure à adopter pour agrandir les éléments du puzzle, de se répartir la construction des pièces en faisant leurs calculs individuellement puis d’assembler les morceaux pour reconstituer le puzzle agrandi.

Consignes données oralement :
« Voici un puzzle carré.
Vous allez devoir refaire le même puzzle mais en plus grand. Il faudra le reconstituer exactement avec les pièces agrandies.
Le segment de 4 cm devra mesurer
6 cm sur votre puzzle agrandi.
Le compte-rendu de vos recherches sera présenté sous la forme d’une affiche ».

2. Quelles stratégies, réussites et erreurs peuvent faire les élèves ?

Answer 53

Stratégie 1
Mener un raisonnement additif : ajouter 2 à toutes les dimensions

Réussites :
- Souci de conserver une forme carré

Erreurs :
- conception de la proportionnalité erronée
- x1,5 et non +2

Question 54

Un enseignant propose la situation suivante en cycle 3 :
Modalités de mise en œuvre : le professeur demande aux élèves de travailler par groupes de quatre, de s’accorder sur la procédure à adopter pour agrandir les éléments du puzzle, de se répartir la construction des pièces en faisant leurs calculs individuellement puis d’assembler les morceaux pour reconstituer le puzzle agrandi.

Consignes données oralement :
« Voici un puzzle carré.
Vous allez devoir refaire le même puzzle mais en plus grand. Il faudra le reconstituer exactement avec les pièces agrandies.
Le segment de 4 cm devra mesurer
6 cm sur votre puzzle agrandi.
Le compte-rendu de vos recherches sera présenté sous la forme d’une affiche ».

Dans la mesure du possible, indiquer les procédures utilisées pour déterminer chacune des valeurs trouvées par le groupe ayant produit l’affiche 2 ci-dessous.

Mesures de bases à gauche, mesures agrandies à droite
4 > 6
6 > 9
7 > 10.5
2 > 3
5 > 7,5
9 > 13,5

4→> 6 car on le sait.
6 →, 9 car 6+3 et égale à 9.
7 →> 10,5 car-
2 -> 3 car la moitier de 6 est 3.
5 → 7,5 car 4+ (2/2) est égale à 7,5
9 → 13,5 car 4+4+(2→2)est égale à
13,5

Answer 54

• Pour le premier résultat (6 cm → 9 cm), ce groupe semble avoir repéré qu’il faut ajouter la moitié de 6 puisqu’ils disent avoir fait 6 + 3. Ceci peut donc laisser penser qu’ils ont utilisé l’agrandissement 4 cm → 6 cm, et ont remarqué qu’on ajoute à 4 la moitié de 4 pour obtenir 6. Ils font alors la même chose en ajoutant à 6 la moitié de 6.
• Pour obtenir l’agrandissement de 3 cm pour 2 cm, il semblerait qu’ils aient utilisé la propriété multiplicative de linéarité : ils partent de la correspondance 4 cm → 6 cm et ils remarquent que 2 c’est la moitié de 4 donc ils prennent la moitié de 6.
• ils calculent l’agrandissement pour 1 cm en divisant par 2 le résultat obtenu pour 2 cm (propriété multiplicative de linéarité), ils trouvent 1 cm → 1,5 cm mais ne l’écrivent pas ils obtiennent alors 5 comme 4 + 1 et appliquent donc la propriété additive de linéarité (4 + 1 → 6 + 1,5 = 7,5)
• Même chose pour 9 cm qu’ils décomposent comme 4 + 4 + 1

Question 55

Situation 3 (CRPE 2019)
CM2
Figurine a fait un plan de sa chambre sur un papier quadrillé pour y disposer son bureau, son lit, une étagère.
La chambre est représentée par le grand rectangle de 8 carreaux sur 12 carreaux.
Elle veut réaliser un agrandissement de ce plan. Elle décide que le grand côté de la chambre devra mesurer 18 carreaux sur le plan agrandi.
Détermine les dimensions du plan agrandi et des meubles de la chambre sur ce plan agrandi.
1. Voici un extrait de réponse d’un élève :
On a ajouté 6 carreaux au grand côté, il faut donc ajouter 6 carreaux à tous les côtés.
Pour le lit :
grand côté = 6 + 6 = 12 carreaux
petit côté = 4 + 6 = 10 carreaux

Comment, sans s’appuyer sur la bonne réponse, peut-on convaincre cet élève que sa réponse est fausse ?

Answer 55

On peut lui faire remarquer que la dimension du grand côté du lit en passant de 6 à 12 carreaux a doublé, or ce n’est pas le cas pour la dimension du petit côté. (Implicitement ici, l’élève doit reconnaitre que cette situation d’agrandissement relève du modèle de proportionnalité)

Ou

Le lit ne peut pas rentrer dans le grand rectangle qu’est la chambre avec ta méthode.

Question 56

Situation 3 (CRPE 2019)
CM2
Figurine a fait un plan de sa chambre sur un papier quadrillé pour y disposer son bureau, son lit, une étagère.
La chambre est représentée par le grand rectangle de 8 carreaux sur 12 carreaux.
Elle veut réaliser un agrandissement de ce plan. Elle décide que le grand côté de la chambre devra mesurer 18 carreaux sur le plan agrandi.
Détermine les dimensions du plan agrandi et des meubles de la chambre sur ce plan agrandi.

2) Proposer trois procédures correctes qu’un élève de CM2 peut mettre en uvre pour donner les dimensions correctes de l’étagère. Expliciter la propriété mathématique utilisée pour chaque procédure.

Answer 56

Procédure 1 : Utilisation de la propriété multiplicative de la linéarité

Sur le plan d’origine, le grand côté de l’étagère vaut 6 carreaux, ce qui est la moitié du grand côté du rectangle de la chambre.
Comme on passe de 12 carreaux à 18 carreaux pour le plan agrandi, le grand côté de l’étagère agrandie sera de dimension « la moitié de 18» soit 9 carreaux.

Sur le plan d’origine, le petit côté de l’étagère vaut 2 carreaux, ce qui est c’est six fois moins que 12 carreaux (= grand côté du rectangle de la chambre avant agrandissement).
Le petit côté de l’étagère agrandie sera de dimension six fois plus petite que 18 carreaux, soit 18: 6 = 3 carreaux.
Les dimensions de l’étagère agrandie sont donc de 3 carreaux sur 9 carreaux.

Procédure 2 : retour à l’unité

Procédure 3 : coefficient d’agrandissement. Ici il est de 1,5

Question 57

Situation 4 (CRPE 2018)
notion de proportionnalité.
Voici trois énoncés de problèmes proposés lors d’une séance par une enseignante de CM2, durant sa séquence sur la proportionnalité.

Problème 1 :
Arthur a 6 piles identiques qui pèsent 18 g en tout.
Combien pèsent 8 piles ?
Problème 2 :
Un bébé pèse 4 kilos à 1 mois.
Combien pèsera-t-il à 12 mois ?
Problème 3 :
Pour une sortie scolaire, on réserve des bus pouvant transporter 40 personnes maximum.
Combien faut-il réserver de bus pour 50 personnes? Pour 100 personnes?

1. Donner un argument pour justifier la pertinence de proposer les problèmes 2 et 3 dans cette séance.

Answer 57

Les problèmes 2 et 3 sont des problèmes qui ne relèvent pas de la proportionnalité. En permettant aux élèves de se confronter à de telles situations, le maître leur fait comprendre quand la proportionnalité s’ applique : travailler sur des contre-exemples permet de mieux s’approprier un concept, parce que cela permet de comprendre les limites de l’utilisation de ce concept.

Question 58

Situation 4 (CRPE 2018)
notion de proportionnalité.
Voici trois énoncés de problèmes proposés lors d’une séance par une enseignante de CM2, durant sa séquence sur la proportionnalité.

Problème 1 :
Arthur a 6 piles identiques qui pèsent 18 g en tout.
Combien pèsent 8 piles ?
Problème 2 :
Un bébé pèse 4 kilos à 1 mois.
Combien pèsera-t-il à 12 mois ?
Problème 3 :
Pour une sortie scolaire, on réserve des bus pouvant transporter 40 personnes maximum.
Combien faut-il réserver de bus pour 50 personnes? Pour 100 personnes?

2. Décrire deux procédures que les élèves peuvent mettre en œuvre pour résoudre le problème 1.

Answer 58

• Première procédure : utilisation mixte des procédures multiplicative et additive de linéarité.

On sait que 6 piles pèsent 18 g.
Si j’ai 3 fois moins de piles, ce sera 3 fois moins lourd, donc 2 (= 6: 3) piles pèsent 6 (=18 : 3) g.
Si j’ajoute des piles, alors j’ajoute leurs masses : 6 piles + 2 piles = 8 piles pèsent 18 g + 6 g = 24 g

• Seconde procédure : retour à l’unité
On sait que 6 piles pèsent 18 g.
Alors une pile pèse 18/6 = 3 g
Donc 8 piles pèsent 8 x 3 = 24 g

Question 59

Situation 5
Des élèves de CM1, au troisième trimestre de l’année scolaire, ont résolu les deux problèmes cités ci-après; les productions de quelques élèves ont été transcrites exactement (sans les fautes d’orthographe).

Problème 1
Dans la bouteille A, je mets 4 verres d’eau et 2 morceaux de sucre.
Dans la bouteille B je mets 12 verres d’eau et 7 morceaux de sucre.
Quel est le sirop le plus sucré, celui de la bouteille A ou celui de la bouteille B ?
Que dirais-tu à un camarade qui a choisi l’autre réponse pour le convaincre que c’est toi qui as raison ?

Problème 2
Dans la bouteille A, je mets 5 verres d’eau et 2 morceaux de sucre.
Dans la bouteille B je mets de l’eau et 4 morceaux de sucre.
Combien dois-je mettre de verres d’eau dans la bouteille B pour que le sirop soit aussi sucré que le sirop de la bouteille A ?
Explique pourquoi.

1. Quelle notion mathématique est mise en jeu dans ces deux problèmes ?

Answer 59

Dans les deux cas il est nécessaire d’utiliser les propriétés de la proportionnalité pour résoudre le problème. Le nombre de morceaux de sucre est proportionnel au nombre de verres d’eau (ou l’inverse) pour obtenir le même goût sucré.

Question 60

Situation 5
Des élèves de CM1, au troisième trimestre de l’année scolaire, ont résolu les deux problèmes cités ci-après; les productions de quelques élèves ont été transcrites exactement (sans les fautes d’orthographe).

Problème 1
Dans la bouteille A, je mets 4 verres d’eau et 2 morceaux de sucre.
Dans la bouteille B je mets 12 verres d’eau et 7 morceaux de sucre.
Quel est le sirop le plus sucré, celui de la bouteille A ou celui de la bouteille B ?
Que dirais-tu à un camarade qui a choisi l’autre réponse pour le convaincre que c’est toi qui as raison ?

Problème 2
Dans la bouteille A, je mets 5 verres d’eau et 2 morceaux de sucre.
Dans la bouteille B je mets de l’eau et 4 morceaux de sucre.
Combien dois-je mettre de verres d’eau dans la bouteille B pour que le sirop soit aussi sucré que le sirop de la bouteille A ?
Explique pourquoi.

2. Pour chacun des deux problèmes, citer deux procédures de résolution non erronées que les élèves de CM1 peuvent utiliser. (Vous définirez ces procédures en référence à des propriétés mathématiques)

Answer 60

Probleme 1
- Première procédure : calcul de l’image de 12 en s’appuyant sur la propriété multiplicative de linéarité (coefficient scalaire : x 3).

• Deuxième procédure : calcul de l’image de 12, en utilisant le coefficient de proportionnalité.

• Problème 2
- Première procédure : on calcule l’antécédent de 4 en s’appuyant sur la propriété multiplicative de linéarité (recherche d’un coefficient scalaire).

• Deuxième procédure : on calcule l’antécédent de 4 en utilisant le coefficient de proportionnalité. Pour faciliter le calcul (et le raisonnement) on utilise la correspondance inverse : le nombre de verres est proportionnel au nombre de morceaux de sucre.