INTEGRAZIONE PER FZ A PIù VARIABILI

Question 1

teorema sull’INTEGRABILITà

Answer 1

f: [a,b]x[c,d]->IR è continua => f è integrabile su [a,b]x[c,d]

Question 2

teorema METODO del RETTANGOLO

Answer 2

f: [a,b]x[c,d]->IR è continua. valgono le seguenti formule:
S[a,b]x[c,d] f(x,y)dxdy= S[a,b] ( S[c,d] f(x,y)dy )dx= S[c,d] (S[c,d]f(x,y)dx)dy

Question 3

teorema CRITERIO di INTEGRABILITà su DOMINI REGOLARI

Answer 3

f: Ω(c IR^2 dominio regolare)->IR funzione continua
=> f è integrabile su Ω

Question 4

teorema METODO di RIDUZIONE per DOMINI SEMPLICI

Answer 4

i) Ω c IR^2 dominio x-semplice
ii) f: Ω ->IR funzione continua
=> S(Ω) f(x,y)dxdy= S[c,d] ( S[h1(y),h2(y)] f(x,y)dx )dy
se invece i) Ω c IR^2 dominio y-semplice
=> S(Ω) f(x,y)dxdy= S[a,b] ( S[g1(x),g2(x)] f(x,y)dy )dx

Question 5

teorema FORMULA del CAMBIAMENTO di VARIABILI

Answer 5

f: D c IR^2 (dominio regolare)->IR funzione continua
T: D’->D una trasformazione di coordinate
(u,v)->T(u,v)=(x,y)=(g(u,v),h(u,v))
=>SS(D) f(x,y)dxdy = SS(D’) f(g(u,v),h(u,v))IdetJT(u,v)Idudv

Question 6

proposizione su D INSIEME SEMPLICE

Answer 6

Ω £ IR^3 insieme semplice rispetto al piano xy. D insieme semplice di IR^2 E g1,g2: D->IR funzioni continue.
se f: Ω->IR continua => f è integrabile in Ω con SSS(Ω) fdxdydz=SS(D) ( S[g1(x,y),g2(x,y)] fdz )dxdy

Question 7

proposizione INTEGRAZIONE per STRATI

Answer 7

Ω c IR^3={(x,y,z) £ IR^3: h1<z<h2 e (x,y) £ D(z)}
se f: Ω->IR continua => f è integrabile con SSS(Ω) f(x,y,z)dxdydz = S[h1,h2] ( SS(D(z)) f(x,y)dxdy )dz

Question 8

teorema CAMBIO di VARIABILE in IR^3

Answer 8

D c IR^3 dominio regolare e f: D->IR^3 continua
T: D’c IR^3->D trasformazione di coordinate
(u,v,w)->T(u,v,w)=(x,y,z)
=> SSS(D) f(x,y,z)dxdydz = SSS(D’) f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w))IdetJT(u,v,w)Idudvdw

Question 9

teorema INTEGRALE di un CAMPO VETTORIALE
con dimostrazione

Answer 9

F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) campo vettoriale £ C^1(D dominio semplice).
1) se D= y-semplice => SS(D) δyP(x,y)dxdy = - S(δ+D) Pdx
2) se D= x-semplice => SS(D) Q(x,y)dxdy = S(δ+D) Qdx

Question 10

teorema di GAUSS-GREEN

Answer 10

D dominio limitato di IR^2 semplice rispetto a entrambi gli assi. F8x,y)=(P(x,y), Q(x,y)) campo vettoriale £ C^1(D)
=> SS(D) (δxQ-DyP)dxdy = S(δ+D) (Pdx+Qdy)