DEFINIZIONI ANALISI COMPLESSA Flashcards
CAMPO COMPLESSO IC
IR^2 munito delle operazioni di addizione e moltiplicazione
NUMERI COMPLESSI
elementi del campo complesso: z=(a,b) £ IC
CONIUGATO di Z
numero complesso _z=a-ib
MODULO
numero reale non negativo: IzI=√ a^2+b^2=√ z* _z
ARGOMENTO di Z
θ nella forma trigonometrica. se θ £ [-π,π]= numero detto ARGOMENTO PRINCIPALE= Arg(θ)
LIMITE
lim f(z) =L £ IC per z->z° se ∀ ε>0 esiste δ: δ(ε)>0 : se Iz-z°I £ I(δ)∩ A => If(z)-LI<ε
FZ CONTINUA
se lim f(z)=f(z°) per z-> z°
FZ DERIVABILE
se esiste finito in IC il lim [f(z+h)-f(z)]/h per h->0
FZ=u(x,y)+iv(x,y) DIFFERENZIABILE
<=> u,v differenziabili in IR^2 e valgono le CONDIZIONI di CAUCHY
FZ OLOMORFA in A
se f è derivabile in A, aperto, cpn derivata continua, cioè f £ C^1(A)
FORMA POLARE
numero complesso scritto come z=ρe^(iθ) dove ρ=IzI
INTEGRALE di f su Y
con Y curva regolare a tratti con sostegno in A si ha
S(Y)f = S[a,b] f(Y(t))Y’(t)dt
PRIMITIVA di f
la funzione f: A(aperto connesso)->IC: F’(z)=f(z)
PUNTO ELIMINABILE
punto singolare isolato z°: esiste lim f(z)=λ £ IC per z->z°, con f funzione analitica
PROLUNGAMENTO ANALITICO
~f: A->IC, ~f={f(z) se z £ A
{λ se z £ z°
POLO di ORDINE n
punto singolare isolato se la fz (z-z°)^(n)*f(z)->λ diverso da 0 per z->z°
FZ ANALITICA in A
se ∀z° £ A, connesso, f è sviluppabile in serie di potenze in ogni intorno Br(z°) c A, cioè f(z)= Σan(z-z°)^n dove an=f^n(z)/n!
INTORNO FORATO di Z°
l’insieme Br*(z°)=Br(z°){z°}
PUNTO SINGOLARE ISOLATO Z°
se per una fz analitica z° NON £ A e esiste Br*(z°) c A
SINGOLARITà ESSENZIALE
punto singolare che non è eliminabile, né è un polo e si ha che non esiste il lim di f(z) per z->z°
Z°=ZERO di f
se f(z°)=0 con f,analitica: A, aperto connesso, ->IC
RESIDUO
di f, analitica, in z°, punto singolare isolato, il numero res(f,z°)=1/2πi *S(Y) f(z)dz con Y curva chiusa contenente z° e NON altri punti singolari di f
