CAMPI VETTORIALI

Question 1

proposizione degli OPERATORI
con dimostrazione

Answer 1

F: Ω c IR^3->IR^3 campo vettoriale e u: Ω c IR^3->IR campo scalare con Ω aperto connesso. F, u £ C^2(Ω)
=> 1) ∇x(∇u)=rot(gradu)=0
2) ∇(∇xF)=div(rotF)=0
3) ∇(∇u)=div(grad u)= Δu

Question 2

lemma sul LAVORO

Answer 2

F=∇U campo conservativo in Ω aperto connesso e Y=Y(t), t £ [a,b], = curva regolare a tratti orientata e contenuta in Ω. P=Y(a) e Q=Y(b) estremi della curva
=> lavoro di F su Y : S(Y) Fds=S F(Y(t))Y’(t)dt= U(Q)-U(P)

Question 3

teorema su CURVE-CAMPI VETTORIALI

Answer 3

F £ C^1(Ω aperto connesso) => le seguenti3 affermazioni sono equivalenti
1) ∀ coppia di curve regolari a tratti Y1 e Y2 c Ω con stessi estremi => S(Y1)Fds=S(Y2)Fds
2) ∀ curva semplice, regolare a tratti c Ω => ∮(Y)Fds=0
3) F= conservativo in Ω

Question 4

proposizione dell’IRROTAZIONALITà
con dimostrazione

Answer 4

Ω aperto connesso, F: Ω c IR^3->IR^3 £ C^1(Ω)
se F è conservativo su Ω => F è irrotazionale su Ω

Question 5

teorema della CONSERVATIVITà

Answer 5

F £ C^1(Ω) con Ω semplicemente connesso.
se F è irrotazionale => F è conservativo su Ω