FUNZIONI A PIù VARIABILI SCALARI IR^(N)->IR Flashcards
ALGEBRA dei LIMITI
f, g: A c IR^(N)-> IR, esiste il lim f(x) e il lim g(x) per x-> x°
lim(f±g)= lim f ± lim g
lim f*g = lim f * lim g
lim f/g =lim f / lim g
proposizione LIMITE di una FZ RISTRETTA
f: A c IR^(N)-> IR, L £ IR U { ∞}. se lim f(x) = L per x-> x°
=> ∀H c A: x°£ H si ha lim f(x)IH =L per x->x°
teorema del LIMITE in FORMA POLARE
f: A c IR^2 ->IR e (x°,y°) £ A = punto di accumulazione
lim f(x,y)= L £ IR U { ∞} per (x,y)->(x°,y°) <=> lim f(x°+ρcos ϑ, y°+ρsenϑ)=L per ρ->0, uniformemente rispetto a ϑ
se L(ϑ) => non rispetta l’unicità del limite perché assume valori diversi
teorema degli ZERI
se E c IR^(N) è connesso per archi e
i) f: E->IR è continua
ii) esistono x, y £E: f(x)<0 e f(y)>0
=> esiste z £ E: f(z)=0.
teorema di WEIERSTRASS
f continua in E= chiuso e limitato
=> esistono xm e xM £ E: f(xm)<f(x)<f(xM), ∀x £ E
proposizione di una FZ DIFFERENZIABILE
con dimostrazione
E c IR^(N) aperto e f differenziabile in x° £ IR^(N)
=> 1) f è continua in x°
2) f è derivabile in x° e a=∇f(x°)
teorema del DIFFERENZIALE TOTALE
condizione sufficiente
E c IR^(N) aperto. esistono le derivate parziali di f in un introno sferico di x° e sono continue in x°
=> f è differenziabile in x°
se esistono e sono continue in tutto E
=> f è differenziabile in E
teorema FORMULA del GRADIENTE
f differenziabile in E c IR^(N) aperto
=> ∀ v £ IR^(N) esiste Dv f(x°), derivata direzionale, :
Dv f(x°)<∇f(x°),v> = Σ [δf(x°)/δxj] vj
teorema ALGEBRA dei GRADIENTI
f, g: IR^(N)-> IR. α, β £ IR scalari.
=> 1) ∇(αf ± βg) = α∇f ± β∇g
2) ∇fg = g∇f + f∇g
3) ∇f/g = (g∇f - f∇g)/g^2
teorema della FZ COMPOSTA DIFFERENZIABILE
f: E->IR e g(fz scalare): I c IR->IR. h(x)=g(f(x)) definita in un intorno sferico di x £ E
se i) f è differenziabile in x° £ E
ii) g è derivabile in f(x°)
=> h è differenziabile in x° e ∇h(x°)= g’(f(x°))∇f(x°)
teorema della FZ CALCOLATA in una CURVA
Y: I c IR->IR^(N) e f: E c IR^(N)->IR. h(t)=f(Y(t)) definita in un intorno sferico di t° £ I.
se i) Y = derivabile in t°
ii) f è differenziabile in Y(t°)
=> h è derivabile in t° e h’(t°)= ∇f(Y(t°)) IIY’(t°)II= Σ [δf(Y(t°))/δxj] Y’(t°)
teorema di SCHWARZ
supponiamo i) per certi indici i, j £{1,…,N} esistono le derivate 2° miste fxixj e fxjxi in un intorno di x° £ IR^(N)
ii) fxixj e fxjxi continue in x°
=> fxixj(x°)=fxjxi(x°)
teorema FORMULA di TAYLOR con RESTO di LAGRANGE
f £ C^2 (E). ∀x° £ E e h £ IR^(N): x°+ h £ E, esiste d £ (0,1) numero reale dipendente da x° e h:
f(x°+h)=f(x°)+Σ [δf(x°)/xi]hi+1/2ΣΣ [δ^2f(xà+dh)/δxiδxj]hihj
teorema FORMULA di TAYLOR con RESTO di PEANO
f £ C^2 (E). ∀x° £ E vale:
f(x°+h)=f(x°)+Σ [δf(x°)/xi]hi+1/2ΣΣ [δ^2f(xà+dh)/δxiδxj]hihj+ o(IIhII^2) con o(IIhII)->0 per h->0.
terorema di FERMAT
con dimostrazione
condizione necessaria del 1° ordine per i punti estremanti
E c IR^(N) aperto e x° punto di max o min relativo
se f è derivabile=> ∇f(x°)=0 (tutte le derivate parziali sono nulle)
