DEFINIZIONI FZ SCALARI A PIù VARIABILI IR^(N)->IR Flashcards
CURVA di LIVELLO per f al LIVELLO α: f(x,y)=α, con α £ IR
curva sul piano xy dove la funzione assume valore costante
INTORNO SFERICO
insieme del tipo Bρ(x°)={x £ IR^(N): IIx-x°II <ρ} per qualche ρ>0
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
se ∀ρ>0 esiste x £ Bρ(x°) ∩ A c IR^(N), x diverso da x°
LIMITE
lim f(x)=L £ IR per x->x° se ∀ ε>0 esiste δ(ε)>0 : ∀x £ Bδ(ε)(x°)∩ A con x diverso da x° => If(x)-LI<ε
PUNTO INTERNO ad E
se esiste un intorno sferico di x° contenuto in E, cioè esiste Bρ(x°) c E
PUNTO ESTERNO ad E
se esiste un intorno sferico contenuto in E^c (complementare di E = IR^N \E) cioè esiste Bρ(x°) c E^c
PUNTO di FRONTIERA
se ogni intorno sferico di x° contiene almeno un punto di E e un punto di E^c, cioè esiste Bρ(x°)∩E non vuoto e Bρ(x°)∩E^c non vuoto
INSIEME APERTO o CHIUSO
E c IR^N è aperto se ogni suo punto è un punto interno, è chiuso se il suo complementare E^c è aperto
PUNTO ISOLATO
se esiste Bρ(x°), per qualche ρ>0: Bρ(x°)∩E={x°}
INSIEME di PUNTI INTERNI di E
E°={x £ E: x punto interno}
INSIEME di PUNTI di FRONTIERA
δE={x £ IR^N: x punto di frontiera}
CHIUSURA di E
_E=E°UδE
INSIEME CONNESSO
NON esistono M,N insiemi aperti: E c M c N
M∩N=vuoto (disgiunti)
M∩E e N∩E non vuoti
CONNESSIONE per ARCHI
se ∀_x, _y £ E esiste una curva Y: [a,b]->E: Y(a)= _x e Y(b)= _y
INSIEME LIMITATO
E c IR^N se esiste k>0 costante: IIxII<k, ∀x £ E
X° PUNTO MASSIMO per f
X° PUNTO MINIMO per f
se ∀x £ E c domf => f(x)<f(x°)
se ∀x £ E c domf => f(x)>f(x°)
FZ DERIVABILE in (x°, y°) £ E c IR^2 RISPETTO a X
se esiste finito lim [f(x°+h, y°)-f(x°, y°)]/h per h->0 =: δf(x°, y°)/δx
FZ DERIVABILE in (x°, y°) £ E c IR^2 RISPETTO a Y
se esiste finito lim [f(x°, y°+k)-f(x°, y°)]/k per k->0 =: δf(x°, y°)/δy
GRADIENTE
vettore che ha come componenti tutte le derivate parziali di f in (x°, y°): ∇f(x°, y°)=(δf(x°, y°)/δx, δf(x°, y°)/δy)
DERIVATE PARZIALI
E c IR^N aperto, f è derivabile in x° £ E , se in tale punto esistono tutte le derivate parziali di f
f £ C^1(E)
se f è differenziabile in E e le sue derivate parziali sono continue in E
f DIFFERENZIABILE in X°
se esiste un vettore a £ IR^N: per h->0, h £ IR^N si ha f(x°+h)-f(x°)=<a,h> +o(IIhII)
DIFFERENZIALE di f in X°
se f è ddifferenziabile, è una funzione del tipo df(x°): h-> <∇f(x°), h>
PIANO TANGENTE
se f è differenziabile in x° £ IR^N, è il piano di equazione z= f(x°) + < ∇f(x°,y°), x-x°>
se x°=(x1°,..,xN°)=> z= f(x°) + Σ δf(x°)/δxi *(x-x°)
DERIVATA DIREZIONALE
v £ IR^N versore, Dv f(x°)= lim[f(x°+tv)-f(x°)]/t
se esiste finito, f ammette derivata direzionale rispetto a v in x°
INTORNO di X° £ IR^N
un qualsiasi aperto che contiene x°
f £ C^k(E)
f derivabile k volte e le derivate parziali sono continue fino all’ordine k
DIFFERENZIALE SECONDO
d^(2)f(x°): IR^N->IR
h-> d^(2)f(x°)h= ΣΣ δ^(2)f(x°)/δxiδxj *hihj
funzione che prende un vettore e ci dà tutte le possibili derivate seconde per le sue componenti
MATRICE HESSIANA di f in X°
(δ^(2)f(x°)/δx1^(2) … δ^(2)f(x°)/δx1xN)
( … … … )
(δ^(2)f(x°)/δxNx1 … δ^(2)f(x°)/δxN^(2))
con sulla diagonale tutte le derivate parziali pure
X° PUNTO DI MAX(MIN)
ASSOLUTO se ∀x £ E f(x°)>f(x) (<)
RELATIVO se esiste un intorno U di x°: ∀z-x £ U => f(x°)>f(x)
(<)
PUNTI DEBOLI o FORTI
i punti di max o min sono detti forti se le disuguaglianze valgono in senso stretto, altrimenti se vale anche l’uguaglianza sono deboli
PUNTI CRITICI o STAZIONARI
punti in cui si annulla il gradiente
