ANALISI COMPLESSA

Question 1

teorema FONDAMENTALE dell’ALGEBRA

Answer 1

ogni polinomio di grado n>=1 con coefficienti complessi ammette almeno una soluzione in campo complesso

Question 2

proposizione DERIVABILITà-CONTINUITà

Answer 2

se f è derivabile => f è continua

Question 3

proposizione DIFFERENZIABILITà-DERIVABILITà

Answer 3

f è differenziabile in IC<=> f è derivabile in IC

Question 4

teorema FONDAMENTALE del CALCOLO INTEGRALE

Answer 4

f: A (aperto connesso)-> IC continua. F primitiva di f. Y :[a,b]->A curva regolare a tratti
=> S(Y) f = S[a,b] f(Y(t))Y’(t)dt= F(Y(b))-F(Y(a))

Question 5

teorema di CAUCHY

Answer 5

f: A (aperto e SEMPLICEMENTE connesso)-> IC olomorfa su A. ∀curva Y chiusa, regolare a tratti con sostegno c A si ha S(Y) f = 0

Question 6

lemma di ABEL

Answer 6

se la serie Σ anz^n converge in un punto z* diverso da 0
=> converge assolutamente in ogni z: IzI<IzI
se raggio di convergenza R 1)=0 serie converge solo in z=0
2)£(0,∞) converge per IzI<R, no >
3)=+∞ converge ∀z £ IC

Question 7

teorema di CAUCHY-HADWARD

Answer 7

Σanz^n e L=lim n^√IanI per n->+ ∞
=> R=0 se L=+ ∞
=1/L se 0<L<+ ∞
=+ ∞ se L=0

Question 8

proposizione FZ OLOMORFA-ANALATICA

Answer 8

f: A aperto connesso ->IC
=> f è olomorfa in A <=> f è analitica in A => f £ C^ ∞(A)

Question 9

teorema di MORERA

Answer 9

f: A aperto connesso ->IC funzione continua. se ∀curva Y chiusa e semplice con sostegno c A: S(Y) f=0 => f è analitica su A

Question 10

proposizione del RESIDUO

Answer 10

f: A aperto connesso ->IC funzione analitica e z° £ A polo di ordine n
=> res(f,z°)=1/(n-1)! lim d^(n-1) ((z-z°)^n f(z)) / dz^(n-1)

Question 11

proposizione del RESIDUO di FZ FRAZIONARIE

Answer 11

f=f1/f2 e z° è uno zero di f2: f1(z°) e f2’(z°) sono diversi da 0
=> f ha un polo di z° e res(f,z°)=f1(z°)/f2’(z°)

Question 12

teorema dei RESIDUI

Answer 12

f: A aperto connesso ->IC funzione analitica. Y curva chiusa con sostegno c A e D regione delimitata da Y.
se z1,…, zr sono punti singolari isolati di f £ D con D{z1,..,zr} c A => S(Y) f = 2πi Σ res(f,zk)

Question 13

teorema del GRANDE CERCHIO

Answer 13

f ben definita e continua nel settore θ1<arg(z)<θ2 per IzI grande. se lim zf(z)=0 per z->∞ => S(Yr) zf(z)dz=0, dove Yr è l’intersezione tra la circonferenza e il settore angolare

Question 14

teorema del PICCOLO CERCHIO

Answer 14

f ben definita e continua nel settore θ1<arg(z)<θ2 per IzI piccolo. se lim zf(z)=0 per z->∞ => S(Yr) zf(z)dz=0, dove Yr è l’intersezione tra la circonferenza e il settore angolare

Question 15

teorema di JORDAN

Answer 15

f definita e continua in un settore s={z £ IC: 0<θ1<arg(z)<θ2<π} nel semipiano Im(z)>0 . se lim f(z)=0 per z->∞ => S(Yr) f(z)e^(iz)dz=0, dove Yr è l’intersezione tra la circonferenza e il settore s

Question 16

lemma di JORDAN

Answer 16

f analitica su un intorno forato Br*(0) dove 0= polo di ordine 1 e con Yr=re^(iθ), θ £ [0,π], si ha che
=> lim S(Yr) f(z)dz= iπres(f,0) per r->0