3 Vorlesung Flashcards
Messen
Vorläufige Definition: „Messen besteht in der Zuordnung
von Zahlen zu Objekten oder Personen“
Formale Definiton: „Messen ist eine homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs in ein numerisches Relativ.“
Messen: Pro und Contra
Contra:
- Die menschliche Psyche ist einfach zu komplex, um sie auf Zahlen reduzieren zu können.
Pro:
- Nicht der Mensch als Ganzes, sondern nur kleine Ausschnitte werden betrachtet
- Zahlen müssen nicht die gesamte Information des Merkmals wiedergeben
Empirisches Relativ
- Ein empirisches Relativ besteht aus einer Menge von Objekten und einer oder mehreren beobachtbaren Relationen zwischen diesen Objekten
- Objekte: z.B. Ihre Kohorte Semester
- Relationen („Information“): Beziehungen zwischen Objekten in Hinblick auf ein Merkmal, z.B. Größe
> Äquivalenzrelation (gekennzeichnet mit ~): Verschiedene Objekte sind hinsichtlich eines Merkmals gleich (oder nicht gleich)
> oder Ordnungsrelation (gekennzeichnet mit ≺ ): Merkmal ist bei einem Objekt stärker ausgeprägt als bei einem anderen Objekt
Numerisches Relativ
- Ein numerisches Relativ besteht aus einer Menge von Zahlen und einer bestimmten Anzahl an definierten Relationen zwischen diesen Zahlen
> Gleichheitsrelation (=)
> Größer-Kleiner-Relation (>)
Homomorphe Abbildung
- Abbildung = Funktion
> Ordnet jedem Objekt genau eine Zahl zu. - Homomorph = Strukturerhaltend
> Die Relationen zwischen den Zahlen entsprechen den Relationen zwischen den Objekten. - Bsp.: Ist die Ausprägung in einem Merkmal größer, so muss auch die zugeordnete Zahl größer sein.
A ≺ B ≺ C -> 1
Skala
Numerisches Relativ, das bei einer homomorphen Abbildung des empirischen Relativs entsteht.
Ergebnis einer homomorphen Abbildung
Erschöpfendes System einander ausschließender
Äquivalenzklassen
- jedes Element kann einer Klasse zugeordnet werden (erschöpfend)
- ein Element kann nicht gleichzeitig mehreren Klassen angehören (einander ausschließend)
- Äquivalenzklassen: Klasse von Objekten, die man hinsichtlich bestimmter Merkmalsausprägungen (z.B. Geschlecht) als gleich betrachtet (z.B. Frauen)
Messtheoretische Probleme
Repräsentationsproblem: Ist ein Merkmal überhaupt messbar, bzw. homomorph abbildbar? Unter welchen
Bedingungen trägt die Skala welche Informationen?
Eindeutigkeitsproblem: Wie flexibel bzw. eindeutig festgelegt ist die Skala?
Bedeutsamkeitsproblem: Welche Analysen bzw. mathematischen Operationen sind bei einer Skala
möglich?
Repräsentationsproblem
Nicht jedes empirische Relativ lässt sich einfach in einem
numerischen Relativ strukturerhaltend abbilden!
Bsp.: Spielstärke von Fußballmannschaften (A, B und C)
- A hat gegen B gewonnen
- B hat gegen C gewonnen
- A trägt anscheinend die höchste Ausprägung des Merkmals Spielstärke und sollte daher die höchste Zahl zugewiesen bekommen
- > Aber!: Was, wenn A gegen C verloren hat?
Für die Abbildung des empirischen Relativs müssen bestimmte Axiome gelten.
Bsp.: Ordnungsrelation
- Transitivität: Wenn A ⊱ B und B ⊱ C, dann A ⊱ C
- Gilt Transitivität nicht, dann kann die Ordnungsrelation des empirischen Relativs nicht im numerischen Relativ abgebildet werden.
In Abhängigkeit der Gültigkeit verschiedener Axiome können verschiedene Relationen abgebildet werden.
Es gilt: Je spezifischer die Relation, desto mehr Axiome müssen gelten.
- Spezifischere Relationen (z.B. Ordnung) erfordern jeweils auch die Gültigkeit der Axiome für weniger spezifische Relationen (z.B. Äquivalenz).
- Bsp.: Damit eine Ordnungsrelation abgebildet werden kann, müssen auch die Axiome der Äquivalenzrelation gültig sein.
-> Verschiedene Skalenniveaus (Messniveaus)
Nominalskala
- Unterstes Skalenniveau - qualitativ
- Es wird nur die Äquivalenzrelation abgebildet.
> Gleiche Ausprägungen bekommen gleiche Zahlen, verschiedene Ausprägungen unterschiedliche Zahlen.
Beispiele:
- Skala für die Religion: atheistisch=1, evangelisch=2, römisch-katholisch=3, muslimisch=4, sonstiges=5.
- Skala für das Geschlecht: männlich=1, weiblich=2
Ordinalskala
- Unterste quantitative Skala
- Nominalskala plus Ordnungsrelation
- Gleiche Ausprägungen bekommen gleiche Zahlen, verschiedene Ausprägungen unterschiedliche Zahlen.
- Kleinere Ausprägungen bekommen kleinere Zahlen, vice versa
Beispiel:
Skala für den Bildungsgrad der Mutter: kein Schulabschluss=1, Hauptschulabschluss=2, Mittlere Reife=3, Abitur=4, Abgeschlossenes Studium=5
Intervallskala
- Quantitativ
- Ordinalskala plus(!) Ordnungsrelation der Unterschiede zwischen Ausprägungen.
> Gleiche Ausprägungen bekommen gleiche Zahlen, verschiedene Ausprägungen unterschiedliche Zahlen.
> Und Kleinere Ausprägungen bekommen kleinere Zahlen, vice versa.
> Unterscheiden sich zwei Ausprägungen stärker als zwei andere Ausprägungen, so müssen die zugeordneten Zahlen eine größere Differenz ergeben.
Beispiele: Celsius-Temperaturskala, Fragebogen (> Ranking)
Aber! Sind Starke Ablehnung (1) und Ablehnung (2) genauso weit voneinander entfernt wie Ablehnung (2) und Neutral (3)?
Verhältnisskala
Quantitativ
Intervallskala plus Verknüpfungsrelation
- Gleiche Ausprägungen bekommen gleiche Zahlen, verschiedene Ausprägungen unterschiedliche Zahlen.
- Und kleinere Ausprägungen bekommen kleinere Zahlen, v.v.
- Unterscheiden sich zwei Ausprägungen stärker als zwei andere Ausprägungen, so müssen die Zahlen eine größere Differenz ergeben, v.v.
- Entspricht eine Ausprägung der Verknüpfung zweier anderer Ausprägungen, so
muss die die zugeordnete Zahl der Addition der beiden anderen entsprechen.
Verhältnisskala entspricht einer Intervallskala mit einem festen Nullpunkt.
> Fester Nullpunkt erlaubt Aussagen über Verhältnisse
Beispiele: Länge, Gewicht, Kelvin-Temperaturskala
Absolutskala
Höchste quantitative Skala
Verhältnisskala plus natürliche Einheit.
- Gleiche Ausprägungen bekommen gleiche Zahlen, verschiedene Ausprägungen unterschiedliche Zahlen.
- Und Kleinere Ausprägungen bekommen kleinere Zahlen, v.v.
- Unterscheiden sich zwei Ausprägungen stärker als zwei andere Ausprägungen, so müssen die Zahlen eine größere Differenz ergeben, v.v.
- Entspricht eine Ausprägung der Verknüpfung zweier anderer Ausprägungen, so muss die die zugeordnete Zahl der Addition der beiden anderen entsprechen.
- Einer Ausprägung wird diejenige Zahl zugeordnet, die der Menge, bzw. der Anzahl der natürlichen Einheiten entspricht.
Eindeutigkeitsproblem
- Abgesehen von der Absolutskala, ist die Zuordnung der Zahlen durch die Axiome eingeschränkt, aber nicht festgelegt.
- Beispiel: Wettrennen A: 1, 0, -5 B: 2, 60, 87 C: 3, 100, 88 D: 4, 1000, 109 -> Im Sinne einer Ordinalskala wären alle drei Zuordnungen identisch.
- Beispiel: Gewicht
A: 1, 1000, 1000000
B: 2, 2000, 2000000
C: 3, 3000, 3000000
D: 4, 4000, 4000000
-> Im Sinne einer Verhältnisskala wären auch hier die Zuordnungen identisch: verschiedene Einheiten: Kg, g, mg.
-> Verglichen mit der Ordinalskala gibt es weniger Freiraum.
Die Eindeutigkeit einer Skala wird praktisch negativ über die Menge der erlaubten Transformationen bestimmt.
- Erlaubte Transformation: Umrechnung der ursprünglichen Skalenwerte, die die Eigenschaften der Abbildung nicht verändert.
- Beispiel Verhältnisskala: Multiplikation mit 1000 ändert nichts!
