3. Egzaktul megoldható fizikai problémák Flashcards
csillapított rezgések és kényszerrezgések
Hogy néz ki a csillapított rezgés megoldása? Különböző esetek?
Alapszitu: rugós rendszer, amiben van valamilyen fék (pl. súrlódás folyadékban), a csillapítás pedig a sebességgel arányos
- mozgásegyenlet felírása: harm. rezgőmozgás csak lassan változó amplitúdóval, G elhagyása
- megoldás keresett alakja: szinuszosan változó
- megoldás behelyettesítése a mozgásegyenletbe
- feltevés: cos együtthatója eltűnik
- összefüggés az amplitúdóra: exponenciális
- visszahelyettesítés a sin-es tagba
- összefüggés a körfrekvenciára + megoldás felírása
- sin maximumának vizsgálata: logaritmikus dekrementumos csökkenés
- ω és β kapcsolatának vizsgálata
- potential kiegészítések
csillapított rezgések és kényszerrezgések
Mi a kényszerrezgések megoldása?
Alapszitu: a rendszerben van egy periodikus erő (pl. súrlódás)
- mozgásegyenlet felírása
- megoldás keresett alakja + visszahelyettesítés a mozgásegyenletbe
- feltétel felírása a fázisszögre
- összefüggés találása az amplitúdóra
- A szélsőértékének vizsgálata: rezonanciafrekvencia
- A(ω) görbe félértékszélességének meghatározása: A = A(max)/gyök2
- rezonanciakatasztrófa fogalma
csatolt rezgések
Mi a csatolt rezgések problémájának megoldása?
Alapszitu: két test D rugóállandójú rugóval a falhoz van csatolva, köztük egy k rugóállandójú rugó
- mozgásegyenletek felírása
- változócsere
- új mozgásegyenletek felírása
- egyenletek megoldása, visszatérés az eredeti változóra
- esetvizsgálat konkrét kezdőfeltételekkel: Lissajous-görbék
lineáris lánc
Mi az egyatomos lineáris lánc megoldása?
Alapszitu: egyforma tömegű atomok egyforma rugókkal összekötve a távolságra, ezeket mozdítjuk ki az egyensúlyi helyzetükből
- mozgásegyenlet felírása
- megoldás keresett alakjának felírása + visszahelyettesítés az egyenletbe: s.érték-egyenlet lesz
- periodikus HF megadása + összefüggés az amplitúdóra
- egyenletbe visszahelyettesítés + diszperziós reláció meghatározása
- Brillouin-zóna felrajzolása
- hullámegyenlet meghatározása
lineáris lánc
Milyen a kétatomos lineáris lánc megoldása?
Alapszitu: két különböző tömegű atom felváltva, ugyanolyan rugókkal összekötve
- mozgásegyenletek felírása + periodikus HF-ek
- megoldás keresett alakja + visszahelyettesítés
- lineáris egyenletrendszer felírása + megoldása: optikai és akusztikus ágak
- megoldások határesetei: q —» 0 , q = π/2, M1 = M2
Kepler-probléma, bolygómozgás
Hogy néz ki a gravitációs tér?
- gravitációs erő felírása pontszerű testekre
- fv., ami F gradiense: potenciális energia
- gravitációs potenciál felírása
Kepler-probléma, bolygómozgás
Hogy írható le a bolygómozgás?
Alapszitu: van az M tömegű Nap, aminek a gravitációs terébe belekerül egy m tömegű bolygó
- feltételek: Nap az origó, centrális erőtér, területi sebesség is megmarad
- területi sebesség megmaradása + energiamegmaradás felírása: síkbeli polárkoordináták
- mozgásegyenlet meghatározása + effektív potenciál vizsgálata
- az r(φ) kapcsolat meghatározása: konstans hozzáadható
- eredmény értelmezése: ellipszis vizsgálata a végtelenből
- excentricitás vizsgálata, r(φ) számlálójának vizsgálata
- Kepler III. törvénye
potenciálvölgy
Milyen egy végtelen potenciálvölgy megoldása kötött állapotokra?
Alapszitu: végtelen mély potenciálgödörben E < ∞ kötött állapotok
- potenciál + Schrödinger egyenlet felírása
- Schrödinger megoldása a V = 0 szakaszra
- illesztés a HF-ekre
- megoldás normálása
- megoldás felírása
- energiaszintek meghatározása
potenciálvölgy
Milyen egy véges potenciálvölgy megoldása kötött állapotokra?
Alapszitu: véges mély potenciálgödörben E < V0 kötött állapotok
- potenciál + Schrödinger felírása az egyes tartományokra
- megoldások + normálás
- páros megoldás: illesztés a HF-ekre, transzcendens egyenlet
- páratlan megoldás: illesztés HF-ekre, transzcendens egyenlet
- konklúzió, hogy mikor vannak megoldások és azok milyenek
oszcillátor
Mik a harmonikus oszcillátor analitikus tárgyalásának lépései?
Alapszitu: 1D-s harmonikus oszcillátor, harmonikus potenciál
- potenciál + Schrödinger felírása
- dimenziótlanítás
- aszimptotikus viselkedés vizsgálata és leválasztása
- visszagelyettesítés a Schrödingerbe + hatványalak
- rekurziós összefüggés + páros és páratlan rész leválasztása
- határeset vizsgálata + véges polinom megoldás
- energia + rekurziós összefüggés újbóli felírása
- általános megoldás: normálás, Hermite-polinomok
keltő és eltüntető operátorok
Mik a harmonikus oszcillátor algebrai tárgyalásának lépései?
Alapszitu: 1D-s harmonikus oszcillátor, harmonikus potenciál
- Schrödinger átalakítva impulzus és koordináta operátorokra
- léptetőoperátorok bevezetése: szorzatuk, kommutátoruk
- Schrödinger felírása a léptetőoperátorokkal: jelentés a megoldásokra nézve
- normálhatóság vizgsálata
- alapállapoti energia létezése
- tetszőleges energiaszint előállítsa + kapcsolat az analitikus megoldással
rotátor
Mi a rotátor problémájának megoldása?
Alapszitu: matematikai modell egy kvantumos rendszerre
- gömbi Laplace elemei: L_z és L^2 felírása
- L_z sajátérték-problémája + megoldása
- L^2 sajátérték-problémája + megoldása: változócsere + aszimptotikus megoldás leválasztása + sajátérték
- diffegyenlet megoldásainak felírása: gömbfüggvények
hidrogénatom
Hogy néz ki a hidrogénatom problámájának megoldása?
Alapszitu: egy mozdulatlan, Ze töltésű atommag és egy körülötte “keringő” e töltésű elektron
- potenciál + gömbi hullámfv. felírása
- időftlen Schrödinger felírása + dimenziótlanítás
- aszimptotikus viselkedés leválasztása + visszahelyettesítés a Schrödingerbe
- új egyenlet megoldása: hatványfv. alak + visszahelyettesítés
- rekurziós összefüggés felírása + aszimptotikus viselkedés vizsgálata
- normálás megoldása: véges polinom
- főkvantumszám bevezetése + energia felírása
