2. A klasszikus mechanika elvei Flashcards
klasszikus mechanika elvei
Milyen elvek jellemzőek a klasszikus mechanikára?
Az alapvető szabályokat a Newton törvények rögzítik, a matematikai formulák azokkal ekvivalensek, de formalizmusban kicsit eltérőek.
- közepes távolságok, idők
- lassú, folytonos mozgás
- alapmennyiségek: távolság, idő, tömeg
- tér: euklideszi, 3D, homogén, izotrop
- idő: 1D, homogén, ftlen a tértől
virtuális munka elve
Mi a virtuális munka elve?
Kiindulás: egyensúlyi helyzet tárgyalásánál a kényszererőket sokszor túl bonyolult/nem lehet megadni, ilyenkor kell ez az elv.
Egyensúlyban a szabad erők virtuális munkája zérus.
- megadható a kényszerfeltétel a kényszererő ismerete nélkül
- erők felbontása: szabad + kényszer
- kényszererő: pontosan akkora, hogy a kényszer geometriájának eleget tegyen
- virtuális elmozdulás: a pálya olyan variációja, amely a kényszereknek eleget tesz rögzített időpontban (időfüggetlen vs. időfüggő)
- kényszerfeltételek jellemzése: felírás, pici elmozdulás, Taylor-sorba fejtés
- kényszerfeltételek figyelembe vétele a Lagrange-multiplikátorokkal
- egyensúlyi feltétel: minden anyagi pontra ható szabad és kényszererők összege zérus
Hamilton-elv
Mi a Hamilton-elv?
A rendszer mechanikai állapota két időpont között úgy változik, hogy a hatásintegrál szélsőérték legyen.
- Lagrange-fv.: rendszer dinamikai viselkedésének összegzése
- hatásfunkcionál: a fizikailag megvalósuló pálya mentén a hatás stacionárius
- stacionaritás megállapítása: funkcionál variációja (rögzített vs. nem rögzített végpontok)
- stacionaritás feltétele: a hatásfunkcionál variációja eltűnik
- Euler-Lagrange-egyenlet: variációs derivált eltűnik (rögzített végpontok esetén)
Lagrange-féle első és másodfajú mozgásegyenletek
Mik a Lagrange-féle első és másodfajú mozgásegyenletek?
D’Alambert-elv: mozgástörvény megadása, ekvivalens a Hamilton-elvvel és a virtuális munka elvével
- szabad mozgás esetén vs. kényszerek esetén
Elsőfajú mozgásegyenletek:
- kényszerekre felteszünk egy alakot: Lagrange-multiplikátorokkal mint ftlen egyenletek
- visszahelyettesítés a d’Alambert-elvbe
Másodfajú mozgásegyenletek:
- nem alkalmazható a Lagrange-multiplikátoros módszer
- állítás: léteznek olyan koordináták, amelyek illeszkednek a kényszerhez minden holonom kényszerre (általános koordináták)
- holonom kényszer: csak a koordinátákra ad megkötést (a deriváltjaikra nem)
- d’Alambert-elv felírható általánosított koordinátákkal
- Euler-Lagrange-egyenlet általános koordinátákkal
Hamilton-függvény, kanonikus egyenletek
Mi a Hamilton-függvény és mik a kanonikus egyenletek?
A Hamilton-függvény a Lagrange-függvény Legendre-transzformáltja.
- bevezetés célja: másodrendű diffegyenletekről áttérés elsőrendűekre
Kanonikus egyenletek levezethetzőek a Hamilton-fv. teljes deriváltjából: q-ra, p-re és H t szerinti deriváltjára
- konzervatív rendszerre a Hamilton-fv. éppen a rendszer teljes energiája
kanonikus transzformációk
Mi a kanonikus transzformáció?
Olyan koordináták közötti áttérések, amelyek teljesítik a kanonikus egyenleteket és a variációs elvnek is eleget tesznek.
Jelentőség: ciklikus koordináták
- def.: olyan krd.-ák, amiktől a H nem függ
- ezekhez tartozó kanonikus impulzusok állandóak
- minél több ilyen van, annál egyszerűbb megoldani az adott problémát
- a trafóval ezekre akarunk áttérni a kanonikus egyenletek megtartásával
Következtetés: a funkcionál csak egy teljes időderivált erejéig definiált, azaz tetszőleges fv. időderiváltjával kiegészítve nem változnak a mozgásegyenletek.
- új fv. lehetséges típusai
- régi és új krd.-áknak függetlennek kell lenniük
- régi és új krd.-ák trafós képleteiben nem fordul elő a rendszer Hamilton-fv.-e, tehát a trafó kanonikus jellege ftlen a vizsgált problémától
szimmetriák és megmaradási tételek
Mit mond ki a Noether-tétel?
Minden folytonos szimmetriához tartozik egy magmaradó mennyiség.
- insert képlet
- a Lagrange-fv. megváltozásának zérusságával bizonyítható
szimmetriák és megmaradási tételek
Milyen megmaradási törvényekről beszélhetünk?
Tér homogenitása: eltolási invariancia
- rendszer szimmetriája: eltolás
- insert trafó alakja (erre L változatlan marad)
- megmaradó mennyiség: teljes impulzus
Tér izotrópiája: elforgatás invariancia
- rendszer szimmetriája: forgatás
- insert trafó alakja
- megmaradó mennyiség: impulzusmomentum
Idő homogenitása: időbeli eltolás
- rendszer szimmetriája: tér időbeli eltolása
- insert trafó alakja
- megmaradó mennyiség: teljes energia (ha L nem fog expliciten függni az időtől, amúgy pedig L időderiváltja lesz állandó)
Megmaradó mennyiségek megállapítása a Noether-tétel alapján.
