1. A klasszikus mechanika alapjai Flashcards
kinematikai alapfogalmak
Milyen kinematikai alapfogalmak vannak?
Kinematika: testek mozgásának matematikai leírása
Mozgó test: test hely-, illetve helyzetváltozása egy másik testhez képest
Vonatkoztatási rendszer: az a test, amihez a mozgsát viszonyítjuk
Koordináta-rendszer: ebben írjuk l az anyagi pont mozgását, rögzített a v. r.-hez képest
- origó: k. r. középpontja
- helyvektor: origóból az anyagi ponthoz húzott szakasz (irány, mitől függ)
Tömegpont-közelítés: kiterjedt, mereb test helyett azzal megegyező tömegű pontokként kezeljük a testet
Pálya: a görbe, amit a test a mozgása során leír
- út: a pálya teljes vagy csak egy részének hossza (s)
- elmozdulásvektor: a pálya kezdő- és végpontját összekötő vektor (Δr)
- |Δr| ≠ s* általában
Test mozgásának leírása: helyvektor koordinátáinak időbeli értékeit megadjuk
- pillanatnyi sebesség: Δr/Δt, Δt —» 0-ban
- pillanatnyi gyorsulás: Δv/Δt, Δt —» 0-ban
mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben
Milyen gyakran használt koordináta-rendszerek vannak?
- Descartes-i k.r.: 3 krd. a tömegpont leírására
- síkbeli polárk.r.
- hengerk.r.
- gömbk.r.
Természetes k.r.: anyagi pont mozgásához rendelhető hozzá
- másnéven: kísérő triéder
- egységvektorok: e, n, b
- fogalmak: simulókör, simulósík, pálya pillanatnyi görbülete
Newton-törvények, mozgásegyenlet, tehetetlen és súlyos tömeg
Mik a Newton-törvények?
I. törvény: tehetetlenség törvénye
Minden test nyugalomban van vagy egyenes vonalú mozgást végez, amíg egy másik test vagy mező mozgásállapotának megváltoztatására nem kényszeríti
- inerciarendszer: olyan rendszer, amiben a magára hagyott test megőrzi a sebességét, ilyen mindig található
II. törvény: dinamika alaptörvénye
Az erő arányos a gyorsulással és a tömeggel/az impulzus időderiváltja
- erő: empirikusan definiálható, a mechanikai erőhatások erősségét méri, [F] = N
- tömeg: minden testhez egyértelműen hozzárendelhető mérőszám, [m] = kg
III. törvény: hatás-ellenhatás törvénye
Az egyik test ugyanakkora erővel hat a másikra, mint amekkora erőt a másik test fejt ki az elsőre. A két erő egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú és más testre hatnak.
IV. törvény: szuperpozíció elve
Egy testre egyidejűleg ható erők együttes hatása megegyezik a vektoriális eredőjük hatásával.
- testre ható erő felbontható tetszőlegesen sok erővé, amiknek a vektoriális összege az eredeti erő
- erőhatások függetlenek egymástól
gyorsuló koordinátarendszerek
Mi történik, ha nem tudunk az adott problémához illeszkedő inerciarendszert találni?
El kell transzformálni az eredeti rendszer helyvektorait.
Használjunk gyorsuló k.r.-eket: K és K’ rendszerek
- transzlációsan gyorsuló rendszer: K’ gyorsul, de nem forog K-hoz képest
- forgó rendszer: K és K’ el vannak forgatva egymáshoz képest, de az origójuk azonos
gyorsuló koordinátarendszerek
Hogyan működik a helyvektorok transzformációja? Mi történik a sebességekkel és gyorsulásokkal?
Vektorok trafója:
- lineáris kapcsolat r és r’ között: valamilyen O 3x3-as forgásmátrix
- vektorok hossza, szöge nem változik forgatáskor
- r és r’ ugyanazok “fizikai vektor” K és K’-beli reprezentációja
- skalárszorzat invariáns
Sebességek átszámítása:
- időfüggő forgást nézünk
- v = dr/dt = v’ + Ωr = v’ + ω x r
- Ω antiszimmetrikus
- ω szögsebesség: a forgás adott pillanatban ezzel a vektorral jellemezhető, O mátrixtól és a deriváltjától függ
- nem csak helyvektorra, hanem akármilyen vektorra igaz ez
Gyorsulások átszámítása:
- β szöggyorulás: β = dω/dt = β’, azaz K-ban és K’-ben a szöggyorulás ugyanaz a “fizikai vektor”
- K-beli gyorsulás: a = a0 + a’ + 2Ωv’ + (dΩ/dt)r + Ω^2 r
- K’-beli gyorsulás: a’ = a - a0 - 2Ωv’ - (dΩ/dt)r - Ω^2 r = a - a0 + 2v’ x ω + r x β - ω x (ω x r)
- az egyes gyorsulástagok: tehetetlenségo gyorsulások
gyorsuló koordinátarendszerek
Mik azok a tehetetlenségi erők?
A gyorsuló k.r.-beli mozgásegyenlet:
ma’ = F – ma0 + 2m(v’ x ω) + m(r x β) – mω x (ω x r)
- F: K rendszerből a K’-re ható erő
- ma0: a K’ transzlációs gyorsulásából származó erő
- –mω x (ω x r): centrifugális erő, iránya a tengelytől kifele mutat
- 2m(v’ x ω): Coriolis-erő, a forgó rendszerhez képest v’ sebességgel haladó testre hat (jelentőség: ciklonok), északi féltekén jobbra, délin balra térít, kelet felé súlycsökkenést, nyugat felé súlynövekedést okoz (Eötvös-effektus)
- m(r x β): Euler-erő
Newton-törvények, mozgásegyenlet, tehetetlen és súlyos tömeg
Mi a különség a tehetetlen tömeg és a súlyos tömeg között?
Tehetetlen tömeg: a tömeg, mint a tehetetlenség mértéke
Súlyos tömeg: a testek mennyire vonzzák egymást
Arányuk állandó az anyagi minőségtől függetlenül, a kettő közötti eltérés < 5*10^-8.
munkatétel
Mi a munkatétel? Mikor konzervatív az erőtér?
Egy testre, F erő hat, ami a testet elmozdítja. A teljes munka a pálya kis szakaszain végzett munka összegéből kapható (integrál).
Konzervatív erőtér: olyan erőtér, amibena munka nem függ az útvonaltól, csak a kezdő- és végpontoktól
- a munkatétel zárt görbéra vett integrálra nullát ad, így következtethető, hogy létezik olyan potenciál, aminek a negatív gradiense az erőt adja ki
- ekkor a teljes mechanikai energia megmarad
pontrendszerek
Mi az impulzusmegmaradás törvénye?
Ha a testre nem hat erő, az impulzus megmarad.
- erőlökés: adott idő alatti impulzusmegváltozás, az erő idő szerinti integrálja
- ha F = 0, akkor tehát az impulzusváltozás is 0
pontrendszerek
Mi az impulzusmomentum-megmaradás törvénye tömegpontra?
Ha a testre nem hat forgatónyomaték, akkor az impulzusmomentum megmarad.
- forgatónyomaték: M = r x F, a tengellyel rögzített testre erőt kifejtve a test forgásba jöhet
- impulzusmomentum: N = r x p
- a kettő kapcsolata: M = dN/dt, a Newton II.-ből levezethető r-rel való vektoriális szorzással, tehát, ha M = 0, N = állandó
pontrendszerek
Mi a tömegközéppont-tétel és az impulzustétel pontrendszerekre?
Tömegkozéppont-tétel:
- tömegközéppont: az egyes tömegek helykoordinátáinak a tömegekkel súlyozott átlaga
- TKP sebessége: az egyes pontok sebességeinek tömegekkel súlyozott átlaga, azaz p/M
Impulzustétel:
- adott pontra ható mozgásegyenlet: külső erők + belső erők
- mozgásegyenletek összeadhatóak: kiesnek a belső erők Newton III. miatt, átalakítható impulzusra
- az egyes pontok impulzusainak összegéből vett időderivált megegyezik a külső erők összegével
- az is megállapítható az impulzustétel és v(TKP) időderiváltja alapján, hogy ha a testre nem hatnak külső erők, akkor a TKP egyenes vonalú egyenletes mozgást fog végezni vagy nyugalomban lesz
pontrendszerek
Hogy szól az impulzusmomentum megmaradási törvénye pontrendszerre? Mi a kapcsolat a TKP-rendszer és az inerciarendszer között?
Ha nem hat külső erő a rendszerre, akkor az impulzusmomentum állandó.
- tömegpontok mozgásegyenleteinek felösszegzéséből és r-rel való vektoriális szorzásból kijön
Kapcsolat a rendszerek között:
- felírható a helykrd. és a sebesség a TKP rendszerhez képesti elmozdulással
- N definíciójába behelyettesítve kijön, hogy lesz egy pálya-impulzusmomentum és egy saját-impulzusmomentum komponens
pontrendszerek
Hogy van a munkatétel és az energiamegmaradás pontrendszerre?
A teljes kinetikus energia megváltozását a külső és belső erők munkájának az összege adja.
- pontrendszerek mozgásegyenletét be kell szorozni Δr-rel
- innen felírható a munkatétel TKP rendszerre is
merev testek: egyensúly feltétel
Mi a merev test fogalma és hány szabadsági foka van?
Merev test: olyan test, amelyre tetszőleges kcsh. során fennáll, hogy közben bármely két pontjának távolsága állandó.
- a test három pontjának rögzítésével adható meg az egész test helyzete (nem kollineáris pontok)
Szabadsági fokok száma:
- 3 pont helyének meghatározása: 9 adat
- 3 összefüggés a 3 pont egymástól vett változatlan távolságára
- előzőek miatt a 9 adat nem ftlen, a ftlen adatok száma: 9 – 3 = 6
- összesen 6 szabadsági fok: 3 tetszőleges x,y,z krd. + 3 Euler-szög
merev testek: egyensúlyi feltétel
Mik a merev test egyensúlyi feltételei? Milyen típusú egyensúlyi helyzetek vannak?
A pontrendszerek megmaradási tételeiből kiindulva, két szükséges és elégséges feltétel lesz:
- a testre ható összes külső erő eredője nulla
- a test tetszőleges pontjára ható forgatónyomatékok eredője is nulla
Egyensúlyok típusai:
- stabil: a test kitérítés után eredeti helyzetének környezetében marad/visszatér
- labilis: a test kitérítés után eltávolodik az eredeti helyzetétől és nem tér vissza
- indifferens: a test az új helyzetében is egyensúlyban marad
