1. A klasszikus mechanika alapjai Flashcards
kinematikai alapfogalmak
Milyen kinematikai alapfogalmak vannak?
Kinematika: testek mozgásának matematikai leírása
Mozgó test: test hely-, illetve helyzetváltozása egy másik testhez képest
Vonatkoztatási rendszer: az a test, amihez a mozgsát viszonyítjuk
Koordináta-rendszer: ebben írjuk l az anyagi pont mozgását, rögzített a v. r.-hez képest
- origó: k. r. középpontja
- helyvektor: origóból az anyagi ponthoz húzott szakasz (irány, mitől függ)
Tömegpont-közelítés: kiterjedt, mereb test helyett azzal megegyező tömegű pontokként kezeljük a testet
Pálya: a görbe, amit a test a mozgása során leír
- út: a pálya teljes vagy csak egy részének hossza (s)
- elmozdulásvektor: a pálya kezdő- és végpontját összekötő vektor (Δr)
- |Δr| ≠ s* általában
Test mozgásának leírása: helyvektor koordinátáinak időbeli értékeit megadjuk
- pillanatnyi sebesség: Δr/Δt, Δt —» 0-ban
- pillanatnyi gyorsulás: Δv/Δt, Δt —» 0-ban
mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben
Milyen gyakran használt koordináta-rendszerek vannak?
- Descartes-i k.r.: 3 krd. a tömegpont leírására
- síkbeli polárk.r.
- hengerk.r.
- gömbk.r.
Természetes k.r.: anyagi pont mozgásához rendelhető hozzá
- másnéven: kísérő triéder
- egységvektorok: e, n, b
- fogalmak: simulókör, simulósík, pálya pillanatnyi görbülete
Newton-törvények, mozgásegyenlet, tehetetlen és súlyos tömeg
Mik a Newton-törvények?
I. törvény: tehetetlenség törvénye
Minden test nyugalomban van vagy egyenes vonalú mozgást végez, amíg egy másik test vagy mező mozgásállapotának megváltoztatására nem kényszeríti
- inerciarendszer: olyan rendszer, amiben a magára hagyott test megőrzi a sebességét, ilyen mindig található
II. törvény: dinamika alaptörvénye
Az erő arányos a gyorsulással és a tömeggel/az impulzus időderiváltja
- erő: empirikusan definiálható, a mechanikai erőhatások erősségét méri, [F] = N
- tömeg: minden testhez egyértelműen hozzárendelhető mérőszám, [m] = kg
III. törvény: hatás-ellenhatás törvénye
Az egyik test ugyanakkora erővel hat a másikra, mint amekkora erőt a másik test fejt ki az elsőre. A két erő egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú és más testre hatnak.
IV. törvény: szuperpozíció elve
Egy testre egyidejűleg ható erők együttes hatása megegyezik a vektoriális eredőjük hatásával.
- testre ható erő felbontható tetszőlegesen sok erővé, amiknek a vektoriális összege az eredeti erő
- erőhatások függetlenek egymástól
gyorsuló koordinátarendszerek
Mi történik, ha nem tudunk az adott problémához illeszkedő inerciarendszert találni?
El kell transzformálni az eredeti rendszer helyvektorait.
Használjunk gyorsuló k.r.-eket: K és K’ rendszerek
- transzlációsan gyorsuló rendszer: K’ gyorsul, de nem forog K-hoz képest
- forgó rendszer: K és K’ el vannak forgatva egymáshoz képest, de az origójuk azonos
gyorsuló koordinátarendszerek
Hogyan működik a helyvektorok transzformációja? Mi történik a sebességekkel és gyorsulásokkal?
Vektorok trafója:
- lineáris kapcsolat r és r’ között: valamilyen O 3x3-as forgásmátrix
- vektorok hossza, szöge nem változik forgatáskor
- r és r’ ugyanazok “fizikai vektor” K és K’-beli reprezentációja
- skalárszorzat invariáns
Sebességek átszámítása:
- időfüggő forgást nézünk
- v = dr/dt = v’ + Ωr = v’ + ω x r
- Ω antiszimmetrikus
- ω szögsebesség: a forgás adott pillanatban ezzel a vektorral jellemezhető, O mátrixtól és a deriváltjától függ
- nem csak helyvektorra, hanem akármilyen vektorra igaz ez
Gyorsulások átszámítása:
- β szöggyorulás: β = dω/dt = β’, azaz K-ban és K’-ben a szöggyorulás ugyanaz a “fizikai vektor”
- K-beli gyorsulás: a = a0 + a’ + 2Ωv’ + (dΩ/dt)r + Ω^2 r
- K’-beli gyorsulás: a’ = a - a0 - 2Ωv’ - (dΩ/dt)r - Ω^2 r = a - a0 + 2v’ x ω + r x β - ω x (ω x r)
- az egyes gyorsulástagok: tehetetlenségo gyorsulások
gyorsuló koordinátarendszerek
Mik azok a tehetetlenségi erők?
A gyorsuló k.r.-beli mozgásegyenlet:
ma’ = F – ma0 + 2m(v’ x ω) + m(r x β) – mω x (ω x r)
- F: K rendszerből a K’-re ható erő
- ma0: a K’ transzlációs gyorsulásából származó erő
- –mω x (ω x r): centrifugális erő, iránya a tengelytől kifele mutat
- 2m(v’ x ω): Coriolis-erő, a forgó rendszerhez képest v’ sebességgel haladó testre hat (jelentőség: ciklonok), északi féltekén jobbra, délin balra térít, kelet felé súlycsökkenést, nyugat felé súlynövekedést okoz (Eötvös-effektus)
- m(r x β): Euler-erő
Newton-törvények, mozgásegyenlet, tehetetlen és súlyos tömeg
Mi a különség a tehetetlen tömeg és a súlyos tömeg között?
Tehetetlen tömeg: a tömeg, mint a tehetetlenség mértéke
Súlyos tömeg: a testek mennyire vonzzák egymást
Arányuk állandó az anyagi minőségtől függetlenül, a kettő közötti eltérés < 5*10^-8.
munkatétel
Mi a munkatétel? Mikor konzervatív az erőtér?
Egy testre, F erő hat, ami a testet elmozdítja. A teljes munka a pálya kis szakaszain végzett munka összegéből kapható (integrál).
Konzervatív erőtér: olyan erőtér, amibena munka nem függ az útvonaltól, csak a kezdő- és végpontoktól
- a munkatétel zárt görbéra vett integrálra nullát ad, így következtethető, hogy létezik olyan potenciál, aminek a negatív gradiense az erőt adja ki
- ekkor a teljes mechanikai energia megmarad
pontrendszerek
Mi az impulzusmegmaradás törvénye?
Ha a testre nem hat erő, az impulzus megmarad.
- erőlökés: adott idő alatti impulzusmegváltozás, az erő idő szerinti integrálja
- ha F = 0, akkor tehát az impulzusváltozás is 0
pontrendszerek
Mi az impulzusmomentum-megmaradás törvénye tömegpontra?
Ha a testre nem hat forgatónyomaték, akkor az impulzusmomentum megmarad.
- forgatónyomaték: M = r x F, a tengellyel rögzített testre erőt kifejtve a test forgásba jöhet
- impulzusmomentum: N = r x p
- a kettő kapcsolata: M = dN/dt, a Newton II.-ből levezethető r-rel való vektoriális szorzással, tehát, ha M = 0, N = állandó
pontrendszerek
Mi a tömegközéppont-tétel és az impulzustétel pontrendszerekre?
Tömegkozéppont-tétel:
- tömegközéppont: az egyes tömegek helykoordinátáinak a tömegekkel súlyozott átlaga
- TKP sebessége: az egyes pontok sebességeinek tömegekkel súlyozott átlaga, azaz p/M
Impulzustétel:
- adott pontra ható mozgásegyenlet: külső erők + belső erők
- mozgásegyenletek összeadhatóak: kiesnek a belső erők Newton III. miatt, átalakítható impulzusra
- az egyes pontok impulzusainak összegéből vett időderivált megegyezik a külső erők összegével
- az is megállapítható az impulzustétel és v(TKP) időderiváltja alapján, hogy ha a testre nem hatnak külső erők, akkor a TKP egyenes vonalú egyenletes mozgást fog végezni vagy nyugalomban lesz
pontrendszerek
Hogy szól az impulzusmomentum megmaradási törvénye pontrendszerre? Mi a kapcsolat a TKP-rendszer és az inerciarendszer között?
Ha nem hat külső erő a rendszerre, akkor az impulzusmomentum állandó.
- tömegpontok mozgásegyenleteinek felösszegzéséből és r-rel való vektoriális szorzásból kijön
Kapcsolat a rendszerek között:
- felírható a helykrd. és a sebesség a TKP rendszerhez képesti elmozdulással
- N definíciójába behelyettesítve kijön, hogy lesz egy pálya-impulzusmomentum és egy saját-impulzusmomentum komponens
pontrendszerek
Hogy van a munkatétel és az energiamegmaradás pontrendszerre?
A teljes kinetikus energia megváltozását a külső és belső erők munkájának az összege adja.
- pontrendszerek mozgásegyenletét be kell szorozni Δr-rel
- innen felírható a munkatétel TKP rendszerre is
merev testek: egyensúly feltétel
Mi a merev test fogalma és hány szabadsági foka van?
Merev test: olyan test, amelyre tetszőleges kcsh. során fennáll, hogy közben bármely két pontjának távolsága állandó.
- a test három pontjának rögzítésével adható meg az egész test helyzete (nem kollineáris pontok)
Szabadsági fokok száma:
- 3 pont helyének meghatározása: 9 adat
- 3 összefüggés a 3 pont egymástól vett változatlan távolságára
- előzőek miatt a 9 adat nem ftlen, a ftlen adatok száma: 9 – 3 = 6
- összesen 6 szabadsági fok: 3 tetszőleges x,y,z krd. + 3 Euler-szög
merev testek: egyensúlyi feltétel
Mik a merev test egyensúlyi feltételei? Milyen típusú egyensúlyi helyzetek vannak?
A pontrendszerek megmaradási tételeiből kiindulva, két szükséges és elégséges feltétel lesz:
- a testre ható összes külső erő eredője nulla
- a test tetszőleges pontjára ható forgatónyomatékok eredője is nulla
Egyensúlyok típusai:
- stabil: a test kitérítés után eredeti helyzetének környezetében marad/visszatér
- labilis: a test kitérítés után eltávolodik az eredeti helyzetétől és nem tér vissza
- indifferens: a test az új helyzetében is egyensúlyban marad
merev testek: tehetetlenségi tenzor
Mi a tehetetlenségi nyomaték? Tenzoralakban?
Tehetetlenségi nyomaték: a forgást végző merev test forgási tehetetlensége, analóg a tömeggel forgómozgás esetén
- egy szabadsági fokú rendszer esetén az impulzusmomentum z komponensének felírásával bevezethető (kényszererők kiesnek, kell a tengelytől vett távolság)
Tehetetlenségi tenzor: tehetetlenségi nyomaték folytonos tömegeloszlásra
- az adott e tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték felírásából bevezethető
- kétindexes tenzor
- főátló: x, y, z tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték
- offdiagonális elemek: eltérítő nyomatékok (forgástengely eltérítése az eredeti irányból)
- szimmetrikus: fel lehet venni úgy a dolgot a tenzor sajátvektoraival, hogy csak diagonális elemek legyenek
merev test: mozgási energia, impulzus, impulzusmomentum
Hogy írható fel egy merev test mozgási energiája, impulzusa és impulzusmomentuma?
Mozgási energia: transzlációs + rotációs + kölcsönös mozgási energia
- rotációs mozgás felírható a tehetetlenségi tenzorral
- utsó csak TKP-rendszerben nulla
Impulzus: transzlációs sebességből + szögsebességből
- TKP-rendszerben itt sincs az utsó tag
Impulzusmomentum: transzlációs sebességből + tehetetlenségi tenzorral
- N definíciója be lehet helyettesíteni a forgós v-t
pörgettyűk
Mi a pörgettyű fogalma? Hogy mozog egy szimmetrikus, erőmentes pörgettyű és egy szintén szimmetrikus, de nem a középpontban alátámasztott pörgettyű?
Pörgettyű: minden olyan merev test, aminek csak egy pontja (támaszpontja) van rögzítve
- az alátámasztási pont körüli mozgása a testnek maga a támaszpont mozgásától elkülönítve tárgyalható
- 3 szabadsági fok: 3 mozgásegyenlet (Euler-egyenletek)
- nyugvó K rendszer, együtt forgó K’, állandó tehetetlenségi tenzor, K’ a főtengely rendszer
Szimmetrikus, erőmentes pörgettyű: a pörgettyű szimmetriatengelye az inerciarendszerben állandó impulzusmomentum körül egyenletesen forog egy kúp mentén meghatározható szögsebességgel
- TKP rögzített pont
- külső erők nyomatéka zérus
- két fő tehetetlenségi nyomaték megegyezik
- a K rendszerben való leíráshoz: Euler-szögek
Rögzített, súlyos, szimmetrikus pörgettyű, nem TKP-ban alátámasztva: a szimmetriatengelye “hímestojásszerű” mintát ír le, egyszerre nutál és precesszál
- Euler-egyenletek helyett Lagrange-formalizmus kell
- nutáció: θ adott intervallumban periodikusan változik
- φ sem egyenletesen változik
Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika
Mik a relativisztikus tárgyalásmód alapfogalmai? (5 db)
Relativitás elve: a fizika törvényei minden vonatkoztatási rendszerben azonosak
- a különböző K inerciarendszerbeli x, y, z, t koordinátákkal leírt egyenletek alakja azonos
- a fény sebesslge minden vonatkoztatási rendszerben azonos
- a téridő homogén és a tér izotróp: nincs kitüntetett irány
Téridő: események halmaza, adott K rendszerben az (x,y,z,t) pontok összessége
Ívhossz: tetszőleges eseményekre insert képlet
- a 4D Minkowski-geometriában a távolság
- invariáns mennyiség (az ívelemnégyzet is)
- téridő tartományai: időszerű, térszerű és fényszerű ívhossz szerint
Sajátidő: adott esemény ideje adott koordinátarendszerben
- kapcsolat az ívhosszal: insert képlet
Anti háromszög-egyenlőtlenség: két pont között a leghosszabb út az egyenes
- 3 eseményre a 3 összekötő ívhossz szerint igaz, hogy: τ12 + τ23 < τ13
Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika
Mi a Galilei-transzformáció?
Newtoni mechanikában az egymáshoz képest EVE mozgást végző inerciarendszerek közötti áttérés.
- insert képletek
- problámák: sérti a fénysebesség állandóságát, ívhossz nem invariáns
Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika
Mi a Lorentz-transzformáció? Mik a tulajdonságai? Hogy alakulnak az egyes mennyiségek transzformáltjai?
Az a lineáris transzformáció (hiperbolikus forgatás), amely megtartja az ívhossz invarianciáját és az ilyen mennyiségeket váltja át az egyes rendszerek között.
- insert mátrix
- +/-: nincs/van időtükrözés
- χ = arth(v/c): rapiditás
- megőrzi a négyesvektorok hosszát
- helykoordináta: Lorentz-kontrakció (a mozgó test hossza kisebbnek mérhető, mintha nem mozogna)
- időkoordináta: idődilatáció (a mozgó rendszer idejét kevesebbnek érzékeli egy nem abban lévő megfigyelő)
Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika
Mit jelent a négyesformalizmus?
Az eseményeket négyesvektorok reprezentálják.
- alsóindex: kovariáns, felsőindex: kontravariáns
- alsó és felső indexekre automatikus összegzés van
- kapcsolat a ko- és kontravariáns vektorok közötti kapcsolat: metrikus tenzor
Helykoordináta: x vektorok
Négyessebesség: helykoordináta ívhossz szerinti deriváltja, önmagával vett Lorentz-szorzat = 1
Négyesgyorsulás: négyessebesség ívhossz szerinti deriváltja, önmagával vett Lorentz-szorzat = -a^2/c^4
Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika
Mi történik relativisztikusan az energiával és az impulzussal?
Nyugalmi tömeg: a részecskéhez képest nyugvó rendszerbeli tömeg
Energia: felírható a Hamilton-függvényből
Négyesimpulzus: a négyessebesség tömeggel való szorzatából
- definíció szerint ez a relativisztikus hatás helykoordináta szerinti deriváltja (azaz variációszámításból vezethető le)
- tömeghéj feltétel: az egymással vett Lorentz-szorzata = (m^2)*(c^2)
