1. A klasszikus mechanika alapjai Flashcards

1
Q

kinematikai alapfogalmak

Milyen kinematikai alapfogalmak vannak?

A

Kinematika: testek mozgásának matematikai leírása

Mozgó test: test hely-, illetve helyzetváltozása egy másik testhez képest

Vonatkoztatási rendszer: az a test, amihez a mozgsát viszonyítjuk

Koordináta-rendszer: ebben írjuk l az anyagi pont mozgását, rögzített a v. r.-hez képest

  • origó: k. r. középpontja
  • helyvektor: origóból az anyagi ponthoz húzott szakasz (irány, mitől függ)

Tömegpont-közelítés: kiterjedt, mereb test helyett azzal megegyező tömegű pontokként kezeljük a testet

Pálya: a görbe, amit a test a mozgása során leír

  • út: a pálya teljes vagy csak egy részének hossza (s)
  • elmozdulásvektor: a pálya kezdő- és végpontját összekötő vektor (Δr)
    • |Δr| ≠ s* általában

Test mozgásának leírása: helyvektor koordinátáinak időbeli értékeit megadjuk

  • pillanatnyi sebesség: Δr/Δt, Δt —» 0-ban
  • pillanatnyi gyorsulás: Δv/Δt, Δt —» 0-ban
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

mozgás leírása különböző koordináta-rendszerekben

Milyen gyakran használt koordináta-rendszerek vannak?

A
  • Descartes-i k.r.: 3 krd. a tömegpont leírására
  • síkbeli polárk.r.
  • hengerk.r.
  • gömbk.r.

Természetes k.r.: anyagi pont mozgásához rendelhető hozzá

  • másnéven: kísérő triéder
  • egységvektorok: e, n, b
  • fogalmak: simulókör, simulósík, pálya pillanatnyi görbülete
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Newton-törvények, mozgásegyenlet, tehetetlen és súlyos tömeg

Mik a Newton-törvények?

A

I. törvény: tehetetlenség törvénye

Minden test nyugalomban van vagy egyenes vonalú mozgást végez, amíg egy másik test vagy mező mozgásállapotának megváltoztatására nem kényszeríti

  • inerciarendszer: olyan rendszer, amiben a magára hagyott test megőrzi a sebességét, ilyen mindig található

II. törvény: dinamika alaptörvénye

Az erő arányos a gyorsulással és a tömeggel/az impulzus időderiváltja

  • erő: empirikusan definiálható, a mechanikai erőhatások erősségét méri, [F] = N
  • tömeg: minden testhez egyértelműen hozzárendelhető mérőszám, [m] = kg

III. törvény: hatás-ellenhatás törvénye

Az egyik test ugyanakkora erővel hat a másikra, mint amekkora erőt a másik test fejt ki az elsőre. A két erő egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú és más testre hatnak.

IV. törvény: szuperpozíció elve

Egy testre egyidejűleg ható erők együttes hatása megegyezik a vektoriális eredőjük hatásával.

  • testre ható erő felbontható tetszőlegesen sok erővé, amiknek a vektoriális összege az eredeti erő
  • erőhatások függetlenek egymástól
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

gyorsuló koordinátarendszerek

Mi történik, ha nem tudunk az adott problémához illeszkedő inerciarendszert találni?

A

El kell transzformálni az eredeti rendszer helyvektorait.

Használjunk gyorsuló k.r.-eket: K és K’ rendszerek

  • transzlációsan gyorsuló rendszer: K’ gyorsul, de nem forog K-hoz képest
  • forgó rendszer: K és K’ el vannak forgatva egymáshoz képest, de az origójuk azonos
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

gyorsuló koordinátarendszerek

Hogyan működik a helyvektorok transzformációja? Mi történik a sebességekkel és gyorsulásokkal?

A

Vektorok trafója:

  • lineáris kapcsolat r és r’ között: valamilyen O 3x3-as forgásmátrix
  • vektorok hossza, szöge nem változik forgatáskor
  • r és r’ ugyanazok “fizikai vektor” K és K’-beli reprezentációja
  • skalárszorzat invariáns

Sebességek átszámítása:

  • időfüggő forgást nézünk
  • v = dr/dt = v’ + Ωr = v’ + ω x r
  • Ω antiszimmetrikus
  • ω szögsebesség: a forgás adott pillanatban ezzel a vektorral jellemezhető, O mátrixtól és a deriváltjától függ
  • nem csak helyvektorra, hanem akármilyen vektorra igaz ez

Gyorsulások átszámítása:

  • β szöggyorulás: β = dω/dt = β’, azaz K-ban és K’-ben a szöggyorulás ugyanaz a “fizikai vektor”
  • K-beli gyorsulás: a = a0 + a’ + 2Ωv’ + (dΩ/dt)r + Ω^2 r
  • K’-beli gyorsulás: a’ = a - a0 - 2Ωv’ - (dΩ/dt)r - Ω^2 r = a - a0 + 2v’ x ω + r x β - ω x (ω x r)
  • az egyes gyorsulástagok: tehetetlenségo gyorsulások
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

gyorsuló koordinátarendszerek

Mik azok a tehetetlenségi erők?

A

A gyorsuló k.r.-beli mozgásegyenlet:

ma’ = F – ma0 + 2m(v’ x ω) + m(r x β) – mω x (ω x r)

  • F: K rendszerből a K’-re ható erő
  • ma0: a K’ transzlációs gyorsulásából származó erő
  • –mω x (ω x r): centrifugális erő, iránya a tengelytől kifele mutat
  • 2m(v’ x ω): Coriolis-erő, a forgó rendszerhez képest v’ sebességgel haladó testre hat (jelentőség: ciklonok), északi féltekén jobbra, délin balra térít, kelet felé súlycsökkenést, nyugat felé súlynövekedést okoz (Eötvös-effektus)
  • m(r x β): Euler-erő
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Newton-törvények, mozgásegyenlet, tehetetlen és súlyos tömeg

Mi a különség a tehetetlen tömeg és a súlyos tömeg között?

A

Tehetetlen tömeg: a tömeg, mint a tehetetlenség mértéke

Súlyos tömeg: a testek mennyire vonzzák egymást

Arányuk állandó az anyagi minőségtől függetlenül, a kettő közötti eltérés < 5*10^-8.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

munkatétel

Mi a munkatétel? Mikor konzervatív az erőtér?

A

Egy testre, F erő hat, ami a testet elmozdítja. A teljes munka a pálya kis szakaszain végzett munka összegéből kapható (integrál).

Konzervatív erőtér: olyan erőtér, amibena munka nem függ az útvonaltól, csak a kezdő- és végpontoktól

  • a munkatétel zárt görbéra vett integrálra nullát ad, így következtethető, hogy létezik olyan potenciál, aminek a negatív gradiense az erőt adja ki
  • ekkor a teljes mechanikai energia megmarad
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

pontrendszerek

Mi az impulzusmegmaradás törvénye?

A

Ha a testre nem hat erő, az impulzus megmarad.

  • erőlökés: adott idő alatti impulzusmegváltozás, az erő idő szerinti integrálja
  • ha F = 0, akkor tehát az impulzusváltozás is 0
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

pontrendszerek

Mi az impulzusmomentum-megmaradás törvénye tömegpontra?

A

Ha a testre nem hat forgatónyomaték, akkor az impulzusmomentum megmarad.

  • forgatónyomaték: M = r x F, a tengellyel rögzített testre erőt kifejtve a test forgásba jöhet
  • impulzusmomentum: N = r x p
  • a kettő kapcsolata: M = dN/dt, a Newton II.-ből levezethető r-rel való vektoriális szorzással, tehát, ha M = 0, N = állandó
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

pontrendszerek

Mi a tömegközéppont-tétel és az impulzustétel pontrendszerekre?

A

Tömegkozéppont-tétel:

  • tömegközéppont: az egyes tömegek helykoordinátáinak a tömegekkel súlyozott átlaga
  • TKP sebessége: az egyes pontok sebességeinek tömegekkel súlyozott átlaga, azaz p/M

Impulzustétel:

  • adott pontra ható mozgásegyenlet: külső erők + belső erők
  • mozgásegyenletek összeadhatóak: kiesnek a belső erők Newton III. miatt, átalakítható impulzusra
  • az egyes pontok impulzusainak összegéből vett időderivált megegyezik a külső erők összegével
  • az is megállapítható az impulzustétel és v(TKP) időderiváltja alapján, hogy ha a testre nem hatnak külső erők, akkor a TKP egyenes vonalú egyenletes mozgást fog végezni vagy nyugalomban lesz
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

pontrendszerek

Hogy szól az impulzusmomentum megmaradási törvénye pontrendszerre? Mi a kapcsolat a TKP-rendszer és az inerciarendszer között?

A

Ha nem hat külső erő a rendszerre, akkor az impulzusmomentum állandó.

  • tömegpontok mozgásegyenleteinek felösszegzéséből és r-rel való vektoriális szorzásból kijön

Kapcsolat a rendszerek között:

  • felírható a helykrd. és a sebesség a TKP rendszerhez képesti elmozdulással
  • N definíciójába behelyettesítve kijön, hogy lesz egy pálya-impulzusmomentum és egy saját-impulzusmomentum komponens
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

pontrendszerek

Hogy van a munkatétel és az energiamegmaradás pontrendszerre?

A

A teljes kinetikus energia megváltozását a külső és belső erők munkájának az összege adja.

  • pontrendszerek mozgásegyenletét be kell szorozni Δr-rel
  • innen felírható a munkatétel TKP rendszerre is
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

merev testek: egyensúly feltétel

Mi a merev test fogalma és hány szabadsági foka van?

A

Merev test: olyan test, amelyre tetszőleges kcsh. során fennáll, hogy közben bármely két pontjának távolsága állandó.

  • a test három pontjának rögzítésével adható meg az egész test helyzete (nem kollineáris pontok)

Szabadsági fokok száma:

  • 3 pont helyének meghatározása: 9 adat
  • 3 összefüggés a 3 pont egymástól vett változatlan távolságára
  • előzőek miatt a 9 adat nem ftlen, a ftlen adatok száma: 9 – 3 = 6
  • összesen 6 szabadsági fok: 3 tetszőleges x,y,z krd. + 3 Euler-szög
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

merev testek: egyensúlyi feltétel

Mik a merev test egyensúlyi feltételei? Milyen típusú egyensúlyi helyzetek vannak?

A

A pontrendszerek megmaradási tételeiből kiindulva, két szükséges és elégséges feltétel lesz:

  • a testre ható összes külső erő eredője nulla
  • a test tetszőleges pontjára ható forgatónyomatékok eredője is nulla

Egyensúlyok típusai:

  • stabil: a test kitérítés után eredeti helyzetének környezetében marad/visszatér
  • labilis: a test kitérítés után eltávolodik az eredeti helyzetétől és nem tér vissza
  • indifferens: a test az új helyzetében is egyensúlyban marad
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

merev testek: tehetetlenségi tenzor

Mi a tehetetlenségi nyomaték? Tenzoralakban?

A

Tehetetlenségi nyomaték: a forgást végző merev test forgási tehetetlensége, analóg a tömeggel forgómozgás esetén

  • egy szabadsági fokú rendszer esetén az impulzusmomentum z komponensének felírásával bevezethető (kényszererők kiesnek, kell a tengelytől vett távolság)

Tehetetlenségi tenzor: tehetetlenségi nyomaték folytonos tömegeloszlásra

  • az adott e tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték felírásából bevezethető
  • kétindexes tenzor
  • főátló: x, y, z tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték
  • offdiagonális elemek: eltérítő nyomatékok (forgástengely eltérítése az eredeti irányból)
  • szimmetrikus: fel lehet venni úgy a dolgot a tenzor sajátvektoraival, hogy csak diagonális elemek legyenek
16
Q

merev test: mozgási energia, impulzus, impulzusmomentum

Hogy írható fel egy merev test mozgási energiája, impulzusa és impulzusmomentuma?

A

Mozgási energia: transzlációs + rotációs + kölcsönös mozgási energia

  • rotációs mozgás felírható a tehetetlenségi tenzorral
  • utsó csak TKP-rendszerben nulla

Impulzus: transzlációs sebességből + szögsebességből

  • TKP-rendszerben itt sincs az utsó tag

Impulzusmomentum: transzlációs sebességből + tehetetlenségi tenzorral

  • N definíciója be lehet helyettesíteni a forgós v-t
17
Q

pörgettyűk

Mi a pörgettyű fogalma? Hogy mozog egy szimmetrikus, erőmentes pörgettyű és egy szintén szimmetrikus, de nem a középpontban alátámasztott pörgettyű?

A

Pörgettyű: minden olyan merev test, aminek csak egy pontja (támaszpontja) van rögzítve

  • az alátámasztási pont körüli mozgása a testnek maga a támaszpont mozgásától elkülönítve tárgyalható
  • 3 szabadsági fok: 3 mozgásegyenlet (Euler-egyenletek)
  • nyugvó K rendszer, együtt forgó K’, állandó tehetetlenségi tenzor, K’ a főtengely rendszer

Szimmetrikus, erőmentes pörgettyű: a pörgettyű szimmetriatengelye az inerciarendszerben állandó impulzusmomentum körül egyenletesen forog egy kúp mentén meghatározható szögsebességgel

  • TKP rögzített pont
  • külső erők nyomatéka zérus
  • két fő tehetetlenségi nyomaték megegyezik
  • a K rendszerben való leíráshoz: Euler-szögek

Rögzített, súlyos, szimmetrikus pörgettyű, nem TKP-ban alátámasztva: a szimmetriatengelye “hímestojásszerű” mintát ír le, egyszerre nutál és precesszál

  • Euler-egyenletek helyett Lagrange-formalizmus kell
  • nutáció: θ adott intervallumban periodikusan változik
  • φ sem egyenletesen változik
18
Q

Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika

Mik a relativisztikus tárgyalásmód alapfogalmai? (5 db)

A

Relativitás elve: a fizika törvényei minden vonatkoztatási rendszerben azonosak

  • a különböző K inerciarendszerbeli x, y, z, t koordinátákkal leírt egyenletek alakja azonos
  • a fény sebesslge minden vonatkoztatási rendszerben azonos
  • a téridő homogén és a tér izotróp: nincs kitüntetett irány

Téridő: események halmaza, adott K rendszerben az (x,y,z,t) pontok összessége

Ívhossz: tetszőleges eseményekre insert képlet

  • a 4D Minkowski-geometriában a távolság
  • invariáns mennyiség (az ívelemnégyzet is)
  • téridő tartományai: időszerű, térszerű és fényszerű ívhossz szerint

Sajátidő: adott esemény ideje adott koordinátarendszerben

  • kapcsolat az ívhosszal: insert képlet

Anti háromszög-egyenlőtlenség: két pont között a leghosszabb út az egyenes

  • 3 eseményre a 3 összekötő ívhossz szerint igaz, hogy: τ12 + τ23 < τ13
19
Q

Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika

Mi a Galilei-transzformáció?

A

Newtoni mechanikában az egymáshoz képest EVE mozgást végző inerciarendszerek közötti áttérés.

  • insert képletek
  • problámák: sérti a fénysebesség állandóságát, ívhossz nem invariáns
20
Q

Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika

Mi a Lorentz-transzformáció? Mik a tulajdonságai? Hogy alakulnak az egyes mennyiségek transzformáltjai?

A

Az a lineáris transzformáció (hiperbolikus forgatás), amely megtartja az ívhossz invarianciáját és az ilyen mennyiségeket váltja át az egyes rendszerek között.

  • insert mátrix
  • +/-: nincs/van időtükrözés
  • χ = arth(v/c): rapiditás
  • megőrzi a négyesvektorok hosszát
  • helykoordináta: Lorentz-kontrakció (a mozgó test hossza kisebbnek mérhető, mintha nem mozogna)
  • időkoordináta: idődilatáció (a mozgó rendszer idejét kevesebbnek érzékeli egy nem abban lévő megfigyelő)
21
Q

Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika

Mit jelent a négyesformalizmus?

A

Az eseményeket négyesvektorok reprezentálják.

  • alsóindex: kovariáns, felsőindex: kontravariáns
  • alsó és felső indexekre automatikus összegzés van
  • kapcsolat a ko- és kontravariáns vektorok közötti kapcsolat: metrikus tenzor

Helykoordináta: x vektorok

Négyessebesség: helykoordináta ívhossz szerinti deriváltja, önmagával vett Lorentz-szorzat = 1

Négyesgyorsulás: négyessebesség ívhossz szerinti deriváltja, önmagával vett Lorentz-szorzat = -a^2/c^4

22
Q

Galilei-, Lorentz-trafó, relativisztikus kinematika, dinamika

Mi történik relativisztikusan az energiával és az impulzussal?

A

Nyugalmi tömeg: a részecskéhez képest nyugvó rendszerbeli tömeg

Energia: felírható a Hamilton-függvényből

Négyesimpulzus: a négyessebesség tömeggel való szorzatából

  • definíció szerint ez a relativisztikus hatás helykoordináta szerinti deriváltja (azaz variációszámításból vezethető le)
  • tömeghéj feltétel: az egymással vett Lorentz-szorzata = (m^2)*(c^2)