15. Kvantumstatisztikák Flashcards
ideális kvantumgázok
Hogy különböztetjük meg a fermionokat és bozonokat? Mi a Hartree-közelítés?
Mi a Bose-Einstein-kondenzátum?
A hullámfüggvényeik szimmetriatulajdonságai szerint.
Fermionok:
- antiszimmetrikus hullámfv.
- nem lehetnek azonos állapotban a Hartree-közelítés alapján
Bozonok:
- szimmetrikus hullámfv.
- lehetnek azonos állapotban: Bose-Einstein kondenzátum
Hartree-közelítés: a teljes Hamilton-operátor s.állapotai felírhatóak az egyrészecske állapotok szorzataiként.
Olyan makroszkopikusan is megfigyelhető állapota az anyagnak, mikor sok bozon van egyszerre alapállapotban.
ideális kvantumgázok
Hogy számítható ki a nagykanonikus állapotösszeg?
A kvantumos állapotösszeggel dolgozunk.
- energia-s.értékek felírása
- nagykanonikus képlet felírása: az azonos állapotban lévő részecskék számaira való összegzésből produktum lesz
- fermionokra: n(k) = 0,1
- bozonokra: n(k) = 0,1,2,…
- szummák elvégzése
ideális kvantumgázok
Hogy írható fel a nagykanonikus potenciál és a részecskeszám? Mik lesznek a különböző statisztikák?
- nagykanonikus potenciál: produktum helyett logaritmusok összege lesz
- részecskeszám: N = ∂Φ/∂μ
Fermi-Dirac-statisztika: +-os betöltöttség
Bose-Einstein-statisztika: –-os betöltöttség
ideális kvantumgázok
Hogy és miért írhatóak fel a jellemző mennyiségek folytonos változóval?
Azért, mert a fázistéren az egyrészecske állapotok besűrüsödnek a térfogat növekedésével.
- állapotszám: klasszikus q-s, p-s képlet, g degeneráció
- állapotsűrűség: állapotszám változó szerinti deriváltja
- részecskeszám: állapotsűrűség és eloszlás szorzatának integrálja
- energia: állapotsűrűség, eloszlás és a változó szorzatának integrálja
- eloszlás: adott fajta statisztika betöltöttsége, mint folytonos fv.
Fermi-rendszer T = 0 K közelében
Mik a Fermi-Dirac-eloszlás jellemzői?
T = 0 K esetben átmegy lépcsőfüggvénybe.
- ha ε < μ: f = 1
- ha ε > μ: f = 0
- f(ε) csak μ körül változik szignifikánsan egy kT szélességű tartományban
μ kémiai potenciál fizikai jelentése: a valószínűsége annak, hogy egy adott állapotra találok elektront
- T = 0 K esetben μ = ε(F) Fermi-energia
- a Fermi-energia alatti állapotok majdnem mind be vannak töltve, mert a fermionok nem lehetnek azonos állapotban
Részecskeszám és energia: csak 0 és ε(F) között kell integrálni és f = 1
Fermi-rendszer T = 0 K közelében
Példaszámolás delokalizált elektronokra fémekben?
Feltevések: az elektronok szabad részecskék és a többi elektron és a pozitív rácsionok egymás Coulomb-kcsh.-át árnyékolják + az elektronok nemrelativisztikusak
- E(p) «–» p(E) diszperziós reláció felírása
- állapotsűrűség kiszámítása
- részecskeszám kiszámítása + Fermi-energia kifejezése + Fermi-hullámszám bevezetése
- energia kiszámítása
- nyomás kiszámítása
- fém elektronjainak Fermi-energiája ~ 10^(-18) J
Fermi-Dirac- és Bose-Einstein-statisztikák magashőmérsékleti határesete
Hogyan kapható vissza a kvantumos eloszlásokból a klasszikus Maxwell-Boltzmann-eloszlás?
Magas hőmérsékleten az exponenciális csökken, ezért annak kiegyensúlyozásához μ nagy negatív szám kell, hogy legyen.
Alkalmazható magashőmérsékleti sorfejtés: csak a nulladrendű tagot megtartva nincs különbség a két statisztika között
- egy-egy állapot valószínűsűgének felírásával visszakapható a Maxwell-Boltzmann-eloszlás
