11. A kvantummechanika alapjai Flashcards
QM matematikai háttere, reprezentációk, fizikai mennyiségek operátorai
Mi a QM I. posztulátuma?
A fizikai állapotokat egy komplex Hilbert-tér elemei reprezentálják.
Itt az elemek nem feltétlenül függvények.
QM matematikai háttere, reprezentációk, fizikai mennyiségek operátorai
Mik egy Hilbert-tér és az azt jellemző skalárszorzat tulajdonságai?
Hilbert-tér:
- linearitás
- semleges elem
- skalárszorzat
Skalárszorzat:
- második komponensben lineáris
- első komponensben komplex lineáris
- szorzattényezők nem kommutálnak
- nemnegatív norma
QM matematikai háttere, reprezentációk, fizikai mennyiségek operátorai
Milyen egyéb definíciók merülnek fel? Mi egy bázis és mik a jellemzői?
Fontos definíciók: függetlenség, ortogonalitás, teljesség, bázis
Bázis: (interpretáció)
- bázisvektorok jelentése: fizikai mennyiségek állapotai
- valószínűség (ortonormáltság)
- folytonos változó esetén: hullámfv. példája
QM matematikai háttere, reprezentációk, fizikai mennyiségek operátorai
Mi a QM II. posztulátuma?
Minden fizikai operátor egy hermitikus operátor a Hilbert-téren és fordítva.
QM matematikai háttere, reprezentációk, fizikai mennyiségek operátorai
Mi egy fizikai mennyiség sajátérték-problémája? Ez hogy interpretálható?
Sajátérték-probléma: sajátállapotok, sajátértékek felírása
- hermitikus operátorokra: ortogonális s.állapotok, valós s.értékek
- teljes Hilbert-téren a s.állapotok bázist alkotnak
II. posztulátum átfogalmazása:
Egy állapot akkor hordozza egy A fizikai mennyiség egy határozott állapotát a értékkel, ha igaz a s.érték-egyenlet.
- interpretáció: a s.állapot mérési valószínűsége egyben a s.érték mérési valószínűsége is
- fizikai mennyiség várható értéke
QM matematikai háttere, reprezentációk, fizikai mennyiségek operátorai
Hogy írható fel folytonos állapotok várható értéke?
Ekkor a s.állapotok és -értékek is folytonosak.
- általános várható érték
- helyoperátorra
- impulzusoperátorra
határozatlansági reláció
Mi egy fizikai mennység szórása és mi a Cauchy-Schwartz-egyenlőtlenség?
Szórás képlete:
- zárójelesen
- kibontva
- ψ-t bevezetve
Cauchy-Schwartz-egyenlőtlenség képlete:
- egyenlőség: ha a ψ-k egymás számszorosai
határozatlansági reláció
Mi a határozatlansági reláció? Mikor van egyenlőség/egyenlőtlenség? Speckó eset?
Határozatlansági reláció:
- Cauchy-Schwartz az A és B mennyiségekre
- végső szórásos, kommutátoros képlet
- egyenlőség: alsó korlát 0, van közös s.érték-rendszer
- egyenlőtlenség: nemnulla az alsó korlát, nem kompatibilis mennyiségek
- példa: Heisenberg-féle határozatlansági reláció
Schrödinger-egyenlet
Mi alapján vezethetőek le a Schrödinger-egyenletek és mik azok?
Szabad eset síkhullám megoldása.
- kölcsönható esetben időftlen egyenlet
- kölcsönható esetben időfüggő egyenlet
Schrödinger-egyenlet
Hogy adható meg a Schrödinger-egyenlet általános megoldása a változók szeparálásával?
Kiindulás: időfüggő egyenlet
- Hamilton függvény lehet operátor
- stac. megoldás: változók szeparálása
- két oldal kontans
- időfüggő és időftlen részek megoldásai külön-külön
- általános megoldás felírása a s.vektorok bázisán
szabad részecske hullámfüggvénye
Mi a szabad részecske hullámfüggvénye?
Szabad Schrödinger: nincs potenciál
- általános megoldás: síkhullám
- probléma: nem normálható
- jelentés: határozott energiával rendelkező szabad részecske nincs
- normálhatóság megoldása: hullámcsomag (állandó amplitúdójú síkhullám helyett)
anyaghullámok
Mi mondható el a részecskék kettős természetéről?
Kiindulás: fény kettős természete
- EM- hullám: Maxwellek megoldása
- részecske: pl. fotoeffektus
de Broglie-féle hullámelmélet:
- minden részecskének van hullámtulajdonsága
- kétféle természetet leíró mennyiségpárok felírása
valószínűségi értelmezés, szuperpozíció
Mi a hullámfüggvény fizikai jelentése és hogy igazolható az értelmessége?
- korábbi feltételezések: kiterjedt részecske, részecskesűrűség-eloszlás
- kísérleti eredmények: szórás során szétterjed, mindig egész elektronokat detektálnak
Born: a hullámfv. abszolútérték-négyzete az adott részecske megtalálási valószínűsége
- annak a valószínűsége, hogy a részecske egy adott térfogatban lesz
Értelmesség:
- pozitív norma
- normálhatóság bizonyítása
- normálhatóság jelentése
valószínűségi értelmezés, szuperpozíció
Mi a Born-interpretáció?
- nem tudjuk a részecske helyét, impulzusát, spinjét, stb., amíg azt meg nem mérjük
- csak az adott időponthoz tartozó valószínűségeket tudjuk megmondani
- a mérésig a részecske a lehetséges állapotok szuperpozíciójában van
A méréssel együtt a hullámfv. összeomlik és más értéket fog felvenni onnantól az adott jellemző mennyiség.
impulzusmomentum-operátor
Mi az impulzusmomentum-operátor és annak jellemzői?
- L = (x) x (p)
- más mennyiségekkel vett kommutátorok
- operátorok, amikkel van közös s.érték-rendszer
- harmadik komponens + négyzet felírása
- ezek s.értékei és s.függvényei (gömbfüggvények)
