Vettori gaussiani

Question 1

Def matrice di covarianza

Answer 1

Dato X=(X1,…,Xn) su (Ω, F, P) con var(Xi) < +inf
Si definisce matrice di covarianza di X la matrice nxn
Cx = (cij) i=1,…,n j=1,…,n
con cij = cov(Xi,Xj)

Question 2

Proprietà matrice di covarianza

Answer 2

1. Cx è simmetrica
2. Cx è semidefinita positiva
3. se Y = AX+B allora Cy = ACxA^T

Question 3

def vettore gaussiano standard

Answer 3

Un vettore aleatorio m-dimensionale Z=(Z1,…,Zm)^T è detto gaussiano standard se Zj sono v.a. iid e Zj ~ N(0,1) per j=1,..,m
Si dice Z ~ N(0,I)

Question 4

def vettore aleatorio gaussiano

Answer 4

Un vettore aleatorio X=(X1,…,Xn)^T è detto gaussiano se E una matrice A(aij) i=1,…n j=1,…,m e un vettore μ=(μ1,…,μn) app Rn e un vettore Z=(Z1,…,Zm) ~ N(0,I) tale che
X = AY+μ
Si dice X ~ N(μ, AA^T)

Question 5

Densità vettore aleatorio gaussiano

Answer 5

Sia X un vettore aleatorio gaussiano X ~ N(μ, AA^T). Allora X ammette densità su Rn se e solo se det(AA^T) != 0 e in tal caso la densità di X è
fX(x) = 1/rad((2pi)^n*det(C)) * exp{-1/2(x-μ)^T C^-1 (x-μ)}
dove C=AA^T è la matrice di covarianza di x

Question 6

Proprietà vettore aleatorio gaussiano

Answer 6

Sia X = (X1,…,Xn)^T ~ N(μ, AA^T). Allora

1. Per ogni matrice G kxn e h app Rk, Y=GX+h è un vettore aleatorio gaussiano tale che Y ~ N(Gμ+h, GAA^TG^T)
2. Se le componenti di X sono non correlate, allora sono indipendenti