Variabili aleatorie discrete Flashcards
Def variabile aleatoria discreta
Una variabile aleatoria X definita su uno spazio di probabilità (Ω,F,P) è detta discreta se è possibile determinare un sottoinsieme S c R al più numerabile tale che P(X app S) = 1
Def densità discreta
Sia X una v.a. discreta su (Ω,F,P).
Si definisce densità di X la funzione px : R - > [0,1]
px(x) := P(X=x) Vx app R
Proprietà della densità discreta
Sia px la densità di una variabile aleatoria discreta X che assume, con probabilità uno, valori in S = {xk : k app I} I c Z. Allora
1) 0 < = px(x) < = 1 Vx app R
2) px(x) = 0 Vx !app S
3) Σ(k app I) px(xk) = 1
4) Se Fx è la funzione di ripartizione di X, allora Fx(x) = Σ(k : xk < = x) px(xk) Vx app R
5) Se i punti di S possono essere numerati in modo tale che xh < xk se h < k, allora px(xk) = Fx(xk) - Fx(xk-1)
6) Se B c R, allora P(x app B) = Σ(k : xk app B) px(xk)
Media di una v.a. discreta
Si dice che una v.a. X discreta a valori in S = {xk k app I} con densità px ammette media se
Σ(k app I) |xk|px(xk) < +inf
In tal caso si definisce media o valore atteso di X il numero
E(X) := Σ(k app I) xkpx(xk)
Def v.a. discreta geometrica
Una v.a. X è detta geometrica di parametro p, 0 < p < 1, se ha densità
px(k) = p*(1-p)^k-1 I N (k)
E(X) = 1/p
Si usa per descrivere la probabilità che avvenga il primo successo dopo k prove di Bernoulli ciascuna con probabilità p
Mancanza di memoria
La densità geometrica soddisfa la proprietà di mancanza di memoria:
P(X > k+m | X > k) = P(X > m) Vk=0,1,2… Vm=1,2,3…
Def v.a. discreta binomiale
Una v.a. discreta X è detta binomiale di parametri n e p (n intero e 0 < p < 1) se
px(k) = cb(x k)p^k(1-p)^n-k *I{0,1,…,n}(k)
E(X) = n*p
Si usa per descrivere la probabilità che avvengano k successi in n prove di Bernoulli ciascuna con probabilità p
Def v.a. discreta di Poisson
Una v.a. discreta X è detta di Poisson con parametro λ > 0 se ha densità
px(k) = e^-λ * λ^k/k! * I{0,1,2…}(k)
E(X) = λ
E’ l’estensione della geometrica, quando n è grande e p è piccolo (λ=np piccolo)
Def variabile aleatoria discreta ipergeometrica
Una v.a. discreta X è detta ipergeometrica di parametri r+b, r, n se ha densità …
Descrive la probabilità di estrarre k biglie rosse in n estrazioni da un’urna che ne contiene r rosse e b bianche, senza reimmissione (non sono prove di Bernoulli)
