Variabili aleatorie assolutamente continue

Question 1

Def variabile aleatoria assolutamente continua, densità, funzione di ripartizione

Answer 1

Una variabile aleatoria X definita su (Ω,F,P) è detta assolutamente continua se esiste una funzione fx : R - > R+ integrabile, tale che la funzione di ripartizione Fx di X si può scrivere come
Fx(x) = int(-inf, x) fx(s)ds
fx è detta densità di X

Question 2

Proprietà della densità

Answer 2

Se fx è la densità di una variabile aleatoria assolutamente continua X allora
1) int(-inf, +inf) fx(x)dx = 1
2) Se Fx è la funzione di ripartizione di X allora
fx(x) = F’x(x) per tutti gli x app R in cui tale derivata esiste
3) per ogni a < b
P(a < X < = b) = P(a < X < b) = P(a < = X < b) = P(a < = X < = b) = int(a, b) fx(x)dx

Question 3

Caratteristica v.a. continue e densità data la f.d.r.

Answer 3

Sia X una variabile aleatoria e sia Fx la sua funzione di ripartizione. Se Fx è continua ovunque, ed è derivabile con continuità tranne in un insieme finito di punti B={x1,…,xn} , allora X è una variabile aleatoria assolutamente continua e la sua densità è fx(x)=Fx’(x) se x !app B e definita arbitrariamente su B.

Question 4

v.a. uniforme

Answer 4

Una v.a. ass. continua è detta uniforme sull’intervallo (a,b) con a < b se ha densità
fx(x) = 1/(b-a) *I(b-a)(x)

Question 5

v.a. gaussiana

Answer 5

Una v.a. ass. continua è detta gaussiana di parametri μ e σ^2 se ha densità …

Question 6

Def media

Answer 6

Diciamo che X, v.a. assolutamente continua con densità fx, ammette media se
int(-inf,+inf) |x|fx(x)dx < +inf
In tal caso si definisce media o valore atteso di X il numero
E(X) = int(-inf, +inf) xfx(x)dx

Question 7

def quantile di coda destra

Answer 7

Si definisce quantile di ordine α di una gaussiana standard l’unico numero zα tale che α = P(Z > = zα)

Question 8

Def tempo di vita

Answer 8

Tempo di vita X di un apparecchio è il tempo che intercorre (in una unità di misura appropriata) tra l’inizio del funzionamento e il 1° guasto.

Question 9

v.a. esponenziale

Answer 9

Una v.a. ass. continua è detta esponenziale di parametro μ > 0 se ha densità
fx(x) = μ*e^-μx I(0,+inf)(x)

E(X) = 1/μ

Question 10

Def intensità di guasto

Answer 10

Dati X ass. continua, fx, Fx, P(X > 0) = 1, si definisce intensità di guasto di X (o Hazard) la funzione
λx(t) := fx(t) / (1-Fx(t)) t > 0 Fx(t) != 1

Question 11

Significato intensità di guasto

Answer 11

Data l’intensità di guasto λx(t) si può ottenere la funzione di ripartizione di X come
Fx(t) = 1 - e^-int(0,t) λ(s)ds

Da questo segue che

1. λ costante: non usura
2. λ crescente: usura
3. λ decrescente: rodaggio

Nella realtà λ è un misto delle tre possibilità.