Media e varianza

Question 1

Proprietà della media

Answer 1

1) P(X=c) = 1 - > E(X) = c
2) X v.a., B c R, I B (X) - > E(I B (x)) = P(X app B)
3) Se X ammette media, allora Vα,β app R E(αX+β) = αE(X)+β
4) P(X > = 0) = 1 - > E(X) > = 0; se in più E(X) = 0 allora P(0) = 1

5) Se g(X) e h(X) sono v.a. che ammettono media, allora E(g(X)+h(X)) = E(g(X))+E(h(X))
6) Se P(a < = X < = b) = 1 - > a < = E(X) < = b
7) Se P(g(X) > = h(X)) = 1 e g(X) e h(X) ammettono media, allora E(g(X)) > = E(h(X))

Question 2

Def varianza

Answer 2

Sia X una funzione che ammette media E(X) tale che esiste finita E[(X-E(X))^2]. Allora si dice che X ammette varianza e si definisce varianza di X il numero
var(X) := E[(X-E(X))^2]

Question 3

Def deviazione standard

Answer 3

rad(Var(X) ) è detta variazione standard

Question 4

Proprietà della varianza

Answer 4

i) var(X) > = 0 e var(X) = 0 < - > P(X=c) = 1
ii) var(αX+β) = α^2*var(X)
iii) Se X ammette varianza, allora X^2 ammette media e var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Question 5

Def standardizzata

Answer 5

Data X v.a. che ammette media m=E(X) e varianza σ^2=var(X) definiamo
Y := (X - m)/σ
standardizzata di X