Funzione generatrice dei momenti

Question 1

def momento

Answer 1

Sia X una v.a. tale che |X^k| ammette media, con k > 0 intero.
Allora si definisce momento k-esimo di X (o anche momento di ordine k) il numero E(X^k)

Question 2

def funzione generatrice dei momenti

Answer 2

Diciamo che la v.a. X ammette funzione generatrice dei momenti se e^tX ammette media per t app θ intervallo aperto contenente lo 0.
In tal caso, si definisce f.g.m di X la funzione
mX(t) = E(e^tX)
definita per almeno t app θ

Question 3

Proprietà f.g.m.

Answer 3

1. Se X ammette f.g.m. m(x), allora X ammette momenti di ordine k per k=1,2,… e vale
   E(X) = m’(0)
   E(X^2) = m’‘(0)
2. Siano X e Y v.a. che ammetto f.g.m. mX e mY rispettivamente. Allora
   FX = FY se e solo se mX = mY
3. Se X1,…,Xn sono v.a. che ammetto f.g.m. mX1,…,mXn rispettivamente e sono indipendenti, allora
   m(X1+…+Xn)(t) = mX1(t)…mX2(t) per ogni t in un opportuno intervallo aperto contenente lo 0