Intervalli di confidenza

Question 1

def intervallo di confidenza e stima intervallare per un parametro incognito

Answer 1

Sia X1,…,Xn campione aleatorio estratto da una popolazione di densità fθ, θ parametro (o vettore di parametri) incognito, k(θ) caratteristica della popolazione.

Siano T1 = t1(X1,…,Xn) e T2 = t2(X1,…,Xn) due statistiche tali che T1 < T2. Sia α app (0,1).
Se
Pθ(T1 < k(θ) < T2) = 1 - α Vθ
allora
1. (T1,T2) è detto intervallo di confidenza bilatero all’(1-α) % per k(θ)
2. 1 - α è detto livello di confidenza
3. Se osservo X1=x1,…,Xn=xn e t1=t1(x1,…,xn) e t2=t2(x1,…,xn) sono i valori delle statistiche T1 e T2 in corrispondenza delle osservazioni, allora l’intervallo dell’asse reale (t1,t2) è detto stima intervallare all’(1-α) % per k(θ)
4. Diremo che con confidenza (1-α) k(θ) app (t1,t2)

Question 2

def quantità pivotale

Answer 2

Sia X1,…,Xn un campione aleatorio estratto da una popolazione con densità fθ, θ incognito.
Si definisce quantità pivotale una v.a.
Q = q(X1,…,Xn, θ)
(cioè funzione del campione e del parametro incognito) la cui distribuzione non dipende da θ.

Question 3

Metodo della quantità pivotale

Answer 3

Fissato α app (0,1), poiché Q è una quantità pivotale, posso determinare due numeri q1 e q2 dipendenti da α ma indipendenti da θ tali che
Pθ(q1 < Q < q2) = Pθ(q1 < q(X1,…,Xn) < q2) = 1-α Vθ

Se per ogni realizzazione campionaria
q1 < q(x1,…,xn) < q2
cioè
t1(x1,…,xn) < k(θ) < t2(x1,…,xn)
per opportune funzioni t1 e t2 del campione, allora
(T1=t1(X1,…,Xn), T2=t2(X1,…,Xn))
è un intervallo di confidenza di livello 1-α.

Infatti 
Pθ(T1 < k(θ) < T2) = 
Pθ(t1(X1,...,Xn) < k(θ) < t2(X1,...,Xn)) = 
Pθ(q1 < q(X1,...,Xn, θ) < q2) =
1-α Vθ