Funzioni di vettori aleatori

Question 1

Densità della somma di variabili aleatorie: convoluzione continua

Answer 1

X=(X1,X2), Y = X1+X2

fY(y) = int(-inf,+inf) fX(x1,y-x1)dx1

Se X1 e X2 sono indipendenti,
fY(y)=int(-inf,+inf) fX(x1)*fX(y-x1)dx1

Question 2

Densità di una trasformazione affine tra vettori ass. continui

Answer 2

X vettore aleatorio ass. continuo con densità fX
Y = AX+b, A matrice invertibile nxn e b app Rn
- > Y è assolutamente continuo con densità
fY(y) = 1/|det(A)| * fX(A^-1 * (y-b))

Question 3

Densità della somma di variabili aleatorie indipendenti: convoluzione discreta

Answer 3

X,Y indipendenti
V=X+Y
pV(n) = P(V=n) = Σ(k=0,n) P(X=k)*P(Y=n-k)

Question 4

Densità di una trasformazione affine tra vettori discreti

Answer 4

X discreto a valori in S c Rn al più numerabile con densità pX
Y=g(X) = Ax+b è discreto a valori in g(S) con densità
pY(y) = pX(A^-1*(y-b))

Question 5

Media di funzione di vettore aleatorio ass. continuo

Answer 5

Sia X=(X1,…,Xn) un vettore aleatorio ass. continuo con densità fX e sia Y=g(X) (g: Rn - > R) una variabile aleatoria.
Se
int(Rn) |g(x1,…,xn)|fX(x1,…,xn) dx1…dxn < +inf
allora Y ammette media e vale
E(Y) = int(Rn) g(x1,…,xn)fX(x1,…,xn)dx1…dxn

Question 6

Media di funzione di vettore aleatorio discreto

Answer 6

Sia X=(X1,...,Xn) un vettore aleatorio discreto a valori in S al più numerabile con densità pX e sia Y=g(X).
Se
Σ(x app S) |g(x)| * pX(x) < +inf 
allora Y ammette media e vale
E(X) = Σ(x app S) g(x) * pX(x)

Question 7

Media della somma e del prodotto (2 variabili)

Answer 7

Siano X1 e X2 v.a. definite sul medesimo spazio (Ω,F,P) che ammettono media.
Allora

i. X1+X2 ammette media e vale
E(X1+X2) = E(X1)+E(X2)

ii. Se X1 e X2 sono indipendenti, allora X1X2 ammette media e
E(X1X2) = E(X1)*E(X2)

Question 8

Media della somma e del prodotto (n variabili)

Answer 8

Se X1,…,Xn sono v.a. su (Ω,F,P) che ammettono media, allora:

i. E(X1+…+Xn) = E(X1)+…++E(Xn)
ii. Se X1,…,Xn sono indipendenti, allora E(X1…Xn) = E(X1)…E(Xn)

Question 9

Varianza della somma (2 variabili)

Answer 9

Siano X1 e X2 v.a. sul medesimo spazio (Ω,F,P) con varianza finita. Allora

i. X1+X2 ha varianza finita e vale
var(X1+X2) = var(X1)+var(X2)+2E((X1-E(X1))(X2-E(X2))

ii. Se X1 e X2 sono indipendenti, allora
var(X1+X2) = var(X1)+var(X2)

Question 10

Varianza della somma (n variabili)

Answer 10

Siano X1,…,Xn v.a. sul medesimo spazio (Ω,F,P) con varianza finita. Allora

i. var((Σ(j=1,n) Xj) = Σ(j=1,n) var(Xj) + 2Σ(i=1,n-1)Σ(j=i+1,n) E[(Xi-E(Xi))*(Xj-E(Xj))]

ii. Se X1,…,Xn sono indipendenti allora
var((Σ(j=1,n) Xj) = Σ(j=1,n) var(Xj)

Question 11

Def covarianza

Answer 11

Siano X1 e X2 v.a. su (Ω,F,P) con varianza finita. Si definisce covarianza tra X1 e X2 il numero
cov(X1,X2) := E[(X1-E(X1))*(X2-E(X2))]

Question 12

Def coefficiente di correlazione lineare

Answer 12

Siano var(X1) > 0 e var(X2) > 0
Si definisce coefficiente di correlazione lineare il numero 
ρX1,X2 = cov(X1,X2)/ rad(var(X1)*var(X2))

|ρX1,X2| < = 1
e vale ρX1,X2 = +- 1 se e solo se Ea,b app R tali che
P(X2=aX1+b) = 1

Question 13

Proprietà covarianza

Answer 13

X1,X2,X3 v.a. su (Ω,F,P) con varianza finita, a,b app R

1) cov(X1,X2) = cov(X2,X1)
2) cov(X1,a) = 0
3) cov(X1+X2,X3) = cov(X1,X3)+cov(X2,X3)
4) cov(X1,X2+X3) = cov(X1,X2)+cov(X1,X3)
5) cov(X1,X2) = E(X1X2)-E(X1)E(X2)
6) Se X1 e X2 sono indipendenti, cov(X1,X2) = 0

Question 14

Def matrice di covarianza

Answer 14

Si definisce matrice di covarianza di X la matrice nxn
CX = (cij) i=1,..,n j=1,…,n
dove cij := cov(Xi,Xj)

Question 15

Proprietà matrice di covarianza

Answer 15

1) CX è simmetrica, cioè
CX = CX^T

2) CX è semidefinita positiva, cioè
Vλ = (λ1,…,λn) app Rn λ^T CX λ > = 0

3) Se Y=AX+b allora CY=A CX A^T