Vettori aleatori Flashcards
Def vettore aleatorio
Un vettore aleatorio n-dimensionale su (Ω,F,P) è una funzione X=(X1,…,Xn) : Ω - > Rn tale che Xi è una variabile aleatoria
Def funzione di ripartizione congiunta
Si definisce funzione di ripartizione di X=(X1,…Xn) la funzione FX : Rn - > [0,1] Vt=(t1,…,tn)
FX(t1,…,tn) = P(X1 < = t1, …, Xn < = tn)
Def indipendenza delle componenti di un vettore aleatorio
Sia X = (X1,…,Xn) un vettore aleatorio su (Ω, F,P). Allora le variabile aleatorie Xi (i=1,…,n) si dicono indipendenti se per “ogni” Bi c R (i=1,..,n)
P(X1 app B1,…,Xn app Bn} = Π(i=1,n) P(Xi app Bi)
Def funzione di ripartizione marginale
Se X = (X1,..,Xn) ha funzione di ripartizione (congiunta) Fx, allora ciascuna componente Xi (i=1,…n) ha funzione di ripartizione (marginale)
Fxi(t) = P(Xi < = t) = lim(tj - > inf, j != i) Fx(t1,…,t,…,tn)
Indipendenza e funzione di ripartizione
Le componenti di un vettore X=(X1,…,Xn) sono v.a. indipendenti se e solo se
Fx(t1,..,tn) = Fx1(t1)…Fx2(tn) Vt=(t1,…,tn) app Rn
Def vettore aleatorio discreto
Un vettore aleatorio X=(X1,…,Xn) è detto discreto se ciascuna sua componente Xi (i=1,…,n) è una v.a. discreta, cioè
se
S1 c R al più numerabile è tale che P(X1 app S1) = 1
…
Sn c R al più numerabile è tale che P(Xn app Sn) = 1
allora E S=S1 x … x Sn al più numerabile tale che P(X app S) = 1
Def densità discreta congiunta
Sia X=(X1,…,Xn) un vettore aleatorio discreto su (Ω,F,P). Se definisce densità di X o densità congiunta di (X1,…,Xn) la funzione pX : Rn - > [0,1]
pX(x1,…,xn) := P(X1=x1,…,Xn=xn) Vx=(x1,…xn) app Rn
Proprietà densità discreta
Sia X un vettore aleatorio discreto a valori in S c Rn al più numerabile con densità pX.
1) 0 < = pX(x) < = 1 Vx app S e pX(x) = 0 se x !app S
2) Σ(x app S) pX(x) = 1
3) VB c Rn P(x app B) = Σ(x app B) pX(x)
Indipendenza componenti discrete
Le componenti di un vettore aleatorio discreto X=(X1,…,Xn) sono indipendenti se e solo se
pX(x) = pX1(x1)…pXn(xn) Vx
Def vettore aleatorio assolutamente continuo e densità (congiunta)
Un vettore aleatorio X=(X1,…Xn) è detto assolutamente continuo se E fX : Rn - > Rt integrabile tale che
FX(t1,…,tn) = int(-inf,t1) … int(-inf,tn) fX(x1,…,xn)dx1…dxn
fX è detta densità di X, o anche densità congiunta di X1,…,Xn
Proprietà densità vettore ass. continuo
Se X=(X1,…,Xn) è un vettore assolutamente continuo e fX è una sua densità, allora
1) int(-inf,+inf)…int(-inf,+inf) fX(x1,…,xn) dx1…dxn = 1
2) ∂^n FX(x) / ∂x1…∂xn = fX(x) Vx dove tale derivata esiste
3) Per ogni B c Rn P(X app B) = int(B) fX(x)dx
Densità marginali vettore ass. continuo
Sia X=(X1,…,Xn) un vettore aleatorio assolutamente continuo con densità fX. Allora Xi (i=1,…,n) è una v.a. assolutamente continua con densità
fXi(y) = int(-inf,+inf) … int(-inf,+inf) fX(x1,…,xi-1, y, xi+1,…,xn) dx1…dxi-1 dxi+1 … dxn
Indipendenza componenti ass. continue
Le componenti di un vettore (X,Y) assolutamente continuo sono indipendenti se e solo se la densità congiunta di X e Y può essere scritta come prodotto delle densità marginali:
f(X,Y) (x,y) = fX(x)*fY(y)
