Funzioni di una variabile aleatoria Flashcards
Densità funzione di v.a. discreta
Sia X una v.a. discreta su (Ω,F,P) a valori in S={xk k app I}, I c Z e con densità px. Sia Y := g(X).
Allora Y è una v.a. discreta a valori in g(S) = {g(x) x app S} e con densità
pY(y) = 0 se y !app g(S)
pY(y) = Σ(k : g(xk)=y) pX(xk) se y app g(S)
Densità funzione di v.a. continua
Sia X una v.a. continua con densità fX e sia Y := g(X) una v.a.
Se è possibile determinare un intervallo aperto S tale che P(X app S) = 1, g è differenziabile con continuità su S e g’(x) != 0 Vx app S, allora, indicata con g^-1 la funzione inversa di g e con g(S) = {g(x) : x app S}, vale che Y è assolutamente continua con densità
fY(y) = fX( g^-1(y))|(g^-1)’(y)|I g(S) (y)
Media di funzioni di variabili aleatorie
a) Sia X una v.a. discreta a valori in S={uk k app I} I c Z con densità pX e sia Y=g(X). Y ammette media se Σ(k app I) |g(xk)|*pX(xk) < +inf e in tal caso E(Y) = Σ(k app I) g(xk)*pX(xk)
b) Sia X una v.a. assolutamente continua con densità fX e sia Y=g(X) una v.a. Se int(-inf,+inf) |g(x)|*fX(x)dx < +inf allora Y ammette media e vale E(Y) = int(-inf, +inf) g(x)*fX(x)dx