Probabilità Flashcards

1
Q

Def spazio campionario

A

Lo spazio campionario Ω è un insieme che rappresenta tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio.

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Q

Def evento elementare

A

Gli elementi ω di uno spazio campionario Ω sono detti eventi elementari

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3
Q

Def evento

A

Evento E è un sottoinsieme dello spazio campionario. Si verifica se il risultato dell’esperimento è ω app E

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4
Q

Def famiglia

A

Collezione di sottoinsiemi di Ω che rappresenta i possibili eventi relativi ad un esperimento aleatorio

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5
Q

Def assiomatica di probabilità e spazio di probabilità

A

Siano Ω uno spazio campionario, F una famiglia di eventi Ei c Ω.
Una probabilità su (Ω, F) è una funzione definita VE app F tale che:
1) P(E) > = 0 VE app F
2) P(Ω) = 1
3) se E1,E2,… app F sono eventi a due a due disgiunti, allora
P(U(i=1,inf) Ei) = Σ(i=1,inf) P(Ei)

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6
Q

Conseguenze immediate degli assiomi

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Allora
1) P(Ø) = 0
2) Se E1,E2,…,En sono eventi incompatibili, allora
P(U(i=1,n)Ei) = Σ(i=1,n) P(Ei)

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7
Q

Proprietà della probabilità

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Allora

1) Se E app F, allora P(Ec) = 1 - P(E)
2) Se E app F, allora P(E) < = 1
3) Se E,F app F e F c E, allora P(E \ F) = P(E) - P(F)
4) Se E,F app F e F c E, allora P(F) < = P(E)
5) Se E,F app F, allora P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

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8
Q

Def operativa di probabilità

A

Sia Ω uno spazio numerabile, {ω1,ω2,…} una numerazione dei suoi punti Ω = {ω1,ω2,…}, F=P(Ω).
Si definisce una probabilità su (Ω, F) assegnando una successione di p1,p2,… tale che
pk > = 0 Vk=1,2,…
Σ(k=1,inf) pk = 1
e attribuendo agli eventi elementari le probabilità
P({ω1}) = p1, P({ω2}) = p2,…

La probabilità di ogni evento E app F risulta automaticamente individuata:
per ogni E app F possiamo scrivere E = U(k : ωk app E) {ωk} e l’unione è disgiunta, quindi per la proprietà di additività
P(E) = Σ(k : ωk app E) P({ωk}) = Σ(k : ωk app E) pk

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9
Q

Def spazio di probabilità uniforme

A

Una terna (Ω,F,P), Ω finito, con
P(E) = |E| / |Ω|
si dice spazio di probabilità uniforme

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10
Q

Def probabilità condizionata

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e sia F app F un evento tale che P(F) > 0. Dato un qualsiasi evento E app F si chiama probabilità condizionata di E dato F il numero
P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F)

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11
Q

Formula delle probabilità totali

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e F1,F2,…,Fn app F una partizione finita di Ω, cioè U(k=1,n) Fk = Ω e Fh ∩ Fk = Ø se h ! = k, tale che P(Fk) > 0 Vk=1,2,…,n.
Allora per ogni evento E app F si ha
P(E) = Σ(k=1,n) P(E|Fk)*P(Fk)

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12
Q

Formula di Bayes

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e F1,F2,…,Fn app F una partizione finita di Ω tale che P(Fk) > 0 Vk=1,2,…,n.
Se E app F è tale che P(E) > 0 allora si ha che
P(Fh|E) = P(E|Fh)P(Fh) / Σ(k=1,n) P(E|Fk)P(Fk)
h=1,2,…,n

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13
Q

Formula di moltiplicazione

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità ed E1,E2,…,En app F eventi tali che P(E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En-1) > 0. Allora
P(E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En) = P(E1)P(E2|E1)P(E3|E1 ∩ E2)P(En|E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En-1)

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14
Q

Def eventi indipendenti

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Gli eventi E,F app F sono indipendenti se
P(E ∩ F) = P(E)*P(F)

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15
Q

Def n eventi indipendenti

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Gli eventi E1,E2,…,En sono indipendenti se comunque preso un sottoinsieme {h1,h2,…,hk} c {1,2,…,n} con k > = 2 si ha
P(Eh1 ∩ Eh2 ∩ … ∩ Ehk) = P(Eh1)P(Eh2)…*P(Ehk)

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16
Q

Def eventi condizionatamente indipendenti

A

Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e siano A1,A2,…,An, F eventi con P(F) > 0. Allora A1,A2,…,An si dicono condizionatamente indipendenti, dato F, se essi sono indipendenti rispetto alla probabilità PF.

17
Q

Def spazio di probabilità di Bernoulli

A
Sia n app N e p app  (0,1). Poniamo 
Ω := {(a1,a2,...,an) : ak app {0,1}, k=1,2,...,n}, 
F=P(Ω) e 
P({a1,a2,...,an}) = p^Σ(k=1,n)ak * (1-p)^n-Σ(k=1,n)ak per ogni (a1,a2,...,an) app Ω.
La terna (Ω,F,P) si chiama spazio di probabilità di Bernoulli.