Probabilità Flashcards
Def spazio campionario
Lo spazio campionario Ω è un insieme che rappresenta tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio.
Def evento elementare
Gli elementi ω di uno spazio campionario Ω sono detti eventi elementari
Def evento
Evento E è un sottoinsieme dello spazio campionario. Si verifica se il risultato dell’esperimento è ω app E
Def famiglia
Collezione di sottoinsiemi di Ω che rappresenta i possibili eventi relativi ad un esperimento aleatorio
Def assiomatica di probabilità e spazio di probabilità
Siano Ω uno spazio campionario, F una famiglia di eventi Ei c Ω.
Una probabilità su (Ω, F) è una funzione definita VE app F tale che:
1) P(E) > = 0 VE app F
2) P(Ω) = 1
3) se E1,E2,… app F sono eventi a due a due disgiunti, allora
P(U(i=1,inf) Ei) = Σ(i=1,inf) P(Ei)
Conseguenze immediate degli assiomi
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Allora
1) P(Ø) = 0
2) Se E1,E2,…,En sono eventi incompatibili, allora
P(U(i=1,n)Ei) = Σ(i=1,n) P(Ei)
Proprietà della probabilità
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Allora
1) Se E app F, allora P(Ec) = 1 - P(E)
2) Se E app F, allora P(E) < = 1
3) Se E,F app F e F c E, allora P(E \ F) = P(E) - P(F)
4) Se E,F app F e F c E, allora P(F) < = P(E)
5) Se E,F app F, allora P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
Def operativa di probabilità
Sia Ω uno spazio numerabile, {ω1,ω2,…} una numerazione dei suoi punti Ω = {ω1,ω2,…}, F=P(Ω).
Si definisce una probabilità su (Ω, F) assegnando una successione di p1,p2,… tale che
pk > = 0 Vk=1,2,…
Σ(k=1,inf) pk = 1
e attribuendo agli eventi elementari le probabilità
P({ω1}) = p1, P({ω2}) = p2,…
La probabilità di ogni evento E app F risulta automaticamente individuata:
per ogni E app F possiamo scrivere E = U(k : ωk app E) {ωk} e l’unione è disgiunta, quindi per la proprietà di additività
P(E) = Σ(k : ωk app E) P({ωk}) = Σ(k : ωk app E) pk
Def spazio di probabilità uniforme
Una terna (Ω,F,P), Ω finito, con
P(E) = |E| / |Ω|
si dice spazio di probabilità uniforme
Def probabilità condizionata
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e sia F app F un evento tale che P(F) > 0. Dato un qualsiasi evento E app F si chiama probabilità condizionata di E dato F il numero
P(E|F) = P(E ∩ F) / P(F)
Formula delle probabilità totali
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e F1,F2,…,Fn app F una partizione finita di Ω, cioè U(k=1,n) Fk = Ω e Fh ∩ Fk = Ø se h ! = k, tale che P(Fk) > 0 Vk=1,2,…,n.
Allora per ogni evento E app F si ha
P(E) = Σ(k=1,n) P(E|Fk)*P(Fk)
Formula di Bayes
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità e F1,F2,…,Fn app F una partizione finita di Ω tale che P(Fk) > 0 Vk=1,2,…,n.
Se E app F è tale che P(E) > 0 allora si ha che
P(Fh|E) = P(E|Fh)P(Fh) / Σ(k=1,n) P(E|Fk)P(Fk)
h=1,2,…,n
Formula di moltiplicazione
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità ed E1,E2,…,En app F eventi tali che P(E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En-1) > 0. Allora
P(E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En) = P(E1)P(E2|E1)P(E3|E1 ∩ E2)…P(En|E1 ∩ E2 ∩ … ∩ En-1)
Def eventi indipendenti
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Gli eventi E,F app F sono indipendenti se
P(E ∩ F) = P(E)*P(F)
Def n eventi indipendenti
Sia (Ω,F,P) uno spazio di probabilità. Gli eventi E1,E2,…,En sono indipendenti se comunque preso un sottoinsieme {h1,h2,…,hk} c {1,2,…,n} con k > = 2 si ha
P(Eh1 ∩ Eh2 ∩ … ∩ Ehk) = P(Eh1)P(Eh2)…*P(Ehk)