Propriedades dos Conjuntos Flashcards
Propriedade comutativa dos conjuntos.
Somente à interseção e à união.
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
Propriedade associativa dos conjuntos.
Se aplica somente a: interseção e união.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Recapitulando:
- A propriedade associativa garante que você escolha qual operação fazer primeiro (será a que está entre parênteses), ou seja, não importa onde estão os parênteses.
Ex.:
2 + 3 + 4
= (2 + 3) + 4
= 2 + (3 + 4)
Propriedade distributiva dos conjuntos.
- A ∩ (B ∪ C) = ?
- (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = ?
► A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
► (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∪ ( B ∩ C)
Propriedade distributiva dos conjuntos.
- A ∪ ( B ∩ C) = ?
- (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ?
► A ∪ ( B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
► (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = A ∩ (B ∪ C)
Propriedade distributiva da interseção em relação à união.
A ∩ (B ∪ C)
Propriedade distributiva da união em relação à interseção.
A ∪ ( B ∩ C)
Leis de De Morgan nos conjuntos.
O complementar da união é igual à interseção dos complementares.
(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
Explicação:
[O complementar, trás a ideia de complemento]
Apliquemos:
→ Um conjunto A = {alunos que nasceram no Rio}
Aᶜ seria = {alunos que não nasceram no Rio}
→ Um conjunto B = {cristãos que leram a bíblia}
Bᶜ seria = {cristãos que não leram a bíblia}
→ C = {concurseiro aprovados na polícia}
Cᶜ = {concurseiros não aprovados na polícia}
Observa-se que é como se disséssemos que a interseção é a negação da união, e vice-versa.
O complementar é como se fosse a negação
A união é como se fosse o “ou”
Então “(A ∪ B)ᶜ”, é como se fosse a negação da união.
Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ.
Certo, pois o complementar da união é igual à interseção dos complementares. Como assim?
[O complementar, trás a ideia de complemento]
Um conjunto A = {alunos que nasceram no Rio}
Aᶜ seria = {alunos que não nasceram no Rio}
Um conjunto B = {cristãos que leram a bíblia}
Bᶜ seria = {cristãos que não leram a bíblia}
C = {concurseiro aprovados na polícia}
Cᶜ = {concurseiros não aprovados na polícia}
Observa-se que é como se disséssemos que a interseção é a negação da união, e vice-versa.
O complementar é como se fosse a negação
A união é como se fosse o “ou”
Então “(A ∪ B)ᶜ”, é como se fosse a negação da união.
Aplique a Lei de De Morgan.
(A ∩ B)ᶜ = ?
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.
Aplique a Lei de De Morgan.
(A ∩ B ∪ C)ᶜ = ?
(A ∩ B ∪ C)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ ∩ Cᶜ.
Revisando…
(A ∩ B ∪ C)ᶜ é a mesma coisa que:
A ∩ B ∪ C (com uma linha cobrindo tudo)
(Aᶜ ∩ B)ᶜ = ?
(Aᶜ ∩ B)ᶜ = A ∪ Bᶜ
(A ∪ Bᶜ ∩ Cᶜ)ᶜ = ?
(A ∪ Bᶜ ∩ Cᶜ)ᶜ = Aᶜ ∩ B ∪ C
A ∪ Aᶜ = ?
A ∪ Aᶜ = U
A ∩ Aᶜ = ?
A ∩ Aᶜ = ∅
A e Aᶜ não têm elementos em comum, pois um complementa o outro, por isso a interseção é um conjunto vazio, porque não tem elementos entre A e Aᶜ.
