Conjunto Complementar Flashcards
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 3, 5, 7}
Qual é o complementar de A em relação a U?
Se U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e A = {1, 3, 5, 7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0, 2, 4, 6, 8, 9}.
O conjunto A está contido no U porque todos os elementos de A são elementos de U. O conjunto maior (nesse, caso “U”) é chamado de conjunto universo.
Ou seja, o complementar de A em relação a U é o que falta para o conjunto A ficar igual ao U.
Notação do complementar.
CᵤA = Complementar de A em relação a ᵤ, ou seja, o que tem em A que falta para ser U.
Aᶜ: A complementar
U−A: Onde 𝑈 é o conjunto universo, e o complementar de 𝐴 inclui todos os elementos de
𝑈 que não estão em 𝐴.
Um caso especial é o “A (com uma linha em cima)”.
Observe:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 3, 5, 7}
O que falta para A ser U?
A (com uma linha em cima): {0, 2, 4, 6, 8, 9}.
A ∪ A (com linha em cima) = ?
A ∪ A (CLC): U (Conjunto Universo).
Observe:
A = {1, 3, 5, 7}
A (CLC) = {2, 4, 6, 8, 9}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {2, 3}
- CₐB (como se lê)?
- CₐB = B - A?
CₐB: Complementar de B em relação a A.
CₐB = {0, 1, 4},
A - B = {0, 1, 4} (diferença entre A e B.
Ou seja: CₐB = A - B (A subtração não é uma operação comutativa).
Então, é possível simplificar o cálculo usando só:
A - B (muito cuidado para não trocar).
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B = {2, 3}
- Represente “CₐB” no diagrama de Venn
Sabendo que CₐB = {0, 1, 4}:
Conjunto A: {0, 1, 2, 3, 4} (os elementos “2” e “3” estão dentro de A.
Conjunto B: {2, 3} o conjunto B é subconjunto de A.
A[·0 ·1 B(·2 ·3) ·4]
A[·0 ·1 B(·2 ·3) ·4]
- Nesse “diagrama”, qual é o CₐB (complemento de B em relação a A)?
- Demais notações de CₐB.
- Interseção entre conjunto B e seu Complementar.
► Apenas os termos em destaque:
A[**·0 ·1 **B(·2 ·3) ·4]
Nesse “diagrama”, o CₐB é: {0, 1, 4}.
Ou seja: A - B: A {0, 1, 2, 3, 4} e tira B {2, 3}
A - B: {0, 1, 4}.
► Bᶜ e B (com linha em cima).
► A interseção entre o conjunto B e seu complementar é um conjunto vazio.
A interseção entre um conjunto e seu complementar é um conjunto vazio.
Correto.
A = {a, b, c}
B = {a, b, c, d}
C = {b, c, d, e}
1) CbA.
2) Cb(a∩c)
► CbA (complementar de A em relação a B) = B - A = {d}
Em “diagrama”
B = [·d (·a ·c ·b)]
O complementar é o d.
► Cb(a∩c) (complementar de a∩c em relação a B).
Cb(a∩c) = B - (A∩C)
Primeiro façamos a interseção:
A∩C = {b, c}
Cb(a∩c) = B - {b, c} = {a, d}
A = {a, b, c}
B = {a, b, c, d}
C = {b, c, d, e}
1) C(a∪c)B = ?
2) Cc(B-A) = ?
► C(a∪c)B = A∪C - B.
A∪C = {a, b, c, d, e}
B = {a, b, c, d}
C(a∪c)B = {a, b, c, d, e} - {a, b, c, d}
C(a∪c)B = {e}
► Cc(B-A) (complementar de (B-A) em relação a C
= (B-A) - C.
B - A = {d}
C = {b, c, d, e}.
Cc(B-A) = {b, c, e}.
Em diagramas:
C[·b ·c “B-A”(·d) ·e]
A = {a, b, c}
B = {a, b, c, d}
C = {b, c, d, e}
Represente Cc(B-A) em diagramas de Venn.
Em diagramas:
C[·b ·c “B-A”(·d) ·e]
Ou seja:
Cc(B-A) (complementar de (B-A) em relação a C
= (B-A) - C.
B - A = {d}
C = {b, c, d, e}.
Cc(B-A) = {b, c, e}.
A = {a, b, c}
B = {a, c, e, f}
C = {d, e, f, g}
U = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Determine Aᶜ - (B∩C).
Aᶜ = Complemetar de A em relação U (universo) =
U - A = {d, e, f, g, h}.
B∩C = {e, f}
Aᶜ - (B∩C) = {d, g, h}.
A = {0, 2, 3, 5, 6}
B = {2, 3, 5, 6, 9}
C = {0, 2, 4, 6}
- A ∩ (C - B)
C - B = {0, 4}
A ∩ (C - B) = {0} não é um conjunto vazio.
Se A, B e C são três subconjuntos do conjunto U, tais que A∩B = ∅, A ∩ C = ∅.
Então A ∪ B ∪ C = U?
Esse é interessante representar em diagramas.
Ao analisarmos, percebemos que A é necessariamente um conjunto disjunto, e B pode estar fazendo interseção com C, ou não.
Agora, vamos criar um exemplo tentando contradizer a afirmativa da questão:
EXEMPLO:
A = {1, 2}
B = {3, 4}
C = {5, 6}
Agora, tentemos fazer com que a afirmativa da questão esteja errada (assim, ratificaremos que se trata de uma assertiva incorreta).
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Voltemos ao enunciado: A ∪ B ∪ C = U?
Não, pois ficaria faltando, no exemplo que foi usado (poderia ser variados tipos de exemplos), o elemento “7”.
Percebemos, então, que a assertiva não é necessariamente correta. Logo, é falsa.
O FATO DE TER ENCONTRADO PELO MENOS 1 CONTRAEXEMPLO, É O SUFICIENTE PARA GARANTIR QUE A AFIRMATIVA ESTEJA ERRADA.
A FRASE É FALSA PORQUE AQUILO NÃO SE CONFIRMA EM 100% DO TEMPO
Se A, B e C forem conjuntos quaisquer, tais que
A, B ⊂ C.
(C\A) ∩ (A∪B) = C ∩ B.
A, B ⊂ C (A e B estão contidos em C).
Primeiramente: podemos encontrar 1 milhão de exemplos que deem certo para esse item, se encontramos 1 que seja, que esteja errado, então a afirmação é falsa. Ex.: Todos os números primos são ímpares (infinitos são, mas o 2 não é, então está errado).
Ex.:
A = {1, 2}
B = {1, 2, 3}
C = {1, 2, 3, 4}
(C\A) ∩ (A∪B)
= {3, 4} ∩ {1, 2, 3}
= {3}
.
C ∩ B = {1, 2, 3}
.
{3} = {1, 2, 3}? Claramente, não.
Encontramos uma situação onde a afirmativa não é verdadeira. Logo, assertiva falsa.
