Produit scalaire

Question 1

définition produit scalaire avec trois formules

Answer 1

: Le produit scalaire dans l’espace se définit de la même façon
que dans le plan. Les trois définitions suivantes sont équivalentes et la deuxième
demande un repère orthonormal (O, ~ı, ~, ~k).
On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u(x; y; z) et ~v(x′; y′; k′), le nombre
réel noté ~u ·~v tel que :

• Formule 1 : identité remarquable
~u ·~v =1/2(||~u +~v||2 − ||~u||2 − ||~v||2)

• Formule 2 : géométrie analytique
~u ·~v = xx′ + yy′ + zz′
On peut aussi utiliser la notation matricielle :

x
y
z
.
x′
y′
z′

= xx′ + yy′ + zz′

• Formule 3 : angle entre les deux vecteurs
~u ·~v = ||~u|| × ||~v|| × cos(~u,~v)

Question 2

le produit scalaire est:

Answer 2

Dans l’espace, le produit scalaire est :
• commutatif : ~u ·~v = ~v · ~u
• distributif (bilinéarité) par rapport à l’addition de deux vecteurs :
~u · (~v + w~ ) = ~u ·~v +~u · w~
• distributif (bilinéarité) par rapport à la multiplication par un scalaire :
(a~u) · (b~v) = ab × (~u ·~v)

Question 3

Si les vecteurs ~u et ~v sont … et

Answer 3

• de même sens : ~u ·~v = ||~u|| × ||~v||

* de sens contraires : ~u ·~v = −||~u|| × ||~v||

Question 4

équation cartésienne d’u plan: vecteur normal

Answer 4

Le vecteur ~n est normal au plan P si, et seulement si, toute
droite de vecteur directeur ~n est orthogonale au plan P

Question 5

plan p qui passe par A et de vecteur normal n

Answer 5

: Le plan P qui passe par A et de vecteur normal ~n est l’ensemble
des points M tels que :
−−→
AM ·~n = 0

Question 6

plans perpendiculaires

Answer 6

Deux plans P1 et P2 de vecteurs normaux respectifs n~1 et n~2
sont perpendiculaires ou orthogonaux si, et seulement si : n~1 · n~2 = 0

Question 7

équation d’un plan

Answer 7

L’équation cartésienne d’un plan est de la forme :
ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non tous nuls
Le vecteur ~n(a; b; c) est alors un vecteur normal au plan.