lois a densité Flashcards
définition densité de probabilité d’une variable aléatoire
On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire
continue X, toute fonction f continue et positive sur un intervalle I ([a; b], [a; +∞[
ou R) telle que :
• P(X ∈ I) = ∫(I) f(t) dt = 1
• Pour tout intervalle J = [α, β] inclus dans I, on a : P(X ∈ J) = ∫ βα f(t) dt
fonction de répartition
D’autre part la fonction F définie par : F(x) = P(X ≤ x) est appelée la fonction
de répartition de la variable X
F(x) = ∫ xa f(t)dt
ou lim a→−∞ ∫ xa f(t)dt
espérance d’une variable aléatoire continue x, de densité f, sur I
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X,
de densité f sur I, est :
E(X) = ∫(I) tf(t) dt
définition loi uniforme
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle
I = [a, b], avec a ≤ b, lorsque la densité f est constante sur cet intervalle. On en
déduit alors la fonction f :
f(t) = 1/b − a
espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme
Si X suit une loi uniforme sur un intervalle I = [a; b], avec a ≤ b,
alors son espérance mathématique vaut :
E(X) = a + b/2
définition loi exponentielle
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre
réel λ > 0 lorsque sa densité est la fonction f définie sur [0; +∞[ par :
f(t) = λe^(−λ t)
loi expo est une loi sans mémoire donc
La loi exponentielle est une loi sans mémoire c’est à dire que :
∀t > 0 et h > 0 on a PX≥ t(X ≥ t + h) = P(X ≥ h)
espérance loi exponentielle
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors son espérance mathématique vaut :
E(X) = 1/λ
loi normale centrée réduite
On appelle densité de probabilité de Laplace-Gauss, la fonction
ϕ définie sur R par :
ϕ(t) = 1/√2π * e^(−t²/2)
variable aléatoire qui suit une loi centrée réduite
On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale centrée
réduite, notée N (0, 1) si sa densité de probabilité est égale à la fonction ϕ.
Sa fonction de répartition Φ est donc définie par :
Φ(x) = ∫ x−∞ ϕ(t) dt
Si une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite
alors pour tous réels a et b tels que a ≤ b, on a :
Si une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite
alors pour tous réels a et b tels que a ≤ b, on a :
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(b) − Φ(a)
P(X ≥ a) = 1 − Φ(a)
P(X ≤ −|a|) = 1 − Φ(|a|)
X est une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée
réduite. Soit α un réel de l’intervalle ]0 ;1[. Il existe un unique réel strictement
positif uα tel que :
P(−uα ≤ X ≤ uα) = 1 − α
Loi normale d’espérance µ et d’écart type σ
Si une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres µ et σ notée N (µ, σ²), alors la variable aléatoire
Z =(X − µ)/σ suit une loi normale
centrée réduite N (0, 1) et réciproquement.
Approximation normale d’une loi binomiale
Théorème de Moivre-Laplace
X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p) et Z la variable aléatoire telle que :
Z = X − E(X)/σ(X) = X − np/√(np(1 − p))
Pour tous nombres a et b tels que a < b, on a :
lim n→+∞
P(a ≤ Z ≤ b) = ∫ ba 1/√2π * e^(−t²/2) dt
