Continuité et dérivabilité Flashcards
limite finie en un point
Dire qu’une fonction f a pour limite ℓ en a, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a- c’est à dire pour les x d’un intervalle ]a−η;a+η[.
On note alors :
limx→af(x) =ℓ
continuité en un point
Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I. Soit a un élément de I.
On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si :
lim x→a f(x) = f(a)
La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si,f est continue en tout point de I
continuité des fonctions usuelles
- Les fonctions polynômes sont continues sur R.
- La fonction inverse x→1/x est continue sur ]−∞; 0 [ et sur ]0;+∞[
- La fonction valeur absolue x→ |x| est continue sur R.
- La fonction racine carrée x→√x est continue sur [0;+∞[
- Les fonctions x→sinx et x→cosx sont continues sur R
- D’une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com-position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble dedéfinition, en particulier les fonctions rationnelles.
unicité de la limite
Soit une suite (un) définie par u0 et un+1 =f (un) convergente vers ℓ.
Si la fonction associée f est continue en ℓ, alors la limite de la suite ℓ est solution de l’équation f(x) = x.
continuité et dérivabilité
•Si f est dérivable en a alors la fonction f est continue en a.
•Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I.
La réciproque de ce théorème est fausse
TVI
Soit une fonction continue sur un intervalle I = [a,b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel c∈I tel que f(c) = k.
corollaire du TVI
Soit une fonction f continue et strictement monotone sur I= [a,b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k a une unique solution dans I= [a,b]
définition dérivabilité
Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I et a un point de I.
On dit que la fonction f est dérivable en a si et seulement si le taux d’accroissement de la fonction f en a admet une limite finie ℓ en a, c’est à dire :
lim h→0 f(a+h)−f(a)/h = ℓ
Dans ce cas, on appelle ℓ le nombre dérivé de f en aet on le note f′(a).
Lorsque la fonctionfest dérivable sur un intervalle I, on note f′, la fonction dérivée qui à tout x de I associe son nombre dérivée f′(x).
Interprétation graphique ( tangente)
Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative Cf de la fonction f admet au point A(a,f(a)) une tangente de coefficient directeur f′(a) dont l’équation est :
(T) :y=f′(a)(x−a) +f(a)
f(x) =x^n
f′(x) =nx^(n-1)
f(x)=1/x
f’(x)= -1/x²
f(x)=1/x^n
f’(x)= -n/x^n+1
f(x)=√x
f′(x) =1/2√x
(u+v)′
u′+v′
(uv)′
u′v+uv’
