nombres complexes Flashcards
définition ensemble C
On appelle l’ensemble des nombre complexes, noté C, l’ensemble des nombres z de la forme :
z=a+ib
avec (a,b) ∈R²et i²=−1
le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée : Re(z)
Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z noté :
Im(z).
Cette forme z=a+ib est appelée forme algébrique
relation entre M et z
A tout nombre complexe z=a+ib, on peut faire correspondre un point M(a;b) dans un plan orthonormal (O,u,v)
On dit que z est l’affixede M. On écrit alors M(z).
définition conjugé
Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est :
z=a+ib.
On appelle le nombre conjugué de z, le nombre noté z tel que :
zbar=a−ib
z+zbar
z+zbar=2Re(z)
imaginaire pur z+zbar
z+zbar=0
z−zbar
z−zbar=2iIm(z)
z réel z−zbar
z=zbar
(z+z’)bar
zbar+z’bar
(z*z’)bar
zbar*z’bar
(z/z’)bar
zbar/z’bar
(z^n)bar
zbar^n
équation du second degré
Toute équation du second degré dans C admet toujours 2 solutions distinctes ou confondues. Si cette équation est à coefficients réels, c’est à dire,
az²+bz+c=0 avec a∈R∗,b∈Retc∈R
Elle admet comme solutions dansC.
1) Si∆>0 , deux solutions réelles :
z1=(−b+√∆)/2aetz2=(−b−√∆)/2a
2) Si∆=0, une solution réelle double : z0=−b/2a
3) Si∆<0, deux solutions complexes conjuguées
z1=(−b+i√|∆|)/2a et z2=(−b−i√|∆|)/2a
polynome de degré n
Tout polynôme de degré n dans C admet n racines distinctes ou confondues. Si a est une racine alors le polynôme peut se factoriser par (z−a)
définition forme trigonométrique
On appelle forme trigonométrique d’un nombre complexe z dont l’écriture algébrique est a+ib, l’écriture suivante :
z=r(cosθ+isinθ) avec r=|z| et θ= arg(z) [2π]
−z|
arg(−z)
|zbar|
arg(zbar)
−z|=|z|
arg(−z) =arg(z) +π[2π]
|zbar|=|z|
arg(zbar) =−arg(z) [2π]
|z z′| arg(z z′) |z^n| arg(z^n) ∣z/z′∣ arg(z/z′)
|z z′|=|z| |z′| arg(z z′) =arg(z) +arg(z′) [2π] |z^n|=|z|^n arg(z^n) =n arg(z) [2π] ∣z/z′∣=|z|/|z′| arg(z/z′)=arg(z)−arg(z′) [2π]
définition forme exponentielle
On appelle forme exponentielle d’un nombre complexe, la forme :
z= r*e^iθ avec r=|z| et θ=arg(z) [2π]
définition complexes et vecteurs
Soit le plan complexe muni du repère orthonormal direct(O,u,v), on a alors si le point M(z)
z−−→OM=z et OM=|z| et (−→u,−−→OM) =arg(z)
affixe d’un vecteur
Pour tous points A et B du plan complexe, on a :
z−→AB=zB−zA AB=|zB−zA| (−→u,−→AB) =arg(zB−zA)
somme de deux vecteurs et inégalité triangulaire
Soit−→u1(z1),−→u2(z2) et−→u3(z3) tel que :
−→u3=−→u1+−→u2
On en déduit que : z3=z1+z2
et l’inégalité triangulaire : |z1+z2|<=|z1|+|z2|
angles orientés
Pour tous points A, B, C et D tels que, on a :
−→AB ,−−→CD) =arg((zD−zC)/(zB−zA)
Alignement de 3 points distincts ou parallélisme de deux droites
A, B, C distincts et alignés ⇔ −→AB et−−→AC colinéaires non nuls ⇔ zC−zA/zB−zA∈R
(AB) et (CD) parallèles ⇔ −→AB et−−→CD colinéaires non nuls ⇔ zD−zC/zB−zA∈R
orthogonalité
Pour montrer l’orthogonalité de deux droites. (AB)⊥(CD) ⇔ (−→AB·−−→CD) = 0 ⇔ zD−zC/zB−zA imaginaire pur
rectangle isocèle en A :
zC−zA/zB−zA=±i
