nombres complexes

Question 1

définition ensemble C

Answer 1

On appelle l’ensemble des nombre complexes, noté C, l’ensemble des nombres z de la forme :

z=a+ib

avec (a,b) ∈R²et i²=−1

le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée : Re(z)

Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z noté :
Im(z).

Cette forme z=a+ib est appelée forme algébrique

Question 2

relation entre M et z

Answer 2

A tout nombre complexe z=a+ib, on peut faire correspondre un point M(a;b) dans un plan orthonormal (O,u,v)
On dit que z est l’affixede M. On écrit alors M(z).

Question 3

définition conjugé

Answer 3

Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est :
z=a+ib.

On appelle le nombre conjugué de z, le nombre noté z tel que :

zbar=a−ib

Question 4

z+zbar

Answer 4

z+zbar=2Re(z)

Question 5

imaginaire pur z+zbar

Answer 5

z+zbar=0

Question 6

z−zbar

Answer 6

z−zbar=2iIm(z)

Question 7

z réel z−zbar

Answer 7

z=zbar

Question 8

(z+z’)bar

Answer 8

zbar+z’bar

Question 9

(z*z’)bar

Answer 9

zbar*z’bar

Question 10

(z/z’)bar

Answer 10

zbar/z’bar

Question 11

(z^n)bar

Answer 11

zbar^n

Question 12

équation du second degré

Answer 12

Toute équation du second degré dans C admet toujours 2 solutions distinctes ou confondues. Si cette équation est à coefficients réels, c’est à dire,
az²+bz+c=0 avec a∈R∗,b∈Retc∈R

Elle admet comme solutions dansC.

1) Si∆>0 , deux solutions réelles :

z1=(−b+√∆)/2aetz2=(−b−√∆)/2a

2) Si∆=0, une solution réelle double : z0=−b/2a
3) Si∆<0, deux solutions complexes conjuguées

z1=(−b+i√|∆|)/2a et z2=(−b−i√|∆|)/2a

Question 13

polynome de degré n

Answer 13

Tout polynôme de degré n dans C admet n racines distinctes ou confondues. Si a est une racine alors le polynôme peut se factoriser par (z−a)

Question 14

définition forme trigonométrique

Answer 14

On appelle forme trigonométrique d’un nombre complexe z dont l’écriture algébrique est a+ib, l’écriture suivante :

z=r(cosθ+isinθ) avec r=|z| et θ= arg(z) [2π]

Question 15

−z|
arg(−z)
|zbar|
arg(zbar)

Answer 15

−z|=|z|
arg(−z) =arg(z) +π[2π]
|zbar|=|z|
arg(zbar) =−arg(z) [2π]

Question 16

|z z′|
arg(z z′)
|z^n|
arg(z^n)
∣z/z′∣
arg(z/z′)

Answer 16

|z z′|=|z| |z′|
arg(z z′) =arg(z) +arg(z′)  [2π]
|z^n|=|z|^n
arg(z^n) =n arg(z)  [2π]
∣z/z′∣=|z|/|z′|
arg(z/z′)=arg(z)−arg(z′)  [2π]

Question 17

définition forme exponentielle

Answer 17

On appelle forme exponentielle d’un nombre complexe, la forme :

z= r*e^iθ avec r=|z| et θ=arg(z) [2π]

Question 18

définition complexes et vecteurs

Answer 18

Soit le plan complexe muni du repère orthonormal direct(O,u,v), on a alors si le point M(z)
z−−→OM=z et OM=|z| et (−→u,−−→OM) =arg(z)

Question 19

affixe d’un vecteur

Answer 19

Pour tous points A et B du plan complexe, on a :

z−→AB=zB−zA AB=|zB−zA| (−→u,−→AB) =arg(zB−zA)

Question 20

somme de deux vecteurs et inégalité triangulaire

Answer 20

Soit−→u1(z1),−→u2(z2) et−→u3(z3) tel que :

−→u3=−→u1+−→u2
On en déduit que : z3=z1+z2
et l’inégalité triangulaire : |z1+z2|<=|z1|+|z2|

Question 21

angles orientés

Answer 21

Pour tous points A, B, C et D tels que, on a :

−→AB ,−−→CD) =arg((zD−zC)/(zB−zA)

Question 22

Alignement de 3 points distincts ou parallélisme de deux droites

Answer 22

A, B, C distincts et alignés ⇔ −→AB et−−→AC colinéaires non nuls ⇔ zC−zA/zB−zA∈R

(AB) et (CD) parallèles ⇔ −→AB et−−→CD colinéaires non nuls ⇔ zD−zC/zB−zA∈R

Question 23

orthogonalité

Answer 23

Pour montrer l’orthogonalité de deux droites. (AB)⊥(CD) ⇔ (−→AB·−−→CD) = 0 ⇔ zD−zC/zB−zA imaginaire pur

Question 24

rectangle isocèle en A :

Answer 24

zC−zA/zB−zA=±i

Question 25

Identité remarquable

Answer 25

a²+b²=(a+ib)(a-ib)