géométrie vectorielle

Question 1

géométrie vectorielle définition

Answer 1

\: Deux vecteurs
−→
AB et
−−→
CD sont égaux si, et seulement si, ABDC
est un parallélogramme.
−→
AB =
−−→
CD ⇔ ABDC parallélogramme

Question 2

colinéarité

Answer 2

: Deux vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si, et seulement si, il existe
un réel k tel que ~v = k~u ou si l’un d’eux est nul.

Question 3

on déduit de la colinéarité que

Answer 3

\: De la colinéarité, on déduit que :
• les points A, B et C sont alignés ⇔ ∃ k ∈ R,
−−→
AC = k
−→
AB
• les droite (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ ∃ k ∈ R,
−−→
CD = k
−→
AB
• une droite (AB) est l’ensemble des points M tels que :
−−→
AM = k
−→
AB , k ∈ R

Question 4

vecteurs coplanaires

Answer 4

Un plan est engendré par deux vecteurs non colinéaires.
Le plan (ABC) est donc l’ensemble des
points M tels que :
−−→     −→        −−→
AM =x AB + y AC (x; y) ∈ R²
(x; y) sont donc les coordonnées du
point M dans le repère (A,
−→
AB ,
−−→
AC )
du plan (ABC)

Question 5

théorème vecteur des plans

Answer 5

Si deux plans ont le même couple de vecteurs directeurs (~u,~v)
alors ces deux plans sont parallèles

Question 6

trois vecteurs sont coplanaires

Answer 6

: Trois vecteurs ~u, ~v et w~ sont coplanaires si et seulement si, on
peut exprimer le vecteur w~ en fonction de ~u et ~v
~u, ~v, w~ coplanaires ⇔ ∃ (a, b) ∈ R
2 w~ = a~u + b~v

Question 7

Les points A, B, C et D sont coplanaires si

Answer 7

Les points A, B, C et D sont coplanaires si, et seulement si :
∃(a, b) ∈ R²
,
−−→
AD = a
−→
AB + b
−−→
AC

Question 8

repérage dans l’espace

Answer 8

: Un repère (O, ~ı, ~, ~k) dans l’espace est constitué d’un point
origine O et de trois vecteurs non coplanaires :~ı,~ et~k.
• Tout point M de l’espace est alors défini par :
−−→
OM = x~ı + y~ + z~k (x, y, z) ∈ R

• Les trois réels uniques (x,y,z) sont appelés coordonnées du point M dans le
repère (O, ~ı, ~, ~k). x correspond à l’abscisse, y à l’ordonnée et z à la cote.
• le repère (O, ~ı, ~, ~k) est dit orthonormal si, et seulement si,
||~ı|| = ||~|| = ||~k|| = 1 et ~ı, ~ et~k orthogonaux 2 à 2

Question 9

definition représentation paramétrique d’une droite

Answer 9

Soit une droite (∆) définie par un point A(xA; yA; zA) et un
vecteur directeur ~u(a; b; c).
La droite (∆) admet donc un système d’équations paramètriques, appelé représentation paramétrique, de la forme :
(∆)

x = xA + a t
y = yA + b t
z = zA + c t
t ∈ R

Question 10

représentation paramétrique d’un plan

Answer 10

Soit un plan P défini par un point A(xA; yA; zA) et deux vecteurs non colinéraires ~u(a; b; c) et ~v(α; β; γ).
Le plan P admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentation paramétrique, de la forme :
P

x = xA + a t + α s
y = yA + b t + β s
z = zA + c t + γ s
(t,s) ∈ R²