limites de fonctions

Question 1

Limite finie à l’infini

Answer 1

Dire qu’une fonctionfa pour limite ℓ en +∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de f(x )pour x assezg rand - c’est à dire pour les x d’un in-tervalle ]A;+∞[. On note alors :

limx→+∞f(x) =ℓ
La droite ∆d ’équation y=ℓ est dite asymptote horizontale à Cf

Question 2

Limite infinie à l’infini

Answer 2

Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en +∞, signifie que tout intervalle ]M;+∞| contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand- c’est à dire pour les x d’un intervalle ]A;+∞[. On note alors :

limx→+∞f(x) = +∞

Question 3

Limite infinie en un point

Answer 3

Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en a, signifie que tout intervalle] M;+∞| contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a- c’est à dire pour les x d’un inter-valle ouvert contenant a. On note alors :
lim x→a f(x) = +∞
La droite ∆ d’équation x=a est dite asymptote verticale à Cf

Question 4

propriétés sur les opérations de limites

Answer 4

PAr somme de limites

Par quotient de limites

Par produit de limites

Question 5

limite d’une fonction composée

Answer 5

Soit deux fonctions f, g. Soient a, b et c des réels ou +∞ ou −∞. Si limx→a f(x) =b et limx→b g(x) =c alors limx→a g[f(x)]=c

Question 6

Limites fonctions et suites

Answer 6

Soit une suite (un) définie par: un = f(n). f est alors la fonction réelle associée à la suite (un). Soit a un réel ou +∞ ou −∞ Si limx→+∞ f(x) = a alors limn→+∞ un=a

Question 7

théorèmes de comparaisons

Answer 7

f, g, et h sont trois fonctions définies sur l’intervalle I= ]b;+∞[ et ℓ un réel.

1)Théorème des « Gendarmes »

Si pour tout x∈I, on a : g(x)<=f(x)<=h(x) et si: limx→+∞ g(x) =limx→+∞ h(x) = ℓ alors limx→+∞ f(x) = ℓ

2)Théorème de comparaison

Sipour tout x∈I on a : f(x)>g(x) et si: limx→+∞g(x) = +∞ alors limx→+∞f(x) = +∞