Limites de suites

Question 1

Definition limite finie

Answer 1

On dit que la suite (un) a pour limite ℓ si, et seulement si,
tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un
certain rang.
On note alors : lim n→+∞
un = ℓ et l’on dit que la suite (un) converge vers ℓ

Question 2

Définition limite infinie

Answer 2

On dit que la suite (un) a pour limite +∞ (resp. −∞) si, et
seulement si, tout intervalle ]A; +∞[ (resp. ] − ∞; B[) contient tous les termes de
la suite à partir d’un certain rang.
On note alors : lim n→+∞
un = +∞ resp. lim n→+∞
un = −∞
On dit que la suite diverge vers +∞ (resp. −∞)

Question 3

théorème des gendarmes

Answer 3

Soit trois suites (un), (vn) et (wn). Si à partir d’un certain rang,
on a :
1) Théorème d’encadrement ou “des gendarmes”
vn <= un <= wn et si lim n→+∞
vn = ℓ et lim n→+∞
wn = ℓ alors lim n→+∞
un = ℓ

Question 4

théorème de comparaison

Answer 4

2) Théorème de comparaison
• un > vn et si lim n→+∞
vn = +∞ alors lim n→+∞
un = +∞
• un <= wn et si lim n→+∞
wn = −∞ alors lim n→+∞
un = −∞

Question 5

suite majorée et minorée

si les 2?

Answer 5

On dit que la suite (un) est majorée si, et seulement si, il existe
un réel M tel que :
∀n ∈ N un <= M
On dit que la suite(un) est minorée si, et seulement si, il existe un réel m tel que :
∀n ∈ N un > m
Si (un) est majorée et minorée, on dit que la suite est bornée.

Question 6

Divergence d’une suite

Answer 6

Si une suite (un) est croissante et non majorée alors la suite (un) diverge vers
+∞.
• Si une suite (un) est décroissante et non minorée alors la suite (un) diverge
vers −∞.

Question 7

Convergence d’une suite

Answer 7

Si une suite (un) est croissante et majorée alors la suite (un) converge.
• Si une suite (un) est décroissante et minorée alors la suite (un) converge.