Integrale et primitive

Question 1

définition Integrale

Answer 1

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
Soit Cf sa courbe représentative.Le plan est muni d’un repère orthogonal(O, I, J).
On appelle

•Unité d’aire (u.a.): l’aire du rectangle bâti à partir des points O, I et J.

•Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbe Cf, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=a et x=b (a<=b).
Ce domaine est l’ensemble des pointM(x;y)du plan tels que :
a<=x<=b et 0<=y<=f(x)

•Intégrale defsur [a ;b]: la mesure de l’aire en u.a. du domaine situé sous la courbe Cf.On la note :
∫ba f(x)dx

Question 2

Primitive et intégrale

Answer 2

Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b]. La fonction F définie par :
F(x) =∫xa f(t)dt est dérivable sur [a;b] et F′= f

Question 3

définition primitive

Answer 3

f est une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f admet une primitive sur I si, et seulement si, il existe une fonction F dérivable sur I telle que :

∀x∈I F′(x) =f(x)

Question 4

toute primitive

Answer 4

Soit une fonction f admettant une primitive F sur I, alors toute primitive G de f est de la forme :
∀x∈I G(x) =F(x) +k k∈R

Question 5

primitive unique

Answer 5

Soit f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I. Soit x0∈I et y0∈R.
Il existe une unique primitive F de f sur I tel que :
F(x0) =y0

Question 6

fonction continues

Answer 6

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitivessur I

Question 7

pimitive de 1/x^n

Answer 7

−1/(n−1)x^(n−1)

Question 8

1/√x

Answer 8

2√x

Question 9

Primitive de u′u^n

Answer 9

u^(n+1)/n+1

Question 10

Primitive de u′/u

Answer 10

ln|u|

Question 11

Primitive de u′/u^n

Answer 11

−1/(n−1)u^(n−1)

Question 12

Primitive de u′/√u

Answer 12

2√u

Question 13

Primitive de u′e^u

Answer 13

e^u

Question 14

calcul intergale avec primitive

Answer 14

f est une fonction continue sur un intervalle I. F est une primitive quelconque de f sur I, alors pour tous réels a et b de I on a :
∫ba f(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)

Question 15

∫ba f(x)dx

Answer 15

∫ba f(x)dx = -∫ab f(x)dx

Question 16

air entre deux courbes

Answer 16

Soient deux fonctions f et g continues sur[a;b] telles que f>g.
Soit D l’aire comprise entre les deux courbes et les droites x=a e tx=b.
On a alors :

D=∫ba(f−g)(x)dx

Question 17

∫aa f(x)dx

Answer 17

∫aa f(x)dx=0

Question 18

Relation de Chasles

Answer 18

∀a,b,c∈I on a :

∫ca f(x)dx = ∫ba f(x)dx+ ∫cb f(x)dx

Question 19

Linéarité de l’intégrale

Answer 19

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b, alors pour tous les réels α et β, on a :

∫ba (αf+βg)(x)dx= α∫ba f(x)dx + β∫ba g(x)dx

Question 20

positivité

Answer 20

Si f>0 sur [a;b] alors :

∫ba f(x)dx >0

Question 21

Intégration d’une inégalité

Answer 21

Si f>g sur [a;b] alors :

∫ba f(x)dx > ∫ba g(x)dx

Question 22

Inégalité de la moyenne

Answer 22

Si ∀x∈[a;b], m<= f(x) <= M alors

m(b−a )<= ∫ba f(x)dx <= M(b−a)

Question 23

valeur moyenne

Answer 23

Soit une fonction f continue sur un intervalle [a;b].
La valeur moyenne de la fonction f sur [a;b] est le réel μ défini par :
μ=(1/b−a)*∫ba f(x)dx