Integrale et primitive Flashcards
définition Integrale
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
Soit Cf sa courbe représentative.Le plan est muni d’un repère orthogonal(O, I, J).
On appelle
•Unité d’aire (u.a.): l’aire du rectangle bâti à partir des points O, I et J.
•Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbe Cf, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=a et x=b (a<=b).
Ce domaine est l’ensemble des pointM(x;y)du plan tels que :
a<=x<=b et 0<=y<=f(x)
•Intégrale defsur [a ;b]: la mesure de l’aire en u.a. du domaine situé sous la courbe Cf.On la note :
∫ba f(x)dx
Primitive et intégrale
Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b]. La fonction F définie par :
F(x) =∫xa f(t)dt est dérivable sur [a;b] et F′= f
définition primitive
f est une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f admet une primitive sur I si, et seulement si, il existe une fonction F dérivable sur I telle que :
∀x∈I F′(x) =f(x)
toute primitive
Soit une fonction f admettant une primitive F sur I, alors toute primitive G de f est de la forme :
∀x∈I G(x) =F(x) +k k∈R
primitive unique
Soit f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I. Soit x0∈I et y0∈R.
Il existe une unique primitive F de f sur I tel que :
F(x0) =y0
fonction continues
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitivessur I
pimitive de 1/x^n
−1/(n−1)x^(n−1)
1/√x
2√x
Primitive de u′u^n
u^(n+1)/n+1
Primitive de u′/u
ln|u|
Primitive de u′/u^n
−1/(n−1)u^(n−1)
Primitive de u′/√u
2√u
Primitive de u′e^u
e^u
calcul intergale avec primitive
f est une fonction continue sur un intervalle I. F est une primitive quelconque de f sur I, alors pour tous réels a et b de I on a :
∫ba f(x)dx=[F(x)]ba=F(b)−F(a)
∫ba f(x)dx
∫ba f(x)dx = -∫ab f(x)dx
air entre deux courbes
Soient deux fonctions f et g continues sur[a;b] telles que f>g.
Soit D l’aire comprise entre les deux courbes et les droites x=a e tx=b.
On a alors :
D=∫ba(f−g)(x)dx
∫aa f(x)dx
∫aa f(x)dx=0
Relation de Chasles
∀a,b,c∈I on a :
∫ca f(x)dx = ∫ba f(x)dx+ ∫cb f(x)dx
Linéarité de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b, alors pour tous les réels α et β, on a :
∫ba (αf+βg)(x)dx= α∫ba f(x)dx + β∫ba g(x)dx
positivité
Si f>0 sur [a;b] alors :
∫ba f(x)dx >0
Intégration d’une inégalité
Si f>g sur [a;b] alors :
∫ba f(x)dx > ∫ba g(x)dx
Inégalité de la moyenne
Si ∀x∈[a;b], m<= f(x) <= M alors
m(b−a )<= ∫ba f(x)dx <= M(b−a)
valeur moyenne
Soit une fonction f continue sur un intervalle [a;b].
La valeur moyenne de la fonction f sur [a;b] est le réel μ défini par :
μ=(1/b−a)*∫ba f(x)dx
