C9 - Ensemble de nombres, rationnels et décimaux

Question 1

Qu’appelle-t-on un ensemble de nombres?

Answer 1

Le regroupement de nombres possédant les mêmes caractéristiques et les mêmes propriétés

Question 2

Qu’est ce que N?

Answer 2

L’ensemble des entiers naturels

Question 3

Qu’est ce que Z?

Answer 3

L’ensemble des entiers relatifs

0, 1, 15, -1, -12

Question 4

Qu’est ce qu’un nombre rationnel ? (Q)

Answer 4

Un nombre pouvant s’écrire sous la forme d’un quotient a/b

Avec a entier relatif et b entier relatif non nul

Question 5

Qu’est ce que Q ?

Answer 5

L’ensemble des nombres rationnels
(a/b)
Comprend les ensembles N, Z et D

Question 6

Pourquoi tout nombre n (relatif ou naturel) est un rationnel?

Answer 6

Parce qu’on peut l’écrire sous la forme n/1

Question 7

De quelle propriété découle le produit en croix?

Answer 7

Du fait que l’on obtient des fractions égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction initiale par un même nombre non nul
a/b = an/bn = (a/n)/(b/n)

Question 8

Démonstration du produit en croix

Answer 8

Si a/b = c/d alors en multipliant les 2 membres par d on obtient une égalité équivalente, soit (a/b)xd = (c/d)xd
Donc (a/b)xd = c
On multiplie maintenant par b, pour obtenir b x (a/b)x d = b x c
D’où axd = bxc

Question 9

Que signifie simplifier une fraction? Comment fait-on ?

Answer 9

Diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul

• Utilisation de la mémoire des tables de multiplication
• Utilisation des critères de divisibilité

Question 10

Qu’est ce qu’une fraction irréductible et quelles sont ses 2 propriétés?

Answer 10

Une fraction que l’on ne peut simplifier
P1 : si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux : irréductible (n’ont pas de diviseur commun autre que 1)
P2 : On obtient une fraction irréductible en la simplifiant par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur

Question 11

Comment obtient-on une fraction irréductible?

Answer 11

On obtient une fraction irréductible en la simplifiant par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur

Question 12

Que signifie comparer des nombres?

Answer 12

Signifie les ranger dans un ordre à l’aide des symboles&raquo_space; > <

Question 13

Si deux fractions ont le même dénominateur, quelle est la plus grande?

Answer 13

Celle qui a le plus grand numérateur

Question 14

Si deux fractions ont le même numérateur, quelle est la plus grande?

Answer 14

Celle qui a le plus petit dénominateur

Question 15

Comment comparer des fractions qui ont numérateur et dénominateur différents?

Answer 15

Méthode 1
Les réduire au même dénominateur
Méthode 2 : démarche intuitive
Si son numérateur est plus grand que l’autre et son dénominateur plus petit, alors elle est plus grande

Question 16

Quel est le plus petit dénominateur commun de 2 fractions?

Answer 16

Le PPCM de leur dénominateur

Question 17

(a/b) + (c/d) = ?

Answer 17

(ad + bc) / (bd)

Mais dans la pratique, on recherche d’abord le PPCM, pour avoir un dénominateur commun le plus petit possible

Question 18

Comment divise-t-on une fraction par une autre?

Answer 18

On multiplie l’une par l’inverse de l’autre

Question 19

Un nombre rationnel est dit décimal si …?

Answer 19

S’il peut s’écrire sous la forme a/10^n et a/(2^m x 5^p)
On appelle ça une fraction décimale
a est un entier et n un entier naturel

Question 20

Pourquoi tout entier naturel ou relatif est-il un décimal?

Answer 20

Car on peut les écrire sous la forme n/10^0

Question 21

Qu’est ce que D?

Answer 21

L’ensemble des nombres décimaux

Comprend les ensembles N et Z

Question 22

Existe-t-il plusieurs écritures décimales pour un même nombre décimal?

Answer 22

Oui
Ex: 25,3 = 25,30 = 25,300
25 est la partie entière du nombre et 3 sa partie décimale

Question 23

Est ce que l’écriture décimale peut aussi représenter un entier ? Un rationnel non décimal ?

Answer 23

Oui
Ex : 5,0000
0,666666 est une écriture décimale du rationnel 2/3 qui n’est pas un nombre décimal car il ne peut s’écrire sous la forme a/(2^n x 5^p)

Question 24

Comment appelle-t-on le développement décimal de 2/3 ?

=0,6666666

Answer 24

Illimité

Un nombre rationnel admettant un développement décimal illimité est dit non décimal

Question 25

Le nombre 0,999999999 est il un nombre entier?

Answer 25

Oui 0,9999999 = 1

Question 26

Déterminer l’écriture fractionnaire d’un nombre d’écriture décimale illimité périodique

Answer 26

Repérer la période
Déterminer de combien de rang p il faut décaler la virgule de a vers la droite pour que la période commence juste après la virgule
Déterminer de combien de rang m il faut décaler la virgule de a vers la droite pour mettre la virgule juste après le dernier chiffre de la période
Calculer (a x 10^m ) - (a x 10^p) / 10^m - 10^p

Question 27

Déterminer l’écriture fractionnaire du nombre 17,1426 illimité périodique, de période 26

Answer 27

La période commence deux chiffres après la virgule donc p=2 –> 100a= 1714,26
Pour que la virgule passe juste après la période, on doit la décaler de 4 rangs; m=4 –> 10000a = 171426,26
Soustraction member à member : 10000a-100a = 171426,26-1714,26
D’où a = 169712/9900
Simplifié en a = 42428/2475

Question 28

Encadrer 5/11 à 10^-4 près

Answer 28

5/11 = 0,4545454545454545

0,4545 &laquo_space;5/11 &laquo_space;0,4546

Question 29

Qu’est ce qu’écrire un nombre en notation scientifique?

Answer 29

Le mettre sous la forme a x 10^n avec a entre 1 et 10

1 seul chiffre non nul à gauche de la virgule

Question 30

Que permet la notation scientifique?

Answer 30

De comparer les nombres décimaux

Pour afficher sur la calculatrice les résultats dont l’écriture développée dépasse la capacité d’affichage de l’écran

Question 31

Qu’est ce que l’approximation décimale?

Answer 31

Faire l’approximation décimale d’un nombre à 10^-n près, c’est trouver une valeur proche de ce nombre avec n chiffres après la virgule

Question 32

Qu’est ce que la troncature?

Answer 32

Une approximation décimale que l’on obtient en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule

Question 33

Qu’est ce que l’arrondi?

Answer 33

Une approximation décimale que l’on obtient en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule (=troncature), puis en ajoutant 1 au dernier chiffre s’il est supérieur ou égal à 5

Question 34

2 techniques utilisées en primaire pour comparer les décimaux

Answer 34

• Comparer les parties entières, puis le chiffre des dixièmes, centièmes ….
• Si les parties entières sont égales, on met leur partie décimale au même format en ajoutant le nombre de 0 nécessaires et on compare les 2 parties décimales –> se fait au détriment du sens, moins préférable

Question 35

Réaliser un encadrement de x à b-a près

Answer 35

C’est trouver deux nombres a et b tels que a &laquo_space;x &laquo_space;b
Ex : réaliser un encadrement de pi à 10^-2 près
3,14 &laquo_space;x &laquo_space;3,15

Question 36

Encadrement d’une somme

Answer 36

On peut additionner membre à membre des inégalités de même sens
Si a &laquo_space;x &laquo_space;b et c&laquo_space;y &laquo_space;d alors a+c &laquo_space;x+y &laquo_space;b+d

Question 37

Encadrement d’un produit

Answer 37

On peut multiplier membre à membre des inégalités de même sens DONT LES MEMBRES SONT POSITIFS
Soient a et c&raquo_space; 0
Si a &laquo_space;x &laquo_space;b et c&laquo_space;y &laquo_space;d alors ac &laquo_space;xy &laquo_space;bd

Question 38

Encadrement d’une différence

Answer 38

Si y&laquo_space;d, alors -y» -d
Si c &laquo_space;y &laquo_space;d, alors l’encadrement de l’opposé de y sera : -d &laquo_space;y &laquo_space;-c
Donc pour encadrer la différence x-y, il faut encadrer - y, puis additionner membre à membre les inégalités de même sens
Si a &laquo_space;x &laquo_space;b et c&laquo_space;y &laquo_space;d alors a-d &laquo_space;x-y &laquo_space;b-c

Question 39

Sachant que 2,3&laquo_space;x &laquo_space;2,4 et 1,7 &laquo_space;y &laquo_space;1,8, encadrer x-y

Answer 39

2,3-1,8 &laquo_space;x-y &laquo_space;2,4-1,7

0,5 &laquo_space;x-y &laquo_space;0,7

Question 40

Encadrement d’un quotient

Answer 40

Sachant que si y&raquo_space; c alors (1/y) &laquo_space;(1/c)
Si c &laquo_space;y &laquo_space;d alors (1/d) &laquo_space;(1/y) &laquo_space;(1/c)

Ainsi, si a&laquo_space;x &laquo_space;b et c &laquo_space;y &laquo_space;d, alors a/d &laquo_space;x/y &laquo_space;b/c

Sachant 32,6 &laquo_space;x &laquo_space;35,4 et 0,1 &laquo_space;y &laquo_space;0,2, encadrer x/y
(32,6/0,2) &laquo_space;x/y &laquo_space;(35,4/0,1)
163 &laquo_space;x/y &laquo_space;354

Question 41

Valeur approchée du nombre pi à 10^-2 près par défaut et par excès

Answer 41

Par défaut : 3,14

Par excès : 3,15

Question 42

Valeur approchée d’un nombre à 10^-2 près par défaut et par excès

Answer 42

Par défaut : a &laquo_space;x &laquo_space;a+10^-n

Par excès : a-10^-n &laquo_space;x &laquo_space;a

Question 43

Comment calculer un successeur et un prédécesseur dans l’ensemble des décimaux?

Answer 43

La question n’a pas de sens dans cet ensemble car on peut toujours trouver une infinité de décimaux entre 2 nombres décimaux
Ici, on “intercale” un décimal entre deux autres, en jouant sur le nombre de chiffres après la virgule

Question 44

Comment appelle-t-on les nombres qui n’appartiennent pas à Q ? A quoi appartiennent)il alors?

Answer 44

Nombres irrationnels
Il en existe une infinité, ils appartiennent à R, ensemble des nombres réels
Ex : pi, racine carrée de 2
Ils ne peuvent pas être traduits en une fraction de nombres entiers

Question 45

Qu’est ce que R?

Answer 45

L’ensemble des nombres réels

Comprend N,Z,D,Q

Question 46

L’ensemble des nombres décimaux est un sous-ensemble de quel ensemble?

Answer 46

De l’ensemble des fractions (nombres rationnels)

Question 47

3 + (1/ (113/16))

Answer 47

3+ 16/113

Comme 1/ (113/16) est l’inverse de 113/16

Question 48

A ne pas oublier quand on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif

Answer 48

Changer le sens de l’inégalité

Question 49

Quelle est la différence entre “nombre décimal” et “écriture décimale” ?

Answer 49

Un nombre décimal est le résultat d’une fraction décimale, il s’écrit avec une virgule.
L’écriture décimale, c’est l’écriture normale d’un nombre, avec ou sans virgule.
Pour obtenir l’écriture décimale d’une expression (nombre, fraction, pour­centage…), il suffit d’en effectuer le calcul. Le résultat sera un nombre entier ou avec virgule.
Ce qui veut dire donc que :
Pour obtenir l’écriture décimale d’un nombre normal (avec ou sans virgule), il suffit de le lire !
L’écriture décimale de 0,25, c’est 0,25 !

Pour obtenir l’écriture décimale d’une fraction, il faut effectuer le calcul de cette fraction, c’est à dire diviser le numérateur par le dénominateur.

L’écriture décimale de la fraction
25
100 s’obtient en divisant 25 par 100.
Pour obtenir l’écriture décimale d’un pourcentage, nous pouvons remarquer que passer de la forme pourcentage à la forme d’écriture décimale, revient à diviser le nombre par 100, c’est à dire à déplacer la virgule de 2 chiffres vers la gauche.

Dans le cas de 5%, que l’on peut écrire 05%, cela donne 0,05 en écriture décimale. Et 0,05 est la Valeur Décimale du taux 5%.