C9 - Ensemble de nombres, rationnels et décimaux Flashcards
Qu’appelle-t-on un ensemble de nombres?
Le regroupement de nombres possédant les mêmes caractéristiques et les mêmes propriétés
Qu’est ce que N?
L’ensemble des entiers naturels
Qu’est ce que Z?
L’ensemble des entiers relatifs
0, 1, 15, -1, -12
Qu’est ce qu’un nombre rationnel ? (Q)
Un nombre pouvant s’écrire sous la forme d’un quotient a/b
Avec a entier relatif et b entier relatif non nul
Qu’est ce que Q ?
L’ensemble des nombres rationnels
(a/b)
Comprend les ensembles N, Z et D
Pourquoi tout nombre n (relatif ou naturel) est un rationnel?
Parce qu’on peut l’écrire sous la forme n/1
De quelle propriété découle le produit en croix?
Du fait que l’on obtient des fractions égales en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction initiale par un même nombre non nul
a/b = an/bn = (a/n)/(b/n)
Démonstration du produit en croix
Si a/b = c/d alors en multipliant les 2 membres par d on obtient une égalité équivalente, soit (a/b)xd = (c/d)xd
Donc (a/b)xd = c
On multiplie maintenant par b, pour obtenir b x (a/b)x d = b x c
D’où axd = bxc
Que signifie simplifier une fraction? Comment fait-on ?
Diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul
- Utilisation de la mémoire des tables de multiplication
- Utilisation des critères de divisibilité
Qu’est ce qu’une fraction irréductible et quelles sont ses 2 propriétés?
Une fraction que l’on ne peut simplifier
P1 : si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux : irréductible (n’ont pas de diviseur commun autre que 1)
P2 : On obtient une fraction irréductible en la simplifiant par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur
Comment obtient-on une fraction irréductible?
On obtient une fraction irréductible en la simplifiant par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur
Que signifie comparer des nombres?
Signifie les ranger dans un ordre à l’aide des symboles»_space; > <
Si deux fractions ont le même dénominateur, quelle est la plus grande?
Celle qui a le plus grand numérateur
Si deux fractions ont le même numérateur, quelle est la plus grande?
Celle qui a le plus petit dénominateur
Comment comparer des fractions qui ont numérateur et dénominateur différents?
Méthode 1
Les réduire au même dénominateur
Méthode 2 : démarche intuitive
Si son numérateur est plus grand que l’autre et son dénominateur plus petit, alors elle est plus grande
Quel est le plus petit dénominateur commun de 2 fractions?
Le PPCM de leur dénominateur
(a/b) + (c/d) = ?
(ad + bc) / (bd)
Mais dans la pratique, on recherche d’abord le PPCM, pour avoir un dénominateur commun le plus petit possible
Comment divise-t-on une fraction par une autre?
On multiplie l’une par l’inverse de l’autre
Un nombre rationnel est dit décimal si …?
S’il peut s’écrire sous la forme a/10^n et a/(2^m x 5^p)
On appelle ça une fraction décimale
a est un entier et n un entier naturel
Pourquoi tout entier naturel ou relatif est-il un décimal?
Car on peut les écrire sous la forme n/10^0
Qu’est ce que D?
L’ensemble des nombres décimaux
Comprend les ensembles N et Z
Existe-t-il plusieurs écritures décimales pour un même nombre décimal?
Oui
Ex: 25,3 = 25,30 = 25,300
25 est la partie entière du nombre et 3 sa partie décimale
Est ce que l’écriture décimale peut aussi représenter un entier ? Un rationnel non décimal ?
Oui
Ex : 5,0000
0,666666 est une écriture décimale du rationnel 2/3 qui n’est pas un nombre décimal car il ne peut s’écrire sous la forme a/(2^n x 5^p)
Comment appelle-t-on le développement décimal de 2/3 ?
=0,6666666
Illimité
Un nombre rationnel admettant un développement décimal illimité est dit non décimal
Le nombre 0,999999999 est il un nombre entier?
Oui 0,9999999 = 1
Déterminer l’écriture fractionnaire d’un nombre d’écriture décimale illimité périodique
Repérer la période
Déterminer de combien de rang p il faut décaler la virgule de a vers la droite pour que la période commence juste après la virgule
Déterminer de combien de rang m il faut décaler la virgule de a vers la droite pour mettre la virgule juste après le dernier chiffre de la période
Calculer (a x 10^m ) - (a x 10^p) / 10^m - 10^p
Déterminer l’écriture fractionnaire du nombre 17,1426 illimité périodique, de période 26
La période commence deux chiffres après la virgule donc p=2 –> 100a= 1714,26
Pour que la virgule passe juste après la période, on doit la décaler de 4 rangs; m=4 –> 10000a = 171426,26
Soustraction member à member : 10000a-100a = 171426,26-1714,26
D’où a = 169712/9900
Simplifié en a = 42428/2475
Encadrer 5/11 à 10^-4 près
5/11 = 0,4545454545454545
0,4545 «_space;5/11 «_space;0,4546
Qu’est ce qu’écrire un nombre en notation scientifique?
Le mettre sous la forme a x 10^n avec a entre 1 et 10
1 seul chiffre non nul à gauche de la virgule
Que permet la notation scientifique?
De comparer les nombres décimaux
Pour afficher sur la calculatrice les résultats dont l’écriture développée dépasse la capacité d’affichage de l’écran
Qu’est ce que l’approximation décimale?
Faire l’approximation décimale d’un nombre à 10^-n près, c’est trouver une valeur proche de ce nombre avec n chiffres après la virgule
Qu’est ce que la troncature?
Une approximation décimale que l’on obtient en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule
Qu’est ce que l’arrondi?
Une approximation décimale que l’on obtient en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule (=troncature), puis en ajoutant 1 au dernier chiffre s’il est supérieur ou égal à 5
2 techniques utilisées en primaire pour comparer les décimaux
- Comparer les parties entières, puis le chiffre des dixièmes, centièmes ….
- Si les parties entières sont égales, on met leur partie décimale au même format en ajoutant le nombre de 0 nécessaires et on compare les 2 parties décimales –> se fait au détriment du sens, moins préférable
Réaliser un encadrement de x à b-a près
C’est trouver deux nombres a et b tels que a «_space;x «_space;b
Ex : réaliser un encadrement de pi à 10^-2 près
3,14 «_space;x «_space;3,15
Encadrement d’une somme
On peut additionner membre à membre des inégalités de même sens
Si a «_space;x «_space;b et c«_space;y «_space;d alors a+c «_space;x+y «_space;b+d
Encadrement d’un produit
On peut multiplier membre à membre des inégalités de même sens DONT LES MEMBRES SONT POSITIFS
Soient a et c»_space; 0
Si a «_space;x «_space;b et c«_space;y «_space;d alors ac «_space;xy «_space;bd
Encadrement d’une différence
Si y«_space;d, alors -y» -d
Si c «_space;y «_space;d, alors l’encadrement de l’opposé de y sera : -d «_space;y «_space;-c
Donc pour encadrer la différence x-y, il faut encadrer - y, puis additionner membre à membre les inégalités de même sens
Si a «_space;x «_space;b et c«_space;y «_space;d alors a-d «_space;x-y «_space;b-c
Sachant que 2,3«_space;x «_space;2,4 et 1,7 «_space;y «_space;1,8, encadrer x-y
2,3-1,8 «_space;x-y «_space;2,4-1,7
0,5 «_space;x-y «_space;0,7
Encadrement d’un quotient
Sachant que si y»_space; c alors (1/y) «_space;(1/c)
Si c «_space;y «_space;d alors (1/d) «_space;(1/y) «_space;(1/c)
Ainsi, si a«_space;x «_space;b et c «_space;y «_space;d, alors a/d «_space;x/y «_space;b/c
Sachant 32,6 «_space;x «_space;35,4 et 0,1 «_space;y «_space;0,2, encadrer x/y
(32,6/0,2) «_space;x/y «_space;(35,4/0,1)
163 «_space;x/y «_space;354
Valeur approchée du nombre pi à 10^-2 près par défaut et par excès
Par défaut : 3,14
Par excès : 3,15
Valeur approchée d’un nombre à 10^-2 près par défaut et par excès
Par défaut : a «_space;x «_space;a+10^-n
Par excès : a-10^-n «_space;x «_space;a
Comment calculer un successeur et un prédécesseur dans l’ensemble des décimaux?
La question n’a pas de sens dans cet ensemble car on peut toujours trouver une infinité de décimaux entre 2 nombres décimaux
Ici, on “intercale” un décimal entre deux autres, en jouant sur le nombre de chiffres après la virgule
Comment appelle-t-on les nombres qui n’appartiennent pas à Q ? A quoi appartiennent)il alors?
Nombres irrationnels
Il en existe une infinité, ils appartiennent à R, ensemble des nombres réels
Ex : pi, racine carrée de 2
Ils ne peuvent pas être traduits en une fraction de nombres entiers
Qu’est ce que R?
L’ensemble des nombres réels
Comprend N,Z,D,Q
L’ensemble des nombres décimaux est un sous-ensemble de quel ensemble?
De l’ensemble des fractions (nombres rationnels)
3 + (1/ (113/16))
3+ 16/113
Comme 1/ (113/16) est l’inverse de 113/16
A ne pas oublier quand on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif
Changer le sens de l’inégalité
Quelle est la différence entre “nombre décimal” et “écriture décimale” ?
Un nombre décimal est le résultat d’une fraction décimale, il s’écrit avec une virgule.
L’écriture décimale, c’est l’écriture normale d’un nombre, avec ou sans virgule.
Pour obtenir l’écriture décimale d’une expression (nombre, fraction, pourcentage…), il suffit d’en effectuer le calcul. Le résultat sera un nombre entier ou avec virgule.
Ce qui veut dire donc que :
Pour obtenir l’écriture décimale d’un nombre normal (avec ou sans virgule), il suffit de le lire !
L’écriture décimale de 0,25, c’est 0,25 !
Pour obtenir l’écriture décimale d’une fraction, il faut effectuer le calcul de cette fraction, c’est à dire diviser le numérateur par le dénominateur.
L’écriture décimale de la fraction
25
100 s’obtient en divisant 25 par 100.
Pour obtenir l’écriture décimale d’un pourcentage, nous pouvons remarquer que passer de la forme pourcentage à la forme d’écriture décimale, revient à diviser le nombre par 100, c’est à dire à déplacer la virgule de 2 chiffres vers la gauche.
Dans le cas de 5%, que l’on peut écrire 05%, cela donne 0,05 en écriture décimale. Et 0,05 est la Valeur Décimale du taux 5%.
