C6 - Addition et soustraction des nombres entiers

Question 1

A partir du CM1, sur quoi porte plus particulièrement l’enseignement des additions et soustractions ?

Answer 1

Les nombres décimaux

et les grands nombres entiers

Question 2

Champ numérique du niveau CP

Answer 2

Nombres entiers jusqu’à 100 (nombres à 2 chiffres)

Question 3

Champ numérique du niveau CE1

Answer 3

Nombres entiers jusqu’à 1000 (nombres à 3 chiffres)

Question 4

Champ numérique du niveau CE2

Answer 4

Nombres entiers jusqu’à 1 000 000 (nombres à 6 chiffres)

Question 5

Quels niveaux de classes font l’objet de l’apprentissage spécifique de l’addition et soustraction de nombres entiers?

Answer 5

De GS au CE2

Fin CP : connaissent et utilisent les techniques opératoires de l’addition et commencent la soustraction
Fin CE1 : connaissent et utilisent les techniques opératoires des deux opérations

Question 6

Quel est l’avantage de la résolution de problèmes dans l’acquisition des mécanismes et des techniques opératoires?

Answer 6

Contribue à construire le sens des opérations, une intelligence de leur signification

Question 7

Donner les deux sens du mot calculer

Answer 7

• Dans les consignes d’exercice : trouver le résultat
• Appliquer une procédure, faire appel à une mémoire des nombres et des faits numériques : surcompter n’est pas calculer (même si on trouve le bon résultat)

Question 8

Donner les 4 différents types de calcul

Answer 8

• Calcul mental automatisé
• Calcul mental réfléchi
• Calcul en ligne
• Techniques opératoires
• Calcul mental automatisé : constitution d’une mémoire par l’apprentissage des tables d’addition
• Calcul mental réfléchi : procédé de calcul qui utilise la mémoire du calcul automatisé (doubles/ moitiés/ compléments à 10…) et les propriétés des opérations (associativité/ commutativité)
• Calcul en ligne : mêmes procédés que pour le calcul mental réfléchi mais accompagné par l’écriture
• Techniques opératoires : suite de règles opératoires reproductibles (=algorithmes) permettant d’effectuer des opérations

Question 9

Que désigne généralement le terme “technique opératoire”?

Answer 9

Les calculs posés en colonne

Question 10

Quand sont introduits les signes opératoires + / - ?

“Acquisition du code matérialisé par les signes opératoires”

Answer 10

Au CP

Utilisés pour symboliser des situations ou actions de progression, régression, ajout, retrait, vues en GS
Le + code l’ajout de jetons
Le = code la possibilité de déterminer le nombre de jetons présents dans l’urne (total)

Question 11

Comment les élèves acquièrent le sens des opérations?

Answer 11

Acquisition du code matérialisé par les signes opératoires
Acquisition de la capacité à reconnaitre, dans une situation/un énoncé de problème, une structure correspondant à l’opération

Question 12

Quels sont les 3 catégories de problèmes selon la classification du pédagogue G. Vergnaud?

Problèmes de “structure additive” relevant de l’équation

Answer 12

• Problèmes de relation partie-tout : card(A∪B) = cardA + cardB
• Problèmes de transformation : état initial -> transformation -> état final
• Problèmes de comparaison d’état : détermination d’une des valeurs ou résultat de la comparaison (tant de plus)

Question 13

Obstacles à l’acquisition des signes opératoires et/ou la reconnaissance de la structure pour l’addition

Answer 13

• Nombre rattaché à la nature des objets, un certain degré d’abstraction dans l’usage du nombre est nécessaire (ex: pour additionner les voitures et les bus)
• Conçoivent le signe = comme “ce qui donne” : ainsi 4+3 = 7 OK mais difficultés avec l’écriture des décompositions additives comme 7 = 4+3
• Utilisation de procédures peu expertes (“procédures personnelles”)

Le temps nécessaire au passage d’un type de procédure à l’autre est très variable d’un élève à l’autre
L’enjeu est de permettre aux élèves de dépasser ce type de procédures pour entrer dans des procédures de calcul

Question 14

Difficultés inhérentes aux différentes catégories de problèmes de structures additives de G. Vergnaud

Answer 14

Par ordre croissant de difficultés :

• Problèmes de relation partie-tout : assez simple, facilement schématisable dans un premier temps, puis utilisation de l’écriture symbolique s’impose
• Problèmes de transformation : structure temporelle (avant/après), schématisation plus complexe
• Problèmes de comparaison d’état : plus d’abstraction nécessaire

Question 15

Calcul mental au cycle 2

Answer 15

Apprentissage des procédures de calcul mental réfléchi
Utilisation de la mémoire du calcul automatisé (doubles/ moitiés/ compléments à 10…) et les propriétés des opérations (associativité/ commutativité)

Question 16

Calcul mental au cycle 3

Answer 16

Calcul mental automatisé : les tables d’addition doivent être sues
Calcul mental réfléchi : procédé de calcul qui utilise la mémoire du calcul automatisé (doubles/ moitiés/ compléments à 10…) et les propriétés des opérations (associativité/ commutativité)

Question 17

Comment peut-on aider les élèves dans le calcul en ligne ?

Answer 17

• Utilisation de couleurs pour distinguer les unités et les dizaines
  –> ces difficultés permettent d’amener la technique opératoire comme un outil de calcul : au lieu d’utiliser des couleurs on dispose les chiffres des unités et des dizaines les uns sous les autres
  (particulièrement efficace quand il y a des retenues à gérer)
• Les élèves peuvent recourir à une représentation des quantités en utilisant par exemple des pions pour les unités et des barres pour les dizaines

Question 18

Obstacle au calcul en colonne

Answer 18

• Défaut de maitrise du calcul mental fragilise gravement l’apprentissage des techniques écrites (erreur dues à une mauvaise connaissance des tables sont plus fréquentes que celles dues à une mauvaise maitrise des algorithmes de calcul)
• Erreur dans la mise en oeuvre de la technique opératoire
  Nombres pas écrits correctement l’un sous l’autre
  Non prise en compte de la retenue
  Utilisation systématique d’une retenue
  Le principe de position de la numération n’est pas bien assimilé (9+3=12 -> pose 1 et retient 2)

Question 19

Calcul en ligne ou en colonne?

Answer 19

Selon le calcul
Ecriture en ligne doit être mobilisée pour transcrire la structure du problème
Poser en colonne un calcul comme 7+5 n’a pas d’intérêt

Question 20

La soustraction à l’école maternelle

Answer 20

Procédure la plus fréquemment utilisée : décomptage

Question 21

Obstacles à la soustraction à l’école maternelle

Answer 21

• Tâche complexe car double : doit décompter et compter en même temps
• Erreur fréquente : énoncent le premier chiffre au début du décomptage, ce qui entraine systématiquement une erreur de 1 au résultat (ce sont seulement les “sauts” à partir du chiffre qui doivent être comptés)

Question 22

Soustraction au cycle 2

Answer 22

Introduction de l’écriture symbolique - dans les situations où on enlève, on ôte, on régresse sur une bande numérique

Recherche du complément :2 types d’écritures mathématiques
Addition à trou ou soustraction, calculés en surcomptage ou schématisation de la situation et comparaison

A acquérir au cycle 3 : recherche de l’écart, recherche du complément dans une situation de relation partie/tout

Question 23

Obstacles à la soustraction au cycle 2

Answer 23

• Plus difficile d’accès que l’addition, d’où le décalage d’apprentissage dans les programmes
• Prendre appui sur les compétences relatives à l’addition et utiliser le codage de l’addition à trou. Attention à ne pas rester sur ce “détour didactique” et montrer rapidement ses limites
• Prise en considération de la relation d’ordre entre les 2 nombres à soustraire (on enlève le plus petit au plus grand)
• Même obstacles que pour l’addition : Nombre rattaché à la nature des objets, Utilisation de procédures peu expertes

Question 24

Dans quel cas l’élève utilise le surcomptage ou le décomptage dans une soustraction?

Answer 24

Soustraction dans le sens de retrait, régression: décomptage.
Une opération comme 12-3 correspond en terme de procédure de calcul à l’idée “d’enlever peu”

Soustraction dans le sens d’écart ou de recherche du complément : surcomptage
Une opération comme 25-19 correspond en terme de procédure de calcul à l’idée “d’enlever beaucoup”

Question 25

Progression de l’introduction des techniques opératoire pour la soustraction

Answer 25

Commence en CP
Utilise en CE1

2 méthodes :
CP : soustraction en colonnes sans retenues
CE1 : avec retenues

CP : calculs soustractifs en ligne avec ou sans retenues (groupements)
CE1 : introduction de la soustraction en colonne

Question 26

Différence méthode par compensation et anglo-saxonne pour la soustraction (avec retenues)

Answer 26

Par compensation : on enlève la retenue du nombre de dizaines
Anglo-saxonne : la dizaine ajoutée aux unités se compense en enlevant une dizaine au résultat de la soustraction des dizaines

Question 27

Obstacles au calcul posé en colonne des soustractions

Answer 27

Oubli de compenser la retenue
Calcul de l’écart sans poser de retenue
Présence des zéros : la dizaine nécessaire pour soustraire les unités ne pouvant être prise aux dizaines du fait du zéro, elle est ajoutée sans être “cassée” au préalable