C7 - Multiplication et division euclidienne dans N Flashcards
La multiplication est-elle une loi de composition interne dans l’ensemble N?
OUI
Quels que soient les deux entiers naturels a et b, il existe un entier naturel c défini par c = a x b
Comment appelle-t-on chacun des nombres a et b de la multiplication a x b = c?
Des facteurs
Ils sont aussi les diviseurs de c
Et c est appelé produit de a par b ou multiple de a et b
Par convention dans les écritures algébriques, par quoi peut-on remplacer le signe de la multiplication ?
Rien, ou un point
Propriétés de la multiplication dans N (4 propriétés)
Quels que soient les entiers naturels a, b et c, on a :
Commutative : a x b = b x a
Associative : (a x b) x c = a x (b x c)
Quels que soient l’ordre et les regroupements effectuées pour calculer, le produit reste inchangé
1 est l’élément neutre de la multiplication
Pour tout entier naturel n, on a 1 x n = n x 1 = n
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul
Il n’existe pas de paire de nombre (a,b) tous deux non nuls pour lesquels le produit ab serait nul
(souvent utilisé pour résoudre des équations du second degré)
Conséquence de l’associativité de la multiplication et de l’addition sur les parenthèses dans les calculs
On peut les supprimer
En quoi les nombres 0 et 1 sont deux facteurs particuliers dans la multiplication?
- Tout nombre est un multiple de 1
- 1 est un diviseur de tout entier naturel
- 0 est un multiple de tout entier naturel (n x 0 = 0 x n = 0)
- 0 n’est diviseur d’aucun nombre entier naturel n non nul (il n’existe pas de k tel que 0 x k = n)
Conséquence de ces particularités : tout nombre entier naturel n non nul est multiple et diviseur de lui même : 1 x n = n x 1 = n
Critère de divisibilité par 2
Un nombre est pair (donc divisible par 2) si son chiffre des unités est 0,2,4,6,8
Critère de divisibilité par 3
Si et seulement si la somme de ses chiffres et divisible par 3
Critère de divisibilité par 4
Si et seulement si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4
Critère de divisibilité par 5
Si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5
Critère de divisibilité par 6
Si et seulement s’il est divisible à la fois par 2 et 3
Critère de divisibilité par 8
Si et seulement si le nombre formé par ses 3 derniers chiffres est divisible par 8
Critère de divisibilité par 9
Si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Critère de divisibilité par 11
Si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rangs pairs et la somme de ses chiffres de rangs impairs est un multiple de 11
Exemple : 80 927 est un multiple de 11 car (8+9+7) - (0+2) = 22, qui est un multiple de 11
Critère de divisibilité par 12
Si et seulement s’il est un multiple de 3 et de 4
Critère de divisibilité par 25
Si et seulement si se termine par 00, 25, 50 ou 75
Qu’est ce qu’un nombre premier?
Un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui même
Est ce que 1 est un nombre premier?
NON
Car il admet comme diviseur 1 et lui même (1), il n’a donc qu’un seul diviseur et non 2
Pourquoi les nombres premiers ont une place particulière dans l’ensemble des entiers naturels?
Ils “produisent” tous les autres nombres
Quel est le nom de la méthode pour déterminer tous les nombres premiers?
Le crible d’Eratosthène
Application de la méthode du crible d’Erastosthène
1 - Ecrire tous les nombres de 2 à N
2 - Barrer tous les multiples du nombre 2, excepté 2, jusqu’à N
3 - Rechercher ensuite le premier nombre non barré
SI son carré est supérieur à N, arrêter
Si inférieur ou égal à N, barrer tous ses multiples en commençant à partir de son double et jusqu’à N
Revenir à l’étape 3
4 - A la fin du processus, les seuls nombres non barrés (passés au travers du crible) sont les nombres premiers inférieurs à N
Quels sont les 11 premiers nombres premiers?
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
(37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67)
Méthode de la décomposition en produits de facteurs premiers
Tester sa divisibilité par 2
Si ce n’est pas possible, tester sa divisibilité par le nombre premier immédiatement supérieur (par 3, 5 etc), jusqu’à trouver le premier diviseur premier du nombre
Répéter cette opération jusqu’à ce que le nombre à diviser soit 2
Ecrire nombre de départ = produit des facteurs trouvés à chaque étape
Définition de la décomposition en produits de facteurs premiers
Tout nombre entier naturel non nul, sauf 1, peut être écrit de manière unique sous la forme d’un produit dont les facteurs sont tous des nombres premiers
Déterminer ce produit, c’est déterminer la décomposition du nombre en produit de facteurs premiers
Détermination de la liste (exhaustive) des diviseurs d’un entier naturel n
Décomposer l’entier naturel en un produit de facteurs premiers
Multiplier les facteurs premiers obtenus entre eux deux par deux, trois par trois, quatre par quatre…. suivant le nombre initial de facteurs
Ecrire tous les résultats obtenus comme liste des diviseurs et y ajouter 1
Vérifier que tous les diviseurs ont été trouvés en utilisant la formule:
si n = a^m x b^p x c^q …. alors n admet (m+1) x (p+1) x (q + 1) …. diviseurs
Ex : 60 : 2^2 x 3 x 5
- 2,3,5
- 2x2, 2x3, 2x5, 3x5
- 2x2x3, 2x2x5, 2x3x5
- 2x2x3x5
- 1
Exposants de 2^2 x 3 x 5 : 2, 1, 1 –> On ajoute 1 : 3, 2, 2
3 x 2 x 2 = 12
Conclusion : 60 admet exactement 12 diviseurs
Déterminer le nombre de diviseurs d’un entier
Décomposer l’entier naturel en un produit de facteurs premiers
si n = a^m x b^p x c^q …. alors n admet (m+1) x (p+1) x (q + 1) …. diviseurs
=> Ajouter 1 à chaque exposant du produit de facteurs premiers et multiplier entre eux les nombres trouvés
Développement d’une expression
- Développer une expression consiste à remplacer un produit de facteurs par une somme de termes.
- Exemple : (3x − 5)(2x − 3) = 6x2 − 9x −10x + 15
Définition de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
• La multiplication est distributive par apport à l’addition : pour tout nombre a, tout nombre b et tout nombre
c, l’égalité suivante est vérifiée : a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
(remarque : la multiplication est également distributive par rapport à la soustraction).
• Remarque : en algèbre, passer de a x (b + c) à (a x b) + (a x c) c’est développer une expression alors
que passer de (a x b) + (a x c) à a x (b + c) c’est factoriser une expression
Quand peut-on dire que p est diviseur d’un nombre entier n?
Un nombre entier p est un diviseur d’un nombre entier n si n est un multiple de p c’est-à-dire si
on peut trouver un entier k tel que n = k Å~ p (on dit alors que n est divisible par p).
Exemple : les diviseurs de 12 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
• Un nombre entier p est un diviseur d’un nombre entier n si le reste de la division euclidienne de
n par p est égal à 0.
Les 3 différentes sortes de division
♦ Division-partition
• Division intervenant dans une situation de partage (ou de distribution) : on connaît le nombre de
“parts” et on cherche la valeur d’une “part”.
• Exemple : On dispose de 45 bonbons à partager équitablement entre 6 enfants ? Combien
chaque enfant aura-t-il de bonbons ?
♦ Division-quotition
• Division intervenant dans une situation regroupement : on connaît la valeur d’une “part” et on
cherche le nombre de “parts”.
• Exemple : On dispose de 45 bonbons. On désire fabriquer des paquets de 6 bonbons. Combien
peut-on fabriquer de paquets ?
♦ Division euclidienne
• La division euclidienne est une opération très particulière puisque, à un couple d’entiers, elle
n’associe pas (comme l’addition, la multiplication et la soustraction) un entier mais un couple
d’entiers : (quotient, reste).
Donner les deux définitions possibles équivalentes pour la division euclidienne de a par b
Première définition possible : effectuer la division euclidienne d’un entier positif ou nul a
(appelé dividende) par un entier positif b (appelé diviseur) c’est trouver l’unique couple
d’entiers (q,r) qui vérifie :
a = bq + r ET 0 ≤ r < b (q est appelé le quotient et r le reste)
Deuxième définition possible : effectuer la division euclidienne d’un entier positif ou nul a
(appelé dividende) par un entier positif b (appelé diviseur) c’est trouver l’unique couple
d’entiers (q,r) qui vérifie :
bq ≤ a < b(q +1) ET r = a − bq (q est appelé le quotient et r le reste)
Qu’est ce que le PPCM de deux nombres ?
Le plus petit commun multiple de ces deux nombres : c’est à dire le plus petit nombre entier non nul multiple des deux nombres à la fois
Comment calculer le PPCM de deux nombres?
Décomposer les nombres en produits de facteurs premiers
Ecrire le produits de TOUS LES FACTEURS PREMIERS présents dans l’un ou l’autre de ces décompositions
Elever ces facteurs à leur plus grande puissance dans l’une des décompositions
Calculer le produit obtenu
Qu’est ce que le calcul automatisé?
Un procédé de calcul toujours identique, qu’il soit écrit ou en ligne.
Utilisation, dans une situation donnée, d’un algorithme unique, ne dépendant pas des nombres
en jeu, pour trouver un résultat.
Exemple : algorithme de la multiplication posée.
• Le calcul automatisé est utilisé en général à l’écrit mais on peut envisager d’apprendre
certaines règles de calcul automatisé utilisables mentalement (exemple : utilisation pour calculer
mentalement le produit d’un nombre par 25 de la règle : “pour multiplier par 25, on multiplie par
100 et on divise par 4”).
Qu’est ce que le calcul en ligne et dans quels cas l’utilise-t-on ou ne l’utilise-t-on pas pour la multiplication?
Tout procédé de calcul qui ne mobilise que des écritures en ligne : ne recourt pas aux techniques opératoires en colonne
Pour la multiplication, on utilise la distributivité par rapport à l’addition et la soustraction
Utilisé dès que l’un des facteurs au moins comporte un nombre à deux chiffres, car la mémoire devient insuffisante pour le calcul automatisé
Rapidement remplacés par les techniques opératoires car nécessitent une mémoire de plus en plus étendue et les calculs deviennent très lourds
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction
a x (b+c) = ab + ac (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
a x (b-c) = ab - ac (a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd
Avantages de la technique opératoire pour la multiplication
Permet de calcul tout produit avec une mémoire fixe et la plus restreinte possible
Il faut savoir trouver le juste équilibre entre une mémoire suffisamment étendue (mais sans effort de mémorisation trop important) et des calculs pouvant être effectués sans manipulations de nombres excessives
Technique opératoire actuelle de multiplication
Les rangs intermédiaires sont écrits successivement les uns sous les autres, décalés à chaque fois d’un rang (puisque le premier nombre est un nombre d’unités, le second de dizaines….)
Technique opératoire de multiplication Per gelosia (ou italienne, ou grecque)
186 x 43
3 carrés en longueur surmontés de chacun de ces 3 chiffres 186
2 carrés en largeur pour 43
On trace une diagonale pour chacun des carrés et on multiplie entre eux chacun des chiffres en plaçant le chiffre des dizaines dans les cases du haut
On additionne diagonale par diagonale les chiffres obtenus et on inscrit en regard à l’extérieur les chiffres obtenus
Le résultat apparait à l’extérieur des cases, à lire de haut en bas, de gauche à droite
Quel est l’autre nom de la division euclidienne?
La division entière
Définition de la division euclidienne
La division euclidienne est une opération qui, à 2 entiers naturels a et b, associe 2 entiers q et r tel que a = b x q +r
Propriétés de la division euclidienne (4 propriétés)
- Si a est divisible par b, alors le reste de la division euclidienne est nul
- Si b est non nul, le quotient de la division euclidienne de a par b est l’unique entier naturel q tel que bq <= a < b(q+1)
- Deux entiers naturels a et a’ tels que a’< a ont le même reste dans la division euclidienne par l’entier naturel non nul b si et seulement si leur différence a - a’ est divisible par b
- Le quotient de division euclidienne ne change pas quand on multiplie ou divise le dividende et le diviseur par le même nombre : qua = (kb)q + kr et kr
Définition du PGCD et méthodes de détermination (2 méthodes)
Le plus grand commun diviseur de deux nombres, c’est à dire le plus grand nombre entier pouvant les diviser tous les deux
- Algorithme d’Euclide : utilisation de divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul
- Décomposition en produit de facteurs premiers
On écrit le produit dont les facteurs sont les nombres premiers communs aux deux décompositions
on affecte chacun de ces nombre du plus petit exposant qu’il possède dans l’une ou l’autre des décompositions
On calcule le PGCD
Méthode de l’algorithme d’Euclide
Diviser le plus grand nombre par le plus petit
Diviser le diviseur de la division précédente par le reste de cette division
Et ainsi de suite jusqu’à ce que le reste obtenu soit nul
Le PGCD est égal au dernier reste non nul (le reste de l’avant dernière division)
Qu’appelle-t-on des nombres premiers entre eux?
Des nombres dont le PGDC est égal à 1
Ils ont donc 1 comme seul diviseur commun
Attention : “premiers entre eux” ne veut pas dire “premiers”
Comment sait-on que des nombres sont nombres premiers entre eux?
Aucun facteur premier commun n’apparait dans les deux décompositions canoniques
Si on a 8a = 21b avec 8 et 21 premiers entre eux, que peut-on affirmer?
Que l’on a nécessairement a multiple de 21 et b multiple de 8
Comment appelle-t-on les tables de multiplications représentées sous la forme d’un tableau?
Tables de Pythagore
Quelles sont les différentes techniques opératoires pour la division euclidienne par ordre d’objectif d’apprentissage ?
- Techniques opératoires intermédiaires (proches de la division en potence)
en cherchant à encadrer le dividende par un multiple du diviseur (méthode intermédiaire au cycle 3 qui s’appuie moins sur la numération)
en posant les soustractions successives (davantage de calculs intermédiaires) –> Objectif de fin de cycle 3 - Technique opératoire posée : la division “en potence” –> technique la plus aboutie, pas un objectif de l’école élémentaire
Est ce que la technique opératoire de la division en potence est un objectif de l’école élémentaire?
NON
Comment combiner les critères de divisibilité?
Quand le diviseur à tester est un multiple de 2,3,4,5,7,9 ou 11 : combiner les critères
Attention, les multiples 3 et 9 ne sont pas forcément multiples de 3x9=27 car 3 et 9 ne sont pas premiers entre eux
Déterminer le quotient et le reste d’une division euclidienne
Ecrire le nombre a sous la forme d’une somme bq+r
avec q le quotient et r le reste de la division
S’assurer que le reste est inférieur au dividende : r<b></b>
