C7 - Multiplication et division euclidienne dans N

Question 1

La multiplication est-elle une loi de composition interne dans l’ensemble N?

Answer 1

OUI

Quels que soient les deux entiers naturels a et b, il existe un entier naturel c défini par c = a x b

Question 2

Comment appelle-t-on chacun des nombres a et b de la multiplication a x b = c?

Answer 2

Des facteurs
Ils sont aussi les diviseurs de c

Et c est appelé produit de a par b ou multiple de a et b

Question 3

Par convention dans les écritures algébriques, par quoi peut-on remplacer le signe de la multiplication ?

Answer 3

Rien, ou un point

Question 4

Propriétés de la multiplication dans N (4 propriétés)

Answer 4

Quels que soient les entiers naturels a, b et c, on a :
Commutative : a x b = b x a
Associative : (a x b) x c = a x (b x c)
Quels que soient l’ordre et les regroupements effectuées pour calculer, le produit reste inchangé

1 est l’élément neutre de la multiplication
Pour tout entier naturel n, on a 1 x n = n x 1 = n

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul
Il n’existe pas de paire de nombre (a,b) tous deux non nuls pour lesquels le produit ab serait nul
(souvent utilisé pour résoudre des équations du second degré)

Question 5

Conséquence de l’associativité de la multiplication et de l’addition sur les parenthèses dans les calculs

Answer 5

On peut les supprimer

Question 6

En quoi les nombres 0 et 1 sont deux facteurs particuliers dans la multiplication?

Answer 6

• Tout nombre est un multiple de 1
• 1 est un diviseur de tout entier naturel
• 0 est un multiple de tout entier naturel (n x 0 = 0 x n = 0)
• 0 n’est diviseur d’aucun nombre entier naturel n non nul (il n’existe pas de k tel que 0 x k = n)

Conséquence de ces particularités : tout nombre entier naturel n non nul est multiple et diviseur de lui même : 1 x n = n x 1 = n

Question 7

Critère de divisibilité par 2

Answer 7

Un nombre est pair (donc divisible par 2) si son chiffre des unités est 0,2,4,6,8

Question 8

Critère de divisibilité par 3

Answer 8

Si et seulement si la somme de ses chiffres et divisible par 3

Question 9

Critère de divisibilité par 4

Answer 9

Si et seulement si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4

Question 10

Critère de divisibilité par 5

Answer 10

Si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5

Question 11

Critère de divisibilité par 6

Answer 11

Si et seulement s’il est divisible à la fois par 2 et 3

Question 12

Critère de divisibilité par 8

Answer 12

Si et seulement si le nombre formé par ses 3 derniers chiffres est divisible par 8

Question 13

Critère de divisibilité par 9

Answer 13

Si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9

Question 14

Critère de divisibilité par 11

Answer 14

Si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rangs pairs et la somme de ses chiffres de rangs impairs est un multiple de 11
Exemple : 80 927 est un multiple de 11 car (8+9+7) - (0+2) = 22, qui est un multiple de 11

Question 15

Critère de divisibilité par 12

Answer 15

Si et seulement s’il est un multiple de 3 et de 4

Question 16

Critère de divisibilité par 25

Answer 16

Si et seulement si se termine par 00, 25, 50 ou 75

Question 17

Qu’est ce qu’un nombre premier?

Answer 17

Un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui même

Question 18

Est ce que 1 est un nombre premier?

Answer 18

NON

Car il admet comme diviseur 1 et lui même (1), il n’a donc qu’un seul diviseur et non 2

Question 19

Pourquoi les nombres premiers ont une place particulière dans l’ensemble des entiers naturels?

Answer 19

Ils “produisent” tous les autres nombres

Question 20

Quel est le nom de la méthode pour déterminer tous les nombres premiers?

Answer 20

Le crible d’Eratosthène

Application de la méthode du crible d’Erastosthène

1 - Ecrire tous les nombres de 2 à N
2 - Barrer tous les multiples du nombre 2, excepté 2, jusqu’à N
3 - Rechercher ensuite le premier nombre non barré
SI son carré est supérieur à N, arrêter
Si inférieur ou égal à N, barrer tous ses multiples en commençant à partir de son double et jusqu’à N
Revenir à l’étape 3
4 - A la fin du processus, les seuls nombres non barrés (passés au travers du crible) sont les nombres premiers inférieurs à N

Question 21

Quels sont les 11 premiers nombres premiers?

Answer 21

2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31

(37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67)

Question 22

Méthode de la décomposition en produits de facteurs premiers

Answer 22

Tester sa divisibilité par 2
Si ce n’est pas possible, tester sa divisibilité par le nombre premier immédiatement supérieur (par 3, 5 etc), jusqu’à trouver le premier diviseur premier du nombre
Répéter cette opération jusqu’à ce que le nombre à diviser soit 2
Ecrire nombre de départ = produit des facteurs trouvés à chaque étape

Question 23

Définition de la décomposition en produits de facteurs premiers

Answer 23

Tout nombre entier naturel non nul, sauf 1, peut être écrit de manière unique sous la forme d’un produit dont les facteurs sont tous des nombres premiers
Déterminer ce produit, c’est déterminer la décomposition du nombre en produit de facteurs premiers

Question 24

Détermination de la liste (exhaustive) des diviseurs d’un entier naturel n

Answer 24

Décomposer l’entier naturel en un produit de facteurs premiers
Multiplier les facteurs premiers obtenus entre eux deux par deux, trois par trois, quatre par quatre…. suivant le nombre initial de facteurs
Ecrire tous les résultats obtenus comme liste des diviseurs et y ajouter 1

Vérifier que tous les diviseurs ont été trouvés en utilisant la formule:
si n = a^m x b^p x c^q …. alors n admet (m+1) x (p+1) x (q + 1) …. diviseurs

Ex : 60 : 2^2 x 3 x 5

• 2,3,5
• 2x2, 2x3, 2x5, 3x5
• 2x2x3, 2x2x5, 2x3x5
• 2x2x3x5
• 1

Exposants de 2^2 x 3 x 5 : 2, 1, 1 –> On ajoute 1 : 3, 2, 2
3 x 2 x 2 = 12
Conclusion : 60 admet exactement 12 diviseurs

Question 25

Déterminer le nombre de diviseurs d’un entier

Answer 25

Décomposer l’entier naturel en un produit de facteurs premiers

si n = a^m x b^p x c^q …. alors n admet (m+1) x (p+1) x (q + 1) …. diviseurs

=> Ajouter 1 à chaque exposant du produit de facteurs premiers et multiplier entre eux les nombres trouvés

Question 26

Développement d’une expression

Answer 26

• Développer une expression consiste à remplacer un produit de facteurs par une somme de termes.
• Exemple : (3x − 5)(2x − 3) = 6x2 − 9x −10x + 15

Question 27

Définition de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

Answer 27

• La multiplication est distributive par apport à l’addition : pour tout nombre a, tout nombre b et tout nombre
c, l’égalité suivante est vérifiée : a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

(remarque : la multiplication est également distributive par rapport à la soustraction).
• Remarque : en algèbre, passer de a x (b + c) à (a x b) + (a x c) c’est développer une expression alors
que passer de (a x b) + (a x c) à a x (b + c) c’est factoriser une expression

Question 28

Quand peut-on dire que p est diviseur d’un nombre entier n?

Answer 28

Un nombre entier p est un diviseur d’un nombre entier n si n est un multiple de p c’est-à-dire si
on peut trouver un entier k tel que n = k Å~ p (on dit alors que n est divisible par p).
Exemple : les diviseurs de 12 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
• Un nombre entier p est un diviseur d’un nombre entier n si le reste de la division euclidienne de
n par p est égal à 0.

Question 29

Les 3 différentes sortes de division

Answer 29

♦ Division-partition
• Division intervenant dans une situation de partage (ou de distribution) : on connaît le nombre de
“parts” et on cherche la valeur d’une “part”.
• Exemple : On dispose de 45 bonbons à partager équitablement entre 6 enfants ? Combien
chaque enfant aura-t-il de bonbons ?

♦ Division-quotition
• Division intervenant dans une situation regroupement : on connaît la valeur d’une “part” et on
cherche le nombre de “parts”.
• Exemple : On dispose de 45 bonbons. On désire fabriquer des paquets de 6 bonbons. Combien
peut-on fabriquer de paquets ?

♦ Division euclidienne
• La division euclidienne est une opération très particulière puisque, à un couple d’entiers, elle
n’associe pas (comme l’addition, la multiplication et la soustraction) un entier mais un couple
d’entiers : (quotient, reste).

Question 30

Donner les deux définitions possibles équivalentes pour la division euclidienne de a par b

Answer 30

Première définition possible : effectuer la division euclidienne d’un entier positif ou nul a
(appelé dividende) par un entier positif b (appelé diviseur) c’est trouver l’unique couple
d’entiers (q,r) qui vérifie :
a = bq + r ET 0 ≤ r < b (q est appelé le quotient et r le reste)

Deuxième définition possible : effectuer la division euclidienne d’un entier positif ou nul a
(appelé dividende) par un entier positif b (appelé diviseur) c’est trouver l’unique couple
d’entiers (q,r) qui vérifie :
bq ≤ a < b(q +1) ET r = a − bq (q est appelé le quotient et r le reste)

Question 31

Qu’est ce que le PPCM de deux nombres ?

Answer 31

Le plus petit commun multiple de ces deux nombres : c’est à dire le plus petit nombre entier non nul multiple des deux nombres à la fois

Question 32

Comment calculer le PPCM de deux nombres?

Answer 32

Décomposer les nombres en produits de facteurs premiers
Ecrire le produits de TOUS LES FACTEURS PREMIERS présents dans l’un ou l’autre de ces décompositions
Elever ces facteurs à leur plus grande puissance dans l’une des décompositions
Calculer le produit obtenu

Question 33

Qu’est ce que le calcul automatisé?

Answer 33

Un procédé de calcul toujours identique, qu’il soit écrit ou en ligne.
Utilisation, dans une situation donnée, d’un algorithme unique, ne dépendant pas des nombres
en jeu, pour trouver un résultat.
Exemple : algorithme de la multiplication posée.

• Le calcul automatisé est utilisé en général à l’écrit mais on peut envisager d’apprendre
certaines règles de calcul automatisé utilisables mentalement (exemple : utilisation pour calculer
mentalement le produit d’un nombre par 25 de la règle : “pour multiplier par 25, on multiplie par
100 et on divise par 4”).

Question 34

Qu’est ce que le calcul en ligne et dans quels cas l’utilise-t-on ou ne l’utilise-t-on pas pour la multiplication?

Answer 34

Tout procédé de calcul qui ne mobilise que des écritures en ligne : ne recourt pas aux techniques opératoires en colonne

Pour la multiplication, on utilise la distributivité par rapport à l’addition et la soustraction
Utilisé dès que l’un des facteurs au moins comporte un nombre à deux chiffres, car la mémoire devient insuffisante pour le calcul automatisé

Rapidement remplacés par les techniques opératoires car nécessitent une mémoire de plus en plus étendue et les calculs deviennent très lourds

Question 35

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Answer 35

a x (b+c) = ab + ac
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

a x (b-c) = ab - ac
(a-b)(c-d) = ac - ad - bc + bd

Question 36

Avantages de la technique opératoire pour la multiplication

Answer 36

Permet de calcul tout produit avec une mémoire fixe et la plus restreinte possible

Il faut savoir trouver le juste équilibre entre une mémoire suffisamment étendue (mais sans effort de mémorisation trop important) et des calculs pouvant être effectués sans manipulations de nombres excessives

Question 37

Technique opératoire actuelle de multiplication

Answer 37

Les rangs intermédiaires sont écrits successivement les uns sous les autres, décalés à chaque fois d’un rang (puisque le premier nombre est un nombre d’unités, le second de dizaines….)

Question 38

Technique opératoire de multiplication Per gelosia (ou italienne, ou grecque)
186 x 43

Answer 38

3 carrés en longueur surmontés de chacun de ces 3 chiffres 186
2 carrés en largeur pour 43
On trace une diagonale pour chacun des carrés et on multiplie entre eux chacun des chiffres en plaçant le chiffre des dizaines dans les cases du haut
On additionne diagonale par diagonale les chiffres obtenus et on inscrit en regard à l’extérieur les chiffres obtenus
Le résultat apparait à l’extérieur des cases, à lire de haut en bas, de gauche à droite

Question 39

Quel est l’autre nom de la division euclidienne?

Answer 39

La division entière

Question 40

Définition de la division euclidienne

Answer 40

La division euclidienne est une opération qui, à 2 entiers naturels a et b, associe 2 entiers q et r tel que a = b x q +r

Question 41

Propriétés de la division euclidienne (4 propriétés)

Answer 41

• Si a est divisible par b, alors le reste de la division euclidienne est nul
• Si b est non nul, le quotient de la division euclidienne de a par b est l’unique entier naturel q tel que bq <= a < b(q+1)
• Deux entiers naturels a et a’ tels que a’< a ont le même reste dans la division euclidienne par l’entier naturel non nul b si et seulement si leur différence a - a’ est divisible par b
• Le quotient de division euclidienne ne change pas quand on multiplie ou divise le dividende et le diviseur par le même nombre : qua = (kb)q + kr et kr

Question 42

Définition du PGCD et méthodes de détermination (2 méthodes)

Answer 42

Le plus grand commun diviseur de deux nombres, c’est à dire le plus grand nombre entier pouvant les diviser tous les deux

• Algorithme d’Euclide : utilisation de divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul
• Décomposition en produit de facteurs premiers
  On écrit le produit dont les facteurs sont les nombres premiers communs aux deux décompositions
  on affecte chacun de ces nombre du plus petit exposant qu’il possède dans l’une ou l’autre des décompositions
  On calcule le PGCD

Question 43

Méthode de l’algorithme d’Euclide

Answer 43

Diviser le plus grand nombre par le plus petit
Diviser le diviseur de la division précédente par le reste de cette division
Et ainsi de suite jusqu’à ce que le reste obtenu soit nul
Le PGCD est égal au dernier reste non nul (le reste de l’avant dernière division)

Question 44

Qu’appelle-t-on des nombres premiers entre eux?

Answer 44

Des nombres dont le PGDC est égal à 1
Ils ont donc 1 comme seul diviseur commun

Attention : “premiers entre eux” ne veut pas dire “premiers”

Question 45

Comment sait-on que des nombres sont nombres premiers entre eux?

Answer 45

Aucun facteur premier commun n’apparait dans les deux décompositions canoniques

Question 46

Si on a 8a = 21b avec 8 et 21 premiers entre eux, que peut-on affirmer?

Answer 46

Que l’on a nécessairement a multiple de 21 et b multiple de 8

Question 47

Comment appelle-t-on les tables de multiplications représentées sous la forme d’un tableau?

Answer 47

Tables de Pythagore

Question 48

Quelles sont les différentes techniques opératoires pour la division euclidienne par ordre d’objectif d’apprentissage ?

Answer 48

• Techniques opératoires intermédiaires (proches de la division en potence)
  en cherchant à encadrer le dividende par un multiple du diviseur (méthode intermédiaire au cycle 3 qui s’appuie moins sur la numération)
  en posant les soustractions successives (davantage de calculs intermédiaires) –> Objectif de fin de cycle 3
• Technique opératoire posée : la division “en potence” –> technique la plus aboutie, pas un objectif de l’école élémentaire

Question 49

Est ce que la technique opératoire de la division en potence est un objectif de l’école élémentaire?

Answer 49

NON

Question 50

Comment combiner les critères de divisibilité?

Answer 50

Quand le diviseur à tester est un multiple de 2,3,4,5,7,9 ou 11 : combiner les critères
Attention, les multiples 3 et 9 ne sont pas forcément multiples de 3x9=27 car 3 et 9 ne sont pas premiers entre eux

Question 51

Déterminer le quotient et le reste d’une division euclidienne

Answer 51

Ecrire le nombre a sous la forme d’une somme bq+r
avec q le quotient et r le reste de la division
S’assurer que le reste est inférieur au dividende : r<b></b>