C12 - Fonctions linéaires

Question 1

Qu’exprime la proportionnalité ?

Answer 1

Des valeurs relatives
C’est une fonction qui permet d’exprimer le fait que la proportion entre des valeurs de grandeurs variables est constante

Question 2

Par quoi peuvent-être modélisées des situations de proportionnalité?

Answer 2

Des fonctions linéaires

Question 3

Qu’est ce qu’une fonction linéaire?

Answer 3

Une relation à qui tout nombre x associe le nombre as où a est non nul
ax est l’image de x par f
a est le coefficient de linéarité de f

Question 4

Qu’est ce que le coefficient de linéarité de f?

Answer 4

Le nombre a dans la fonction linéaire f(x) = ax

Question 5

A quoi sert la fonction linéaire?

Answer 5

Elle permet de traiter en la schématisant, n’importe quelle situation de proportionnalité

Question 6

Qu’est ce qu’un tableau de proportionnalité?

Answer 6

Un tableau où tous les nombres d’une même ligne s’obtiennent en multipliant par un nombre constant tous les nombres de l’autre ligne
Ce nombre constant est appelé coefficient de proportionnalité
Les nombres obtenus sont les images des autres par la fonction f

Question 7

Comment définit-on un repère du plan?

Answer 7

Par deux droites graduées sécantes au point O (origine du repère)

Question 8

Axe des abscisses

Answer 8

Horizontal

Question 9

Axe des ordonnées

Answer 9

Vertical

Question 10

Comment sont placés les axes d’un repère orthogonal?

Answer 10

Perpendiculaires

Question 11

Différence entre orthogonal et orthonormé?

Answer 11

• Orthogonal : Axes perpendiculaires

- Orthonormé : Axes perpendiculaires ET unités identiques sur chacun des axes

Question 12

Comment s’écrit le repère d’origine O ?

Answer 12

(O ; Ox : Oy)

Question 13

Comment s’écrit le point M de coordonnées (x;y) ?

Answer 13

M(x;y)

Question 14

Qu’est ce qu’une représentation graphique d’une fonction linéaire f?

Answer 14

Une droite passant par l’origine O du repère et contenant tous les points M(x ; f(x)) représentant cette fonction

Question 15

Donner les propriétés de linéarité (2 propriétés)

Answer 15

• Additive : f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
• Multiplicative : f(kx) = k x f(x)
• f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2)

Question 16

Différence entre coefficient de proportionnalité et coefficient multiplicateur dans la fonction f(x) = ax avec f(kx) = k x f(x)

Answer 16

• a = coefficient de proportionnalité
• k = coefficient multiplicateur
  Le coefficient multiplicateur est aussi parfois appelé scalaire

Question 17

Deux suites de nombres sont proportionnelle si ?

Answer 17

Si elles induisent des rapports de proportionnalité égaux
L’une est l’image de l’autre par une fonction linéaire f définie par y = f(x) = ax
Tout nombre de l’une est obtenu en multipliant tout nombre de même rang de l’autre par un nombre constant (le coefficient de proportionnalité) ou par son inverse
y1 = f(x1) = ax1 ; y2 = f(x2) = ax2 ….. yn = f(xn) = axn

Question 18

Qu’est ce que le rapport de proportionnalité?

Answer 18

L’égalité des rapports entre 2 suite de nombres : prouve qu’elles sont proportionnelles
y1/x1 = y2/x2 = yn/xn = a
x1/y1 = x2/y2 = xn/yn = 1/a

Question 19

Calculer un coefficient de proportionnalité à partir d’un tableau de proportionnalité

Answer 19

Calculer le rapport b/a permettant de passer de la 1ère ligne à la 2ème ligne (réduire la fraction obtenue si besoin)
Calculer le rapport a/b permettant de passer de la 2ème ligne à la 1ère ligne (réduire la fraction obtenue si besoin)

Question 20

Donner les 3 méthodes pour montrer que les valeurs d’un tableau sont proportionnelles

Answer 20

• en calculant tous les rapports f(x) / x : si égaux alors les valeurs sont proportionnelles
• en utilisant les propriétés de linéarité : montrer qu’il existe entre toutes les valeurs du tableau des relations conformes aux propriétés additive et multiplicative
• en utilisant la méthode graphique : associer à chaque couple un point, les représenter dans un repère : si tous les points sont sur une même droite et que cette droite passe par l’origine du repère : alors les valeurs sont proportionnelles

Question 21

Combien de termes minimum implique une proportion?

Answer 21

4 termes, car elle doit exprimer une égalité entre au moins 2 quotients

Question 22

Les 3 égalités équivalentes à a/b = c/d en utilisant le produit en croix et les propriétés de linéarité

Answer 22

d/b = c/a : échange des termes extrêmes a et d
a/c = b/d : échange des termes moyens b et c
b/a = d/c : inversion des quotients

Question 23

Calcul d’un pourcentage simple : t% d’un nombre A

Answer 23

On le multiplie par t/100 pour obtenir A x t/100

Question 24

Calcul d’un pourcentage d’évolution

Answer 24

VA - VD / VD x 100

Question 25

Quand utiliser un pourcentage d'évolution?

Answer 25

Pour quantifier l'augmentation ou la diminution d'une valeur

Question 26

Différence entre pourcentage d'évolution et pourcentage d'augmentation

Answer 26

- Pourcentage d'évolution : on quantifie l'augmentation (ou diminution) de la valeur - Pourcentage d'augmentation : on détermine la valeur de la quantité après augmentation

Question 27

Calcul d'un pourcentage d'augmentation

Answer 27

VA = VD + ( VD x t/100 ) VA = VD x (1 + t/100 ) Avec (1 + t/100 ) coefficient multiplicateur

Question 28

Calcul d'un pourcentage de diminution

Answer 28

VA = VD - ( VD x t/100 ) VA = VD x (1 - t/100 ) Avec (1 - t/100 ) coefficient multiplicateur

Question 29

Qu'est ce qu'un pourcentage d'évolution moyen?

Answer 29

Quand on lisse les variations subies sur une période donnée (augmentations et diminutions et/ou à des taux distincts )

Question 30

Est ce que le pourcentage d'évolution moyen est la moyenne des pourcentages ?

Answer 30

NON

Question 31

Calcul du pourcentage d'évolution moyen

Answer 31

Il faut résoudre les équations : - Augmentation : (1 + t/100)^(nb d'années d'évolutions) = 1 + (% d'évolution / 100) - Diminution : (1 - t/100)^(nb d'années d'évolutions) = 1 - (% d'évolution / 100) Ex : le prix d'un article a diminué de 40,95% en 5 ans, alors le % de diminution est la solution de l'équation (1- t/100)^5 = 1 - 0,4095 = (1- t/100) = 0,5095^1/5 = t=10%

Question 32

Calcul du pourcentage d'évolution moyen après plusieurs augmentations/diminutions (méthode plus facile)

Answer 32

Calculer les coeff multiplicateurs de chaque augmentation/diminution (1+t/100) ou (1-t/100) Faire le produit de ces coefficients multiplicateurs pour avoir le coeff multiplicateur global Retrancher 1 au coeff multiplicateur global trouvé et multiplier par 100 = % d'évolution moyen

Question 33

Est-il nécessaire de connaitre la valeur initiale d'une quantité pour déterminer le pourcentage d'évolution moyen de cette quantité?

Answer 33

NON

Question 34

Que représente un pourcentage instantané?

Answer 34

Une fraction d'un groupe, le rapport entre une partie et un tout

Question 35

Qu'est ce que l'échelle d'une reproduction?

Answer 35

Le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les distances réelles pour retrouver celles de la reproduction Permet de calculer une mesure sur un dessin à partir d'une mesure réelle ou inversement, une dimension réelle connaissant la dimension reproduite

Question 36

Que ne faut-il pas oublier lors du calcul d'une échelle?

Answer 36

De mettre les 2 dimensions dans la même unité

Question 37

Calcul de l'échelle

Answer 37

Echelle = Dimension de la reproduction / dimension réelle

Question 38

Comment appelle-t-on l'échelle si elle est inférieure à 1? (Echelle écrite sous forme de fraction)

Answer 38

Une réduction

Question 39

Comment appelle-t-on l'échelle si elle est supérieure à 1? (Echelle écrite sous forme de nombre)

Answer 39

Un agrandissement

Question 40

Comment appelle-t-on l'échelle si elle est égale à 1? (Echelle écrite sous forme 1 : 1)

Answer 40

Grandeur réelle

Question 41

Donner l'expression de la dimension reproduite

Answer 41

Dimension reproduite = échelle x dimension réelle

Question 42

Calcul de la vitesse d"un mouvement uniforme

Answer 42

distance = vitesse / temps temps = distance / vitesse vitesse = distance / temps v = d/t avec v pour coefficient de proportionnalité "Si la vitesse v d'un mobile est constante, alors la distance d parcourue par ce mobile est proportionnelle au temps t de ce parcours"

Question 43

Calculer la vitesse moyenne d'un objet parcourant une distance donnée à différentes vitesses

Answer 43

- Calculer la distance totale parcourue (d1+d2) - Calculer le temps total du parcours (t1+t2) - Calculer la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours = distance totale/temps total

Question 44

Les 4 égalités du produit en croix pour retrouver un terme manquant d'une relation a/c = b/d

Answer 44

``` a = (bxc)/d d = (bxc)/a b = (axd)/c c = (axd)/b ```

Question 45

Donner les 4 techniques de résolution de proportionnalité :

Answer 45

- Produit en croix - Quatrième proportionnelle - Règle de 3 - Méthode graphique

Question 46

Méthode de la quatrième proportionnelle

Answer 46

- en utilisant le coefficient de proportionnalité : construire un tableau de proportionnalité, calculer le coefficient de proportionnalité, l'utiliser pour calculer la 4ème proportionnelle - en utilisant la règle de 3

Question 47

Répartir proportionnellement une quantité S à une suite de nombre a, b et c

Answer 47

- Ecrire que l'on cherche les nombres x, y, z tels que x/a = y/b = z/c ; avec S = x+y+z - Calculer (x+y+z) / (a+b+c), soit S / (a+b+c) - Calculer x sachant que x/a = (x+y+z) / (a+b+c) - Calculer y et z de la même manière - Vérifier que les 3 nombres obtenus sont bien tels que x+y+z = S

Question 48

Partager une prime de 2400e entre 3 salariés proportionnellement à leur ancienneté respective de 3,5 et 8 ans

Answer 48

``` Soit x,y,z la part de chacun x + y + z = 2400 et x/3 = y/5 = z/8 x/3 = y/5 = z/8 = (x + y + z) / (3+5+8) = 2400/16 = 150 On peut donc calculer la part de chacun x/3 = 150 --> soit x = 450e Id : y = 750e et z = 1200e 450 + 750 + 1200 = 2400e ```

Question 49

Retrouver une valeur initiale en connaissant le % d'évolution et la valeur finale

Answer 49

- Si l'évolution est une augmentation : VD = VA / (1+ t/100) | - Si l'évolution est une diminution :VD = VA / (1- t/100)