C12 - Fonctions linéaires Flashcards
Qu’exprime la proportionnalité ?
Des valeurs relatives
C’est une fonction qui permet d’exprimer le fait que la proportion entre des valeurs de grandeurs variables est constante
Par quoi peuvent-être modélisées des situations de proportionnalité?
Des fonctions linéaires
Qu’est ce qu’une fonction linéaire?
Une relation à qui tout nombre x associe le nombre as où a est non nul
ax est l’image de x par f
a est le coefficient de linéarité de f
Qu’est ce que le coefficient de linéarité de f?
Le nombre a dans la fonction linéaire f(x) = ax
A quoi sert la fonction linéaire?
Elle permet de traiter en la schématisant, n’importe quelle situation de proportionnalité
Qu’est ce qu’un tableau de proportionnalité?
Un tableau où tous les nombres d’une même ligne s’obtiennent en multipliant par un nombre constant tous les nombres de l’autre ligne
Ce nombre constant est appelé coefficient de proportionnalité
Les nombres obtenus sont les images des autres par la fonction f
Comment définit-on un repère du plan?
Par deux droites graduées sécantes au point O (origine du repère)
Axe des abscisses
Horizontal
Axe des ordonnées
Vertical
Comment sont placés les axes d’un repère orthogonal?
Perpendiculaires
Différence entre orthogonal et orthonormé?
- Orthogonal : Axes perpendiculaires
- Orthonormé : Axes perpendiculaires ET unités identiques sur chacun des axes
Comment s’écrit le repère d’origine O ?
(O ; Ox : Oy)
Comment s’écrit le point M de coordonnées (x;y) ?
M(x;y)
Qu’est ce qu’une représentation graphique d’une fonction linéaire f?
Une droite passant par l’origine O du repère et contenant tous les points M(x ; f(x)) représentant cette fonction
Donner les propriétés de linéarité (2 propriétés)
- Additive : f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
- Multiplicative : f(kx) = k x f(x)
- f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2)
Différence entre coefficient de proportionnalité et coefficient multiplicateur dans la fonction f(x) = ax avec f(kx) = k x f(x)
- a = coefficient de proportionnalité
- k = coefficient multiplicateur
Le coefficient multiplicateur est aussi parfois appelé scalaire
Deux suites de nombres sont proportionnelle si ?
Si elles induisent des rapports de proportionnalité égaux
L’une est l’image de l’autre par une fonction linéaire f définie par y = f(x) = ax
Tout nombre de l’une est obtenu en multipliant tout nombre de même rang de l’autre par un nombre constant (le coefficient de proportionnalité) ou par son inverse
y1 = f(x1) = ax1 ; y2 = f(x2) = ax2 ….. yn = f(xn) = axn
Qu’est ce que le rapport de proportionnalité?
L’égalité des rapports entre 2 suite de nombres : prouve qu’elles sont proportionnelles
y1/x1 = y2/x2 = yn/xn = a
x1/y1 = x2/y2 = xn/yn = 1/a
Calculer un coefficient de proportionnalité à partir d’un tableau de proportionnalité
Calculer le rapport b/a permettant de passer de la 1ère ligne à la 2ème ligne (réduire la fraction obtenue si besoin)
Calculer le rapport a/b permettant de passer de la 2ème ligne à la 1ère ligne (réduire la fraction obtenue si besoin)
Donner les 3 méthodes pour montrer que les valeurs d’un tableau sont proportionnelles
- en calculant tous les rapports f(x) / x : si égaux alors les valeurs sont proportionnelles
- en utilisant les propriétés de linéarité : montrer qu’il existe entre toutes les valeurs du tableau des relations conformes aux propriétés additive et multiplicative
- en utilisant la méthode graphique : associer à chaque couple un point, les représenter dans un repère : si tous les points sont sur une même droite et que cette droite passe par l’origine du repère : alors les valeurs sont proportionnelles
Combien de termes minimum implique une proportion?
4 termes, car elle doit exprimer une égalité entre au moins 2 quotients
Les 3 égalités équivalentes à a/b = c/d en utilisant le produit en croix et les propriétés de linéarité
d/b = c/a : échange des termes extrêmes a et d a/c = b/d : échange des termes moyens b et c b/a = d/c : inversion des quotients
Calcul d’un pourcentage simple : t% d’un nombre A
On le multiplie par t/100 pour obtenir A x t/100
Calcul d’un pourcentage d’évolution
VA - VD / VD x 100
Quand utiliser un pourcentage d’évolution?
Pour quantifier l’augmentation ou la diminution d’une valeur
Différence entre pourcentage d’évolution et pourcentage d’augmentation
- Pourcentage d’évolution : on quantifie l’augmentation (ou diminution) de la valeur
- Pourcentage d’augmentation : on détermine la valeur de la quantité après augmentation
Calcul d’un pourcentage d’augmentation
VA = VD + ( VD x t/100 )
VA = VD x (1 + t/100 )
Avec (1 + t/100 ) coefficient multiplicateur
Calcul d’un pourcentage de diminution
VA = VD - ( VD x t/100 )
VA = VD x (1 - t/100 )
Avec (1 - t/100 ) coefficient multiplicateur
Qu’est ce qu’un pourcentage d’évolution moyen?
Quand on lisse les variations subies sur une période donnée (augmentations et diminutions et/ou à des taux distincts )
Est ce que le pourcentage d’évolution moyen est la moyenne des pourcentages ?
NON
Calcul du pourcentage d’évolution moyen
Il faut résoudre les équations :
- Augmentation : (1 + t/100)^(nb d’années d’évolutions) = 1 + (% d’évolution / 100)
- Diminution : (1 - t/100)^(nb d’années d’évolutions) = 1 - (% d’évolution / 100)
Ex : le prix d’un article a diminué de 40,95% en 5 ans, alors le % de diminution est la solution de l’équation
(1- t/100)^5 = 1 - 0,4095 = (1- t/100) = 0,5095^1/5 = t=10%
Calcul du pourcentage d’évolution moyen après plusieurs augmentations/diminutions (méthode plus facile)
Calculer les coeff multiplicateurs de chaque augmentation/diminution (1+t/100) ou (1-t/100)
Faire le produit de ces coefficients multiplicateurs pour avoir le coeff multiplicateur global
Retrancher 1 au coeff multiplicateur global trouvé et multiplier par 100 = % d’évolution moyen
Est-il nécessaire de connaitre la valeur initiale d’une quantité pour déterminer le pourcentage d’évolution moyen de cette quantité?
NON
Que représente un pourcentage instantané?
Une fraction d’un groupe, le rapport entre une partie et un tout
Qu’est ce que l’échelle d’une reproduction?
Le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les distances réelles pour retrouver celles de la reproduction
Permet de calculer une mesure sur un dessin à partir d’une mesure réelle ou inversement, une dimension réelle connaissant la dimension reproduite
Que ne faut-il pas oublier lors du calcul d’une échelle?
De mettre les 2 dimensions dans la même unité
Calcul de l’échelle
Echelle = Dimension de la reproduction / dimension réelle
Comment appelle-t-on l’échelle si elle est inférieure à 1? (Echelle écrite sous forme de fraction)
Une réduction
Comment appelle-t-on l’échelle si elle est supérieure à 1? (Echelle écrite sous forme de nombre)
Un agrandissement
Comment appelle-t-on l’échelle si elle est égale à 1? (Echelle écrite sous forme 1 : 1)
Grandeur réelle
Donner l’expression de la dimension reproduite
Dimension reproduite = échelle x dimension réelle
Calcul de la vitesse d”un mouvement uniforme
distance = vitesse / temps
temps = distance / vitesse
vitesse = distance / temps
v = d/t avec v pour coefficient de proportionnalité
“Si la vitesse v d’un mobile est constante, alors la distance d parcourue par ce mobile est proportionnelle au temps t de ce parcours”
Calculer la vitesse moyenne d’un objet parcourant une distance donnée à différentes vitesses
- Calculer la distance totale parcourue (d1+d2)
- Calculer le temps total du parcours (t1+t2)
- Calculer la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours = distance totale/temps total
Les 4 égalités du produit en croix pour retrouver un terme manquant d’une relation a/c = b/d
a = (bxc)/d d = (bxc)/a b = (axd)/c c = (axd)/b
Donner les 4 techniques de résolution de proportionnalité :
- Produit en croix
- Quatrième proportionnelle
- Règle de 3
- Méthode graphique
Méthode de la quatrième proportionnelle
- en utilisant le coefficient de proportionnalité : construire un tableau de proportionnalité, calculer le coefficient de proportionnalité, l’utiliser pour calculer la 4ème proportionnelle
- en utilisant la règle de 3
Répartir proportionnellement une quantité S à une suite de nombre a, b et c
- Ecrire que l’on cherche les nombres x, y, z tels que x/a = y/b = z/c ; avec S = x+y+z
- Calculer (x+y+z) / (a+b+c), soit S / (a+b+c)
- Calculer x sachant que x/a = (x+y+z) / (a+b+c)
- Calculer y et z de la même manière
- Vérifier que les 3 nombres obtenus sont bien tels que x+y+z = S
Partager une prime de 2400e entre 3 salariés proportionnellement à leur ancienneté respective de 3,5 et 8 ans
Soit x,y,z la part de chacun x + y + z = 2400 et x/3 = y/5 = z/8 x/3 = y/5 = z/8 = (x + y + z) / (3+5+8) = 2400/16 = 150 On peut donc calculer la part de chacun x/3 = 150 --> soit x = 450e Id : y = 750e et z = 1200e 450 + 750 + 1200 = 2400e
Retrouver une valeur initiale en connaissant le % d’évolution et la valeur finale
- Si l’évolution est une augmentation : VD = VA / (1+ t/100)
- Si l’évolution est une diminution :VD = VA / (1- t/100)
