C10 - Fractions et décimaux Flashcards
A partir de quelle classe sont abordées les fractions et les nombres décimaux?
CM1 et CM2, enseignement à penser et à mettre en oeuvre jusqu’en 5ème
Exceptions : en s’appuyant sur le langage courant, un élève transformera 125 centimes d’euros en 1 euro et 25 centimes
Aussi, lors de l’apprentissage de la lecture de l’heure, les élèves sont confrontés aux quarts d’heure et aux demi-heures.
Ainsi les termes sont connus des élèves, dans un contexte particulier
Compétences sur les fractions en CM1 et CM2 (7 compétences)
- Nommer les fractions usuelles
- Savoir les utiliser dans les cas simples de partage
- Savoir les utiliser dans des cas simples de mesure de grandeur
- Encadrer une fraction par deux entiers
- Décomposer une fraction en une somme d’un entier et une fraction inférieure à 1
- Ajouter 2 fractions simples
- Ajouter 2 fractions décimales
Compétences sur les nombres décimaux en CM1 et CM2 (8 compétences)
- Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement
- Connaitre la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture du nombre (dixièmes, centièmes en CM1 et millième, dix-millième en CM2)
- Comparer des nombres décimaux
- Ranger des nombres décimaux
- Placer des nombres décimaux sur une droite numérique
- Encadrer un nombre décimal par deux entiers consécutifs
- Produire la décomposition canonique d’un nombre décimal
- Donner une valeur approchée
Les différents sens de l’écriture fractionnaire (3 sens)
- La fraction est une proportion
- La fraction est une division
- La fraction est un nombre
Selon la manière d’introduire la fraction dans les apprentissages, l’un de ces sens peut être prépondérant
L’introduction du sens de l’écriture fractionnaire par catégorie de problème
- La fraction est une proportion : pour coder les partages d’une entité
- La fraction est une division : pour les problèmes pour lesquels le reste est encore partageable (peu répandu en primaire : surtout travaillé au collège)
- La fraction est un nombre : pour résoudre certains problèmes pour lesquels les entiers sont insuffisants (pose des fondements de cette conception, qui sera un objectif à l’horizon collège)
Obstacle à la compréhension de la fraction comme un nombre à part entière
Les élèves ne voient pas un nombre, mais 2
Difficile de passer d’un univers (N) à l’autre (D)
Quel est le sens de l’écriture fractionnaire introduit en priorité selon les programmes?
- La fraction est une proportion, l’écriture de la proportion d’une unité
Qu’utilise-t-on pour introduire la fraction en tant que proportion?
- Les situations de partage d’une entité
- La bande unité (Exprime la mesure de segments dont les longueurs ne sont pas des mesures entières)
Les situations de partage d’une entité dans les fractions inférieures à l’unité
- Détermination de la fraction représentée par un certain nombre de parts = codage
- Détermination du nombre de parts correspondant à une fraction = décodage
Aides à la compréhension dans les situations de partage d’une entité pour les fractions inférieures à l’unité
- Les élèves doivent eux-même effectuer les partages avant d’utiliser la fraction pour coder une part
- Varier la forme de l’entité partagée, au risque de bloquer l’élève qui sera incapable de transférer les activités de codage/décodage d’une forme à l’autre
Aide à la compréhension dans les situations de mesure de longueur pour les fractions inférieures à l’unité
Utilisation de la bande unité
Les fractions qui ont pour dénominateur 2,4 et 8 ont l’avantage de pouvoir être obtenues par une succession de pliages en 2
Codage d’une fraction
Détermination de la fraction représentée par un certain nombre de parts
Décodage d’une fraction
Détermination du nombre de parts correspondant à une fraction
Doit-on présenter en premier les fractions inférieures ou supérieures à l’unité?
Les fractions inférieures à l’unité, car 9/4 ne peut prendre sens que lorsque 1/4 aura été compris
Par quoi sont introduites les fractions supérieures à l’unité?
- Par des situations de partage équitable Ex : 9/4
- par la voie des opérations sur les fractions inférieures à l’unité Ex : 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2
Que signifie le passage du codage (3/2)u (fraction de quelque chose ) à 3/2 (nombre à part entière) pour l’élève en terme de compréhension de la fraction?
On arrête de coder une proportion résultant d’un partage équitable (3 partagé en 2 parts égales) pour passer à un nouveau nombre signifiant “3 parts d’une demi unité”
On peut maintenant situer les fractions par rapport aux entiers à l’aide d’une droite graduée
En quelle classe commence-t-on les opérations sur les fractions?
CM2
2 compétences s’y rapportent :
- Ecrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1
- Ajouter deux fractions décimales ou simples de même dénominateur
Mais on commence à construire des premiers repères au CM1 pour l’addition, la soustraction et la multiplication
En quelle classe les élèves doivent être capables d’additionner des nombres décimaux?
En fin de CM1
Erreur fréquentes lors de l’apprentissage des fractions
3/4 + 1/2 = 4/6
3/4 + 3 = 6/4
Signe de confusion sur la nature exacte de la notion de fraction
Dans le cadre des mesures, quelle écriture utilise-t-on de manière privilégiée ?
Les fractions décimales
Ex : 1 mètre et 3 cm –> 1 + 3/100 de mètre
1 kilo et demi –> 1 + 1/2 kilo –> 1 + 5/10 de kilo
En quelle classe un élève est-il capable de produire des écritures telles que : 35/10 = 30/10 + 5/10 = 3 + 5/10 = 3 + 1/2
CM1
Comment introduire les écritures décimales ?
- Les présenter comme un autre moyen d’écrire une fraction ou une somme de fractions décimales
- On peut utiliser un tableau de numération étendu aux fractions décimales
- Repérage de points sur une droite graduée : primordial pour éviter les confusions entre dixième et centième
Ex : 2,7 et 2,07 donnent des points très éloignés l’un de l’autre, ce qui permet à l’enfant de se rendre compte de l’importance de la position des chiffres - Mesure d’aires de figures grâce à l’utilisation d’une unité (ex : un carré) fractionné en 10 ou 100 parties
- Emploi du système métrique : les écritures décimales simplifient les expressions de mesures utilisant unités, multiples et sous multiples
ex : 3m et 8cm = 3,08m
Qu’est ce qu’un tableau de numération?
Un tableau pour repérer la valeur de chaque chiffre m / c / d / u
Erreurs fréquentes lors de l’introduction des écritures décimales
- 28/100 = 28,100
Sept dixièmes = 7,10
–> L’enfant perçoit que l’enseignant attend un “nombre à virgule” : ne donnent pas de sens à ce qu’ils font.
Pour eux un nombre décima est composé de 2 entiers séparés par une virgule mais ne connaissent pas la signification des chiffres selon leur place dans le nombre - Dans 4,567, l’élève affirme que le 5 est le chiffre des centaines, car il l’est dans 567, ou des centièmes, car il a intégré qu’après la virgule il faut dire “ième”
Oralisation des nombres décimaux
Ex 42,37
Quarante-deux et 37 centièmes
Quarante-deux, 3 dixièmes et 7 entière
–> Manières de lire porteuses de sens et s’appuyant sur les décompositions
Ne pas lire “virgule 37” car laisse penser à l’élève qu’un décimal est formé par un couple d’entiers
Obstacles à la compréhension de l’ordre sur les décimaux
Les élèves conservent longtemps des représentations fortement marquées par les nombres entiers et sa règle de comparaison : un nombre est plus grand s’il a plus de chiffres
ex : 2,3 < 2,25
Difficulté à passer d’un univers discret (on “saute” d’un nombre à l’autre) à un univers continu, dense (les nombres sont “serrés les uns contre les autres”)
Difficulté à concevoir que l’on ne peut pas trouver de successeur ou de prédécesseur (1,9 n’est pas le prédécesseur de 2, ni même 1,91)
Emettre 2 hypothèses concernant la source de l’erreur
2,3 < 2,25
- L’élève s’appuie sur la conception d’un nombre décimal comme 2 nombres entiers séparés par une virgule. Il compare donc séparément les parties entières et décimales des nombres : règle de comparaison des entiers : un nombre est plus grand s’il a plus de chiffres –> 25 est supérieur à 3
- L’élève fait abstraction de la virgule et compare 23 et 225 comme dans l’ensemble des entiers naturels
Exercices pour aider à la compréhension de l’ordre sur les décimaux
Exercices et situations permettant de :
- comparer
- situer des nombres décimaux sur une graduation
- encadrer des nombres
- déterminer des valeurs approchées
Obstacles à la compréhension de l’addition et de la soustraction sur les nombres décimaux
- Perception d’un décimal comme un couple d’entiers
- Ne fait pas d’équivalence entre 10 dixièmes et 1 unités ex : 6,4+2,9 = 8,13 car 4+9=13
Erreur possible lorsqu’on demande à un élève de compter de dixième en dixième à partir de 0,1
0,1 ; 0,2 ; …. 0,9 ; 0,10 ; 0,11 ….
L’élève traite les décimaux comme un couple d’entiers et ne fait qu’incrémenter la partie décimale de 1 à chaque fois, sans faire d’équivalence entre 10 dixièmes et 1 unités, et finit donc par compter de centième en centième
Hypothèse sur l’erreur suivante :
8,2 - 3,49 = 5,47
Traite les décimaux comme un couple d’entiers
8-3 = 5 et comme 2-49 est “impossible”, l’élève calcule 49-2
Obstacles à l’apprentissage de la multiplication par des nombres décimaux
- La multiplication d’un entier équivalait jusque là à une addition réitérée
- Difficulté à concevoir qu’une multiplication puisse produire un résultat inférieur au nombre de départ, dans le cas d’une multiplication par un décimal inférieur à 1
- Perception d’un décimal comme un couple d’entiers ex : 8,23 x 10 = 80,23 ou 80,230 ou 8,230
A quel moment faire apparaitre les procédures de décalage de la virgule dans une multiplication avec un nombre décimal?
Seulement lorsque les élèves ont donné du sens à ce type de multiplication
Dans un premier temps, les élèves doivent faire l’analogie avec les fractions décimales : multiplier par 8,3 par 10 c’est multiplier 83 dixièmes par 10
Erreurs fréquentes lors de l’introduction de la division menant à des décimaux au cycle 3
- Réussir à interpréter le résultat
- Ne pas exprimer tous les résultats de divisions à l’aide de décimaux par la suite (ex : Il y a 6,2 élèves par groupe)
