C5 - Addition et soustraction dans N et dans Z

Question 1

Propriétés de l’addition dans N

Answer 1

• Loi de composition interne – > c = a+b
• Commutativité –> a+b = b+a
• Associativité –> (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
• Elément neutre –> a+0 = 0+a = a

Question 2

Qu’est ce qu’une loi de composition ?

Answer 2

Toute règle (loi) instituée qui, à deux éléments d’un ensemble en associe un troisième

Question 3

Qu’est ce qu’une loi de composition interne ?

Answer 3

Toute règle (loi) instituée qui, à deux éléments d’un ensemble en associe un troisième (l’image du couple) qui est nécessairement un élément du même ensemble

Ex : la loi de composition interne de l’addition dans N associe à tout couple (a,b), le nombre entier naturel c=a+b

Question 4

Commutativité d’une loi de composition interne

Answer 4

Si les images des couples (a,b) et (b,a) sont égales
–> a+b = b+a

Utile au cycle 2 où il est plus simple pour un élève de se représenter et de calculer 17+2 que 2+17

Question 5

Associativité d’une loi de composition interne

Answer 5

On peut changer l’ordre des additions
–> (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

Les parenthèses sont appelées symboles de priorité de calcul

Question 6

Pour quoi utilise-t-on l’associativité et la commutativité?

Answer 6

Fondements du calcul mental

Question 7

Elément neutre de l’addition dans N

Answer 7

Action du 0 neutre dans le processus de l’addition
–> a+0 = 0+a = a

0 prend ici son statut de nombre à part entière

Question 8

Qu’est ce qu’un ensemble?

Answer 8

Une liste ou collection d’objets (appelés éléments de l’ensemble)
Le nombre d’éléments de l’ensemble est appelé cardinal de E

Question 9

Qu’est ce que la partition d’un ensemble?

Answer 9

Le partage d’un ensemble E en sous-ensemble disjoints
A⋃B= E
A⋂B = ∅

–> L’addition est l’opération qui permet de calculer le cardinal de la réunion de 2 ensembles disjoints

Question 10

Comment trouver toutes les décompositions additives possibles d’un nombre?

Answer 10

Avec méthode répétitive (tableau de valeurs), pour être sûr de ne pas oublier une combinaison

Ecrire l’équation traduisant les décompositions additives cherchée
N = ax + by + cz
avec a,b,c entiers naturels et x > y > z

“On procède par essais successifs ordonnés”
On cherche s’il existe des solutions en attribuant la valeur de A la plus grande possible
Calculer ce qu’il manque à ax pour arriver à N et déduire la plus grande valeur possible de b
=> chaque valeur de b et c doit être un entier sinon KO

Si OK : la combinaison (a,b,c) correspond à une décomposition additive de N
“On répète le raisonnement en diminuant de 1 la valeur de b”
Puis en diminuant à chaque fois de 1 par ordre jusqu’à ce que a=0 et b=0

“Au delà, plus aucune solution n’est envisageable”

Conclure en récapitulant toutes les décompositions additives de N
“il y a donc ….. solutions possibles”

Question 11

Ensemble Z

Answer 11

Tous les entiers naturels (N) et leurs opposés
Donc N est inclus dans Z : N⊂Z

Tout entier naturel n admet un opposé -n tel que
n + (-n) = 0

Question 12

Est ce que la soustraction est une loi de composition interne dans N?

Answer 12

NON
Ex : 5-7 = -2

Loi de composition interne dans Z

Question 13

Définition et propriétés de la soustraction dans Z

Answer 13

Définition dans Z : soustraire revient à ajouter l’opposé
=> on définit la soustraction par l’addition

Pas de propriétés
Ni commutatif –> 9-3= 6 ≠ 3-9= -6
Ni associatif – > 7-(4-2)= 5 ≠ (7-4)-2= 1
Pas d’élément neutre –> a-0 ≠ 0-a ≠ a

Question 14

La soustraction dans N

Answer 14

Lien avec l’addition
a-b=c, avec b≤a si et seulement si a=b+c

Calculer a-b revient à chercher ce qu’il faut ajouter à b pour trouver a –> Addition à trou / Recherche du complément de b pour aller à a
b+…..=a

Question 15

Techniques opératoires pour l’addition

Answer 15

• Surcomptage (pas considéré comme du calcul)
• Calcul posé
• Additionner mentalement 2 nombres à 2 chiffres

Question 16

Difficultés du surcomptage

Answer 16

Cycle 2 : si aucun support pour la pensée : difficile d’énoncer la suite des nombres en effectuant en même temps un comptage des nombres énoncés

Trouve ses limites assez vite quand le champ numérique s’étend
Il faut initier l’élève à l’utilisation de la commutativité de l’addition : plus facile de compter 7+3 que 3+7 en surcomptage

Question 17

Qu’appelle-t-on calcul réfléchi?

Answer 17

Utilisation d’un procédé de calcul

Par opposition aux procédés de comptages

Question 18

Avantage du calcul posé

Answer 18

Permet de calculer la somme de n’importe quel nombre, quel que soit l’ordre de grandeur, et à partir d’une mémoire assez restreinte

La mémoire restreinte en question est la connaissance des tables d’additions, complétée par une méthode s’appuyant sur la numération (groupement par dizaines, échanges, positions)

Question 19

Qu’est ce que la mémoire (des faits numériques)

Answer 19

L’ensemble des résultats directement accessibles : connus et mémorisés

Question 20

Peut-on parler d’une technique opératoire pour la soustraction?

Answer 20

NON
Il existe de nombreux procédés de calcul en usage selon les personnes

• Décomptage
• Calcul en ligne par compensation fondée sur l’égalité
• Calcul en ligne par recherche du complément
• Calcul dans Z

Question 21

Méthode de soustraction par compensation fondée sur l’égalité : calcul en ligne et posé

Answer 21

Il est possible d’ajouter un même nombre aux deux termes d’une égalité sans la changer
Ou
La différence entre deux nombres ne change pas si l’on ajoute la même quantité à chacun de ces deux nombres
a-b = (a+c)-(b+c) avec b≤a

Calcul en ligne
Ex : 567-389 = (567+10+1)-(389+10+1) = 578-400
Plus facile à calculer

Calcul posé
Technique la plus répandue en France (système des retenues)

Question 22

Méthode de soustraction par calcul dans Z

Answer 22

Décomposer les deux termes puis soustraire les centaines aux centaines, les dizaines aux dizaines et les unités aux unités

Ex:
567-389 = (500-300)+(60-80)+(7-9)
= 200 + (-20) + (-2)

Question 23

Méthode anglo-saxonne de calcul de soustraction

Answer 23

Fondée sur les principes de la numération de position et des échanges de 10 pour 1
Utilise différentes décompositions additives d’un même nombre
Décomposition des deux termes en les combinant pour avoir des termes faciles à calculer
Différence dans le calcul posé par compensation : au lieu de mettre une retenue sur le chiffre du bas, on enlève une unité au chiffre du haut (en l’écrivant au dessus)

Question 24

Difficulté induite par la méthode de soustraction “française”

Answer 24

Confusion dans la retenue : lue comme un chiffre des dizaines au lieu de l’additionner

Question 25

Qu’est ce qu’une progression arithmétique d’une suite de nombres ?

Answer 25

Lorsque chaque élément de la suite se déduit du précédent par addition d’un même nombre constant
Ce nombre est appelé raison de la suite

Raison positive : suite croissante
Raison négative : suite décroissante

Question 26

Suite arithmétique : u(n+1) =?

Answer 26

u(n)+r

Question 27

Suite arithmétique : u(n) =? (nombre de termes de la suite)

Et si n=0 ?

Answer 27

u(1) + (n-1)xr

Si le premier terme est u(0) alors:
u(n) = u(0) +nxr
Car il y a une égalité de plus

Question 28

Calculer la somme des termes d’une suite de nombres en progression arithmétique

Answer 28

S = (n(u(1)+u(n))/2

nombre de termes x (1er terme + dernier terme)
/2

Question 29

Déterminer le nombre de termes d’une suite de nombres en progression arithmétique

Answer 29

u(n) = u(1) + (n-1) xr

Question 30

Déterminer 2 nombres en connaissant leur somme et leur différence

Answer 30

Traduction en équation :
a + b = S (1)
a - b = D (2)

(1) + (2) donne 2a = S + D
Soit a = (S+D)/2

En déduire b selon la première équation b = S-a

Question 31

Déterminer 3 nombres entiers en progression arithmétique, en connaissant leur somme

Answer 31

Soit n le 2ème nombre recherché
S = (n-r) + n + (n+r) = 3n
n = S/3
Les trois nombres cherchés sont :
(S/3)-r  ;  (S/3)   ; (S/3)+r

Question 32

Quelle est la somme S des nombres impairs jusqu’à 2k+1 en fonction de k ?
( Soit S = 1+3+5+….+ (2k+1) )

Answer 32

(k+1)^2

Question 33

Dans un exercice : “Présenter les résultats de manière organisée”

Answer 33

De manière progressive qui permet de s’assurer que toutes les éventualités ont bien été prises en compte.
(Souvent, un tableau)
“On procède par essais successifs ordonnés”

Question 34

Oralisation de la mise en équation

Answer 34

“On a d’après l’énoncé”

Question 35

Quelle st la somme de tous les nombres d’un carré magique?

Answer 35

Par définition, la somme des 3 nombres écrits sur chacune des 3 lignes est la même partout.
Donc si S est la somme de tous les nombres (1+2+3+4…..+9) = 45
Alors la somme sur chaque ligne est 45/3 = 15

Question 36

Caractériser les entiers naturels qui sont la somme de 3 entiers consécutifs

Answer 36

On a (n-1) + n + (n+1) = 3n
On en conclut que tout nombre qui peut s'écrire sous la forme de la somme de 3 nombres entiers naturels consécutifs est nécessairement un multiple de 3

A noter: la somme de 3 nombres entiers impairs consécutifs est aussi 3n
(n-2) + n + (n+2) = 3n

Question 37

Avantages de l’utilisation de la calculatrice dans une activité
(4 avantages)

Answer 37

• Familiariser les élèves avec l’instrument de calcul
• Faciliter l’activité (le jeu) pour que les calculs ne soient pas trop longs et sujets à de nombreuses discussions ou contestations
• Exercer l’élève qui n’utilise pas la calculatrice (qui attend son tour) au calcul mental s’il y est invité (par exemple pour anticiper le résultat et s’assurer que son adversaire a utilisé la machine conformément à la règle)
• Participe à la mémorisation de nombreux résultats additifs ou soustractifs

Question 38

Avantages de la méthode anglo-saxonne de soustraction au cycle 2

Answer 38

Technique fondée sur des connaissances relatives à la numération : groupements de 10, échange de 10 contre 1, valeur positionnelle du chiffre dans l’écriture du nombre
Méthode usuellement utilisée en France nécessite de bien comprendre la permanence de l’écart lorsqu’on ajoute la même quantité aux deux termes d’une soustraction : a-b = (a+10) - (b+10)

Question 39

Compétences nécessaires au CE2 pour réussir une addition posée en colonne de 3 nombres à 3 chiffres
(5 compétences)

Answer 39

• Connaitre les tables d’addition
• Etre capable de calcul mental simple portant sur la somme de 3 nombres (chacun inférieurs à 10)
• Savoir poser correctement en colonne l’opération en disposant bien les chiffres des unités sous les chiffres des unités, etc …
• Connaitre la valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture d’un nombre
• Savoir poser les retenues en utilisant la valeur positionnelle des chiffres dans l’écriture d’un nombre

Question 40

Difficultés liées à l’exercice suivant : Jean collectionne les timbres. Hier il en avait 58. Ce matin, son GP lui en a donné, qu’il a ajouté à sa collection. Il en a maintenant 173. Combien son GP lui en a-t-il donnés?
(4 difficultés)

Answer 40

Problème de transformation positive selon la classification proposée par G. Vergnaud
Difficultés :
-Syntaxe utilisée, avec des temps de conjugaison au passé et au présent, des expressions temporelles telles que “hier” et “maintenant” –> la chronologie est au coeur du problème
- On recherche ici un écart qui correspond à une transformation positive : le problème relève d’une soustraction mais les mots utilisés conduisent plutôt vers l’addition (ajouter, donner….)
- Le calcul porte sur des nombres qui n’ont pas le même nombre de chiffres
- Le calcul nécessite de savoir gérer les retenues