C3 - Numérations et bases

Question 1

Qu’appelle-t-on numération?

Answer 1

Tout système organisé d’écriture ou d’énonciation des nombres

Question 2

Les différents types de numération

Answer 2

• Numération décimale
• Numération binaire
• Numération égyptienne
• Numération romaine

Question 3

Les 3 systèmes de numération

Answer 3

• Numération par addition
• Numération hybride
• Numération de position

Question 4

Numération par addition

Answer 4

Chaque symbole (appelé chiffre) renvoie à une quantité toujours identique et ceci indépendamment de sa position dans l’écriture du nombre
=> le nombre codé est obtenu par addition de toutes les quantités représentées par les différents chiffres
Ex : Egyptienne

Question 5

Numération hybride

Answer 5

Le nombre s’obtient par addition des quantités représentées mais certaines de ces quantités peuvent être négatives selon leur position respectives (l’addition devient alors une soustraction)
ex : numération romaine

Question 6

Numération de position

Answer 6

Système d’écriture des nombres qui utilise le zéro en règle générale et un nombre limité de chiffres
La quantité est représentée par chacun des chiffres en fonction de la place qu’il occupe dans le nombre
Les chiffres n’ont pas la même valeur selon la position/le rang qu’ils occupent dans l’écriture du nombre

Question 7

Inconvénient des méthodes de numération par addition et hybride

Answer 7

• Les grands nombres sont difficiles à écrire car utilisent de nombreux symboles
• Les nombres ne sont pas facilement manipulables : gênant pour les opérations courantes
• On ne peut indiquer l’absence de quantité : pas de zéro

Question 8

Notre système usuel de numération

Answer 8

La numération écrite qui utilise les 10 chiffres arabes : numération de position
La numération écrite qui utilise les mots : numération hybride

Question 9

Pourquoi le système de numération décimal est-il dit régulier?

Answer 9

Parce que les chiffres reviennent de manière périodique : tous les chiffres reviennent tous les 10 nombres
Ex : 5, 15, 25, 35 ……

Question 10

Qu’est ce que la décomposition canonique (ou polynomiale) d’un nombre?

Answer 10

Une manière d’écrire un nombre sous forme d’une somme de produits
Ex : abcd = a x1000 + b x100 + c x10 +d

Question 11

Que signifie une numération de base n?

Answer 11

Que l’on utilise exclusivement n chiffres pour écrire tous les nombres
Que l’on dénombre les quantités en faisant des groupements par paquets de n
Les symboles vont de 0 à n-1 : aucun des chiffres composant un nombre écrit en base n ne peut être égal ou supérieur à n
Quand n est supérieur à 10, s’ajoutent alors les lettres A, B, C,… en nombre suffisant pour parvenir à un total de n symboles

Question 12

Trouver le prédécesseur dans un groupement où il n’y a pas d’unités

Answer 12

On “casse” un paquet de dizaine, on enlève 1 au chiffre des dizaines et on met 9 au chiffre des unités

Question 13

Combien de termes utilisés dans l’oralisation/l’écriture en mots des nombres de 0 à 100?
(excepté “et”)

Answer 13

24

Question 14

Pourquoi l’oralisation/l’écriture en mots est une numération hybride?

Answer 14

Dix-sept : 10+7
Mais quatre-vingt et vingt-quatre n’ont pas la même signification : la position joue ici un rôle

De plus, l’énumération des nombres de 60 à 99 provient d”une ancienne numération en base 20

A noter que les termes “septante, octante, nonante” utilisés en Belgique et en Suisse permettent de conserver la régularité de l’énonciation, contrairement au mode d’énonciation français

Question 15

Enonciation des nombres en base 2

Answer 15

On lit ce que l’on voit

Ex : 1010 = “un zéro un zéro en base 2”

Question 16

Décomposition canonique de abcd en base 2

Answer 16

a x8 + b x4 + c x2 + d x1
ou
a x2^3 + b x2^2 + c x2^1 + d x2^0

Question 17

Citer les 10 premiers nombres en base 2

Answer 17

0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010

Question 18

Décomposition canonique de abcd en base n

Answer 18

a x n^3 + b x n^2 + c x n^1 + d x n^0

Question 19

Passer de la base n à la base 10

Answer 19

Faire la décomposition canonique de ce nombre

Additionner les termes de cette décomposition

Question 20

Passer de la base 10 à la base n

Answer 20

Méthode des divisions successives
Diviser le nombre par n
Diviser le quotient obtenu par n
Diviser à nouveau le quotient par n, jusqu’à ce que le quotient soit égal à zéro
Ecrire côte à côte et de droite à gauche les restes successifs de ces divisions

Ne pas oublier de surmonter le nombre d’une barre et de mettre n en indice

Question 21

Passer de la base 10 à la base n en reconnaissant une décomposition canonique

Answer 21

Constater que l’expression est la somme de produits avec chacun au moins un facteur égal à une puissance de n
Regrouper les membres de l’addition par puissance de n (si nécessaire)
Associer à chaque chiffre multiple d’une puissance de n son rang correspondant dans l’écriture du nombre en base n
Ecrire en base n sans oublier les 0 nécessaire pour les rangs vides

Question 22

Trouver le successeur d’un nombre en base n

Answer 22

Ajouter une unité :

• si le chiffre des unités est inférieur à (n-1) –> Ajouter 1
• si le chiffre des unités est égal à (n-1) –> Ajouter 1 au premier chiffre inférieur à (n-1) en partant de la droite et passer à 0 tous les chiffres à sa droite

Question 23

Trouver le prédécesseur d’un nombre en base n

Answer 23

Enlever une unité :

• si le chiffre des unités est supérieur à 0 –> Enlever 1
• si le chiffre des unités est 0 –> Enlever 1 au premier chiffre différent de 0 en partant de la droite et passer à (n-1) tous les chiffres à sa droite

Question 24

Quel est le plus grand nombre que l’on peut écrire en base n avec 3 chiffres?

Answer 24

(n^3)-1