C13- Proportionnalité - Pédagogie

Question 1

Sur quels cycles se déroule l’enseignement de la proportionnalité?

Answer 1

Du cycle 3 jusqu’au lycée

Approchée dès le CE2

Question 2

Dans quels domaines mathématiques est abordée la proportionnalité?

Answer 2

• Numérique : quantités, valeurs, mesures de grandeurs
• Graphique : représentation graphique de fonctions
• Géométrique : agrandissement, réduction, échelle

Question 3

Compétences liées à la proportionnalité à atteindre en fin de CM2

Answer 3

• Résolution de problèmes
  Relevant des 4 opérations, de la proportionnalité et faisant intervenir différents objets mathématiques (nombres, mesures, règle de 3, figures géométriques, schémas)
  Savoir organiser ces informations, justifier et apprécier la vraisemblance d’un résultat
  Lire, interpréter et construire quelques relations simples (tableaux, graphiques)
  Utiliser les unités de mesure usuelles, les instruments de mesure et effectuer des conversions
• Organisation et gestion de données
  Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité relative aux pourcentages, échelles, vitesse moyenne, conversion d’unité…
  Utilisation des procédures (notamment la règle de 3
• Géométrie
  Problèmes de reproduction, de construction de figures planes

Question 4

Avantage de l’utilisation d’un tableau à double entrée

Answer 4

Modéliser les situations de façon plus explicite que par le langage mathématique des fonctions

Question 5

Dans la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = as, comment appelle-t-on a?

Answer 5

Coefficient directeur ou pente de la droite

Question 6

Comment les élèves apprennent à reconnaitre une situation de proportionnalité?

Answer 6

Lors de l’introduction de la notion, seul le contexte des situations permet de décider que nous sommes en face d’une situation de proportionnalité : “connaissance sociale”

Question 7

Quelles sont les situations de proportionnalité les plus fréquemment utilisées pour introduire la notion?

Answer 7

• Recettes de cuisine (attention à ne pas trop multiplier les ingrédients pour ne pas complexifier)
• Pratiques marchandes

Question 8

Obstacles à la reconnaissance des situations de proportionnalité (2 obstacles)

Answer 8

• Certains contextes sont évocateurs pour certains élèves et pas d’autres (ex : conversion de devises nécessite une connaissance culturelle associée à ce contexte)
• Recettes de cuisine : motivant mais se limite rarement à 2 grandeurs : multiplie le nombre de situations de proportionnalité présentes dans le problème

Question 9

Aides à la reconnaissance des situations de proportionnalité (3 aides)

Answer 9

• Expliciter les critères de reconnaissance : X croissants coutent Y “et il en est toujours ainsi quelle que soit la quantité achetée”, “si une des grandeurs double, alors l’autre double également?”
• Faire apparaitre les particularités de la fonction spécifiques aux situations de proportionnalité, en comparant par exemple des situations de proportionnalité avec des situations de non proportionnalité (fonction affine)
• Utiliser les tableaux à double entrée
• Utiliser les graphiques

Question 10

Que représente une fonction affine dans le cadre de l’apprentissage de la proportionnalité ?

Answer 10

Une situation de non-proportionnalité

Question 11

Donner du sens à la propriété de linéarité additive des fonctions de proportionnalité

Answer 11

Pour acheter 8 croissants, je dois payer le prix de 6 croissants, plus le prix de 2 croissants

Question 12

Donner du sens à la propriété de linéarité multiplicative des fonctions de proportionnalité

Answer 12

Si une des grandeurs est multipliée par un nombre, l’autre grandeur est multipliée par le même nombre

Question 13

Erreurs fréquentes dans la résolution de problèmes de proportionnalité

Answer 13

Confusion de la propriété additive avec la multiplicative : ex : au lieu d’ajouter le prix de 6 croissants au prix de 2, l’élève additionne le nombre de croissant à ajouter à 2 pour obtenir 8 f(8) = f(2) + 6 au lieu de f(8) = f(2) + f(6)

Question 14

Qu’est ce que le “retour à l’unité” ou la “recherche du coefficient de linéarité”?

Answer 14

L’utilisation du coefficient de proportionnalité, nombre qui permet de passer d’une valeur de x à la valeur de y correspondante par une multiplication toujours identique
f(x) = 0,75x

Question 15

Avantage de l’utilisation du coefficient de proportionnalité dans la résolution de problèmes de proportionnalité

Answer 15

Lorsque l’on connait ce nombre, on peut par une seule opération répondre à n’importe quelle question concernant la situation
f(x) = 0,75x

Question 16

Obstacle à l’utilisation du coefficient de proportionnalité dans la résolution de problèmes de proportionnalité

Answer 16

• Peut nécessiter de savoir multiplier un nombre entier par un nombre décimal : maitrisé seulement en fin de CM1
• Le coefficient de proportionnalité peut aussi être un nombre rationnel (du type 2/3) : à éviter en début d’approche de la procédure

Question 17

Quand peut-on commencer à utiliser les procédures de type règle de 3 et produit en croix avec les élèves dans les situations de proportionnalité?

Answer 17

Quand les situations sont bien assimilées par les élèves : demande une abstraction de plus en plus grande
Procédure de la règle de 3 très proche de celle du retour à l’unité, sauf que le calcul s’écrit en 1 étape

Question 18

Obstacle à l’utilisation de la règle de 3 et du produit en croix dans la résolution de problèmes de proportionnalité

Answer 18

• Procédure de la règle de 3 : délicate à mettre en oeuvre, les élèves cherchent à utiliser un modèle qui ne fait pas sens pour eux : nombreuses erreurs
• Procédure du produit en croix : procédure experte plutôt utilisée au collège

Question 19

Quand commence-t-on l’utilisation de procédure experte dans les situations de proportionnalité?

Answer 19

Au collège
Mais les élèves doivent pouvoir traiter toutes les situations simples présentées en fin de cycle 3 grâces aux procédures qu’ils ont apprises

Question 20

Exemple d’activité sur le thème de la proportionnalité géométrique

Answer 20

• Réalisation de plans ou de maquettes
• Utilisation d’un quadrillage pour réduire ou agrandir une carte
• Réalisation d’une figure agrandie ou réduite en indiquant seulement le coefficient d’agrandissement/réduction ou les longueurs de 2 côtés qui se correspondent

Question 21

Qu’impliquent les notions d’agrandissement ou de réduction en géométrie?

Answer 21

Conservation des angles, du parallélisme, de la perpendicularité, de la proportionnalité des longueurs des côtés qui se correspondent

Question 22

Difficultés pour les élèves liées aux situations de résolution de problèmes de proportionnalité

Answer 22

• Identification et prise en charge des grandeurs en jeu : citées dans un texte et non pas déjà mises en correspondance :c’est l’élève qui doit effectuer cette tâche mentalement ou schématiquement
• Identification de la situation : l’élève doit cherche à savoir si la situation relève de la proportionnalité (grâce au contexte, mais qui peut être plus ou moins familier)
• Absence de validation “par le milieu” : l’élève ne peut physiquement s’assurer le la justesse de ses résultats
• Utilisation erronée du modèle additif (ou soustractif) dans les problèmes d’augmentation ou diminution relevant de la proportionnalité : f(8) = f(2) + 6 au lieu de f(8) = f(2) + f(6)
• Elaboration de la procédure de résolution
• Bonne conduite des étapes de la résolution : calculer sans perdre le fil conducteur (contexte du problème, situation de départ, d’arrivée…), savoir comment interpréter les résultats trouvés

Question 23

Aides aux situations de résolution de problèmes de proportionnalité

Answer 23

• Fournir le matériel nécessaire pour comprendre et valider les résultats par la manipulation
• Faciliter la mise en correspondance des grandeurs en jeu en fournissant un tableau à remplir ou en faisant correspondre les nombres à l’aide de flèches
• Utiliser la calculatrice pour trouver certains coefficients multiplicatifs