C14 - Fonctions numériques, graphes, tableaux et TICE

Question 1

Définition d’une fonction

Answer 1

Une fonction de E dans F est une relation qui, à tout élément de E associe AU PLUS un élément de F
Si E et F sont des ensembles de nombres, alors f est une fonction numérique
Notation
f : E -> F
x -> f(x)

Question 2

Si f : E -> F
x -> f(x)
Comment appelle-t-on x et f(x)?

Answer 2

x : antécédent de f(x) par f

f(x) : image de x par f

Question 3

Qu’est ce qu’un ensemble de définition d’une fonction numérique ?

Answer 3

L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est calculable
Noté Df

Question 4

A quoi faut-il être attentif concernant les ensembles de définition?

Answer 4

Aux dénominateurs des quotients.
Comme la division par 0 est impossible, f n’est parfois pas définissable
L’ensemble de définition sera privé de son antécédent x
Noté Df = Z - {x}

Question 5

A quoi sert un tableau de valeurs d’une fonction?

Answer 5

• Récapitule les valeurs prises par la fonction pour plusieurs nombres appartenant à l’ensemble de définition
• Facilite le tracé de la courbe représentative de la fonction

Question 6

Comment calculer un tableau de valeurs?

Answer 6

• Calculer les images des nombres choisis pour la fonction f
• Généré automatiquement l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur

Question 7

Définition du point M (x;y) du plan

Answer 7

Le point dont la projection orthogonale sur l’axe des abscisses est xm et dont la projection orthogonale sur l’axe des ordonnées est ym

Question 8

Définition de la courbe représentative d’une fonction

Answer 8

L’ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) où x est un élément de l’ensemble de définition de la fonction f
Le tableau de valeurs nous donne un certain nombre de points qui serviront à tracer la courbe d’équation y = f(x)

Question 9

Lecture graphique

A quoi correspond l’axe des abscisses?

Answer 9

A l’ensemble de départ de la fonction

Question 10

Lecture graphique

A quoi correspond l’axe des ordonnées?

Answer 10

A l’ensemble d’arrivée de la fonction

Question 11

Combien d’images peut avoir un nombre?

Answer 11

Par définition de la fonction, un nombre peut avoir un image ou aucune, mais pas plus d’une
L’image de x par f, si elle existe, est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse x
On la note f(x)

Question 12

Combien d’antécédent peut avoir un nombre?

Answer 12

Par définition de la fonction, un nombre peut avoir un, plusieurs, une infinité d’antécédents, ou aucun
L’antécédent de y par f, s’il existe, est l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée y

Question 13

Qu’est ce qu’un extremum?

Answer 13

La valeur maximum ou minimum que peut prendre une fonction

Question 14

Est ce que toutes les fonctions ont un extremum?

Answer 14

NON
Ex : les fonctions linéaires de type g(x) = ax
On peut ici toujours trouver une valeur plus petite ou plus grande de g

Question 15

Que signifie étudier les variations d’une fonction?

Answer 15

Déterminer les parties de son ensemble de définition pour lesquelles elle est croissante, décroissante ou constante
–> Récapitulé dans un tableau de variation

Question 16

Quand peut-on dire qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I?

Answer 16

Quand 2 nombres de I sont rangés dans le même ordre que leurs images par f
Ainsi, si a<b></b>

Question 17

Quand peut-on dire qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I?

Answer 17

Quand 2 nombres de I sont rangés dans l’ordre inverse de leurs images par f
Ainsi, si a<b> f(b)
L’ordre des images de a et b par f est inversé
Nb: la fonction peut aussi être seulement décroissante (il existe alors dans l’intervalle une partie constante)</b>

Question 18

Calculer le minimum ou le maximum d’une fonction affine

Answer 18

f(a) est un minimum de f sur I en a, si pour tout x de I, f(x)» f(a)
f(a) est un maximum de f sur I en a, si pour tout x de I, f(x)&laquo_space;f(a)

Question 19

Soit la fonction f définie par : f(x) = (x-3)^2 + 10, calculer le minimum de cette fonction

Answer 19

Comme (x-3)^2&raquo_space; 0 pour tout réel x, alors (x-3)^2 +10&raquo_space; 10
De plus, f(3) = 10
On en déduit que f(x)&raquo_space; f(3) pour tout réel x
Donc la fonction f admet un minimum en 3 et ce minimum est 10

Question 20

Soit la fonction f définie par : f(x) = - (x -5)^2 + 4 , calculer le maximum de cette fonction

Answer 20

Comme - (x -5)^2 &laquo_space;0 pour tout réel x, alors - (x -5)^2 + 4 &laquo_space;4
De plus, f(5) = 4
On en déduit que f(x) &laquo_space;f(5) pour tout réel x
Donc la fonction f admet un maximum en 5 et ce minimum est 4

Question 21

Qu’est ce qu’une fonction affine?

Answer 21

Une relation qui à tout nombre x associe le nombre f(x) = ax+b

Question 22

Est ce que la fonction g(x) = (x-3)^2 - x^2 est affine?

Answer 22

OUI

Car en développant et en simplifiant on obtient bien g(x) = -6x +9

Question 23

Cas particuliers de la fonction affine si b = 0

Answer 23

La fonction affine est linéaire

Question 24

Cas particuliers de la fonction affine si a = 0

Answer 24

La fonction affine est constante

Question 25

Différence entre la représentation graphique d’une fonction affine et d’une fonction linéaire?

Answer 25

Celle d’une fonction linéaire passe par l’origine des axes

Question 26

Si a>0, que peut-on dire du sens de variation de la fonction f(x) = ax+b?

Answer 26

Elle est strictement croissante

Question 27

Comment appelle-t-on le point b de la droite d’équation y = ax+b?

Answer 27

Ordonnée à l’origine

C’est le point de la droite d’abscisse 0, soit b = f(0)

Question 28

Comment interprète-t-on graphiquement le coefficient directeur a de la droite y = ax+b?

Answer 28

Appelé aussi “pente de la droite”
C’est le rapport entre la différence des ordonnées de deux points de la droite et la différence de leurs abscisses
Il est égal à une augmentation de a de l’ordonnée lorsque l’abscisse augmente de une unité

Question 29

Comment calculer le coefficient directeur a de la droite à partir de 2 points A (xa ; ya) et B (xb ; yb)?

Answer 29

a = (yb - ya) / (xb - xa)

Question 30

Une fonction affine peut-elle être définie par des expressions affines différentes selon l’intervalle?

Answer 30

OUI

On l’appelle fonction affine par morceaux, elle est constituée de segments de droite ou de demi-droites

Question 31

Propriétés de la fonction carrée f(x) = x^2

Answer 31

Décroissante pour x &laquo_space;0
Croissante pour x&raquo_space; 0
Minimum en 0 égal à 0 (Passe par l’origine des axes)
Représentée par une parabole

Question 32

Propriétés de la fonction f(x) = ax^2

Answer 32

Même ensemble de définition que la fonction carrée
Sens de variation dépend du signe de a
Si a > 0 alors sens de variation identique à celui de la fonction carrée et il existe un minimum en 0 qui vaut 0 (Passe par l’origine des axes)
Si a < 0 alors sens de variation contraire à celui de la fonction carrée et il existe un maximum en 0 qui vaut 0 (Passe par l’origine des axes)
Représentée par une parabole

Question 33

Propriétés de la fonction f(x) = ax^2 + bx + c

Answer 33

Appelé fonction trinôme du second degré
Même caractéristiques que les fonctions f(x) = ax^2
Extremum différent de 0

Question 34

Propriété de la fonction inverse f(x) = 1/X

Answer 34

Définie sur R*
Décroissante pour x<0 et décroissante pour x>0
Représenté par une hyperbole

Question 35

Qu’est ce qu’un tableur?

Answer 35

Un logiciel qui permet, sur des feuilles de calcul composées de cellules, de manipuler des données numériques, d’effectuer un certain nombre d’opérations de façon automatisée en utilisant des fonctions prédéfinies
On peut aussi créer des représentations graphiques à partir des données saisies

Question 36

Adressage relatif

Answer 36

Quand on copie la formule de calcul d’une cellule et qu’on la colle dans une autre, le tableur change automatiquement les numéros de colonnes et de lignes des cellules

Question 37

Adressage absolu

Answer 37

La référence des cellules ne changera pas quand on copiera la formule dans une autre cellule
L’adresse est figée après recopie
On ajoute le symbole $ devant la lettre et la colonne

Question 38

Construction de courbes représentatives de fonctions

Answer 38

Saisir la formule traduisant la fonction

Déterminer le pas (la différence d’abscisse entre deux points consécutifs de la courbe)

Question 39

Exemple d’utilisation du tableur

Answer 39

Pour résoudre un problème de répartition: on le fait calculer toutes les répartitions possibles et on identifie ensuite parmi les valeurs calculées celle qui est égale à la valeur cherchée

Question 40

Adressage mixte

Answer 40

La référence des cellules ne changera que pour les lignes ou les colonnes quand on copiera la formule dans une autre cellule
On ajoute le symbole $ devant la lettre ou la colonne

Question 41

Trouver l’équation d’une fonction affine à partir de sa représentation graphique
(2 méthodes)

Answer 41

• En trouvant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur
  f(0) = ?
  Si on avance de 1 vers le droite, on monte ou on descend de combien?
• en trouvant les coordonnées à partir de deux points de la droite A (xa;ya) et B (xb;yb)
  Les points A et B appartenant à la droite, leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite y = ax+b
  On peut donc déduire le système suivant, dont la résolution fournit les valeurs de a et b
  ya = axa + b
  yb = axb + b

Question 42

Déterminer l’équation de la droite passant par 2 points de la droite A (xa;ya) et B (xb;yb)
(2 méthodes)

Answer 42

- Calculer le coefficient directeur a
a = (yb - ya) / (xb - xa)
Replacer les coordonnées d'un point dans l'équation
On obtient ya = axa+b
En déduire b = y - axa

• Résoudre le système
  Les points A et B appartenant à la droite, leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite y = ax+b
  On peut donc déduire le système suivant, dont la résolution fournit les valeurs de a et b
  ya = axa + b
  yb = axb + b

Question 43

Montrer qu’une fonction trinôme du second degré ax^2 + bx +c admet un extremum, puis le calculer

Answer 43

• Décomposer l’expression en
  f(x) = a (x + b/2a)^2 + ((-b^2 + 4ac) / 4a)
  On pose α = -(b/2a) et β = ((-b^2 + 4ac) / 4a)
  On peut écrire f(x) = a(x- α )^2 + β

Si a > 0
Comme a(x- α )^2&raquo_space;0 pour tout réel x, alors a(x- α )^2 + β&raquo_space; β, avec f(α) = β
On en déduit que f(x)&raquo_space; f(α) pour tout réel x
Donc la fonction admet un minimum en x = α et ce minimum est égal à β

Si a < 0
Comme a(x- α )^2 &laquo_space;0 pour tout réel x, alors a(x- α )^2 + β &laquo_space;β, avec f(α) = β
On en déduit que f(x) &laquo_space;f(α) pour tout réel x
Donc la fonction admet un maximum en x = α et ce maximum est égal à β

Question 44

Soit la fonction f définie par f(x) = x^2 - 2x +6

Montrer que la fonction f admet un minimum, puis le calculer

Answer 44

On remarque que x^2 - 2x est le début du développement de l’identité remarquable (x-1)^2, qui est égal à x^2 - 2x + 1
On a donc f(x) = (x-1)^2 - 1 +6, soit (x-1)^2 +5
Comme (x-1)^2&raquo_space; 0 pour tout réel x, alors (x-1)^2 +5&raquo_space; 5 avec f(1) = 5
On en déduit que f(x)&raquo_space; f(1) pour tout réel x
Donc la fonction f admet un minimum en x = 1 et ce minimum est égal à 5

Question 45

Soit la fonction f définie par f(x) = - (x - 1/2)^2 + 1/4

Montrer que la fonction f admet un maximum, puis le calculer

Answer 45

Comme - (x - 1/2)^2 &laquo_space;0 pour tout réel x, alors - (x - 1/2)^2 + 1/4 &laquo_space;1/4 avec f(1/2) = 1/4
On en déduit que f(x) &laquo_space;f(1/2) pour tout réel x
Donc la fonction f admet un maximum en x = 1/2 et ce maximum est égal à 1/4