C 11 - Calcul algébrique, équations et inéquations

Question 1

Comment procède la méthode arithmétique?

Answer 1

Déduction logique
Emission d’hypothèses
Validation/invalidation de ces hypothèses
Recherche de questions intermédiaires
Utilise des calculs relevant des 4 opérations définies dans les différents ensembles de nombres entiers

Question 2

Comment procède la méthode algébrique?

Answer 2

Consiste à travailler en 2 étapes :

• Choix des inconnues, mise en équations algébriques (ou inéquations algébriques)
• Résolution des équations ou inéquations
• Vérification et interprétation des résultats obtenus et rédaction de la solution du problème en reprenant les termes de l’énoncé

Question 3

En quelle classe est enseignée la méthode algébrique?

Answer 3

Au collège

Question 4

Avantage de la méthode algébrique par rapport à l’arithmétique?

Answer 4

Plus efficace et plus rapide

Question 5

Qu’est ce qu’un problème?

Answer 5

Une Situation (réelle ou fictive) qui débouche sur une interrogation dont on cherche scientifiquement la réponse
Résoudre le problème passe par l'application d'une méthode
Les problèmes de l'école élémentaire correspondent le plus souvent à des situations concrètes que l'on peut rencontrer dans la vie courante

Question 6

Priorisation des opérations en l’absence de parenthèses

Answer 6

Calcul des puissances
Multiplications / Divisions (même degré de priorité)
Additions / Soustractions (même degré de priorité)
Ecriture fractionnaire : le quotient est effectué après le calcul du numérateur et du dénominateur –> la barre du trait de fraction joue alors le rôle d’une parenthèse en termes de priorité

Question 7

Que ne faut-il pas oublier quand on supprimer les parenthèses précédées d’un signe - ?

Answer 7

De changer le signe de chaque terme à l'intérieur 
a-(b+c) = a-b-c
a- (b-c) = a - b + c
a - (-b+c) = a + b - c
a - (-b - c) = a + b +c

Question 8

A quoi sert une identité remarquable?

Answer 8

A développer plus rapidement

A résoudre les équations nécessitant une factorisation préalable

Question 9

(2x)^2 = 2x^2 ?

Answer 9

NON

(2x)^2 = (2^2) x (x^2) = 4x^2

Question 10

Développer une fraction c’est … ?

Answer 10

Transformer un produit de facteurs en une somme ou une différence de plusieurs termes

Question 11

Factoriser une fraction, c’est … ?

Answer 11

Transformer une somme ou une différence de termes en un produit de plusieurs facteurs
–> On recherche un facteur commun, qui peut être un nombre, une lettre ou une expression algébrique
Ex : (5x+1)(x - 3) - 2(x+5)(x-3) = (x-3)((5x+1)-2(x+5))

Question 12

a^n x a^m = ?

Answer 12

a^n+m

Question 13

(a^n)^m = ?

Answer 13

a^nxm

Question 14

(axb)^n = ?

Answer 14

a^n x b^n

Question 15

(a/b)^n = ?

Answer 15

a^n / b^n

Question 16

a^-n = ?

Answer 16

1/ a^n

Question 17

a^n / b^m = ?

Answer 17

a^(n-m)

Question 18

Pour multiplier un nombre par 10^n il faut … ?

Answer 18

Déplacer la virgule de n rangs vers la droite ou rajouter n 0 nécessaires

Question 19

Pour multiplier un nombre par 10^-n il faut … ?

Answer 19

Déplacer la virgule de (n-1) rangs vers la gauche ou enlever n 0 nécessaires

Question 20

Racine carrée de a (avec a>0)

Answer 20

L’unique nombre positif dont le carré est a

Question 21

Racine carrée de a x racine carrée de b = ?

Answer 21

Racine carrée de axb

Question 22

Racine carrée de a/b = ?

Answer 22

Racine carrée de a / racine carrée de b

Question 23

Racine carrée de a^2 si a est négatif

Answer 23

-a

Question 24

Racine carrée de a + b = racine carrée de a + racine carrée de b ?

Answer 24

NON

et Racine carrée de a^2 + b^2 n’est pas égal à a+ b

Question 25

Racine carrée de 2 et de 3?

Answer 25

Nombre irrationnels : on ne peut qu’en déterminer une valeur approchée car ne sont les carrés parfaits d’aucun nombre

Question 26

Par quoi peut être schématisée une égalité ?

Answer 26

Une balance à bras avec plateaux en équilibre

Question 27

Qu’est ce qu’une inégalité ?

Answer 27

Une relation qui établit un ordre entre 2 quantités

Question 28

Quand change-t-on le sens d’une inégalité?

Answer 28

En multipliant ou en divisant ses membres par un nombre négatif non nul
Ex : si c<0 et a<b>bc et a/c > b/c</b>

Question 29

Qu’est ce qu’une équation du 1e degré à une inconnue?

Answer 29

Est de la forme ax+B = 0

Est dite du 1er degré car l’inconnue x est à la puissance 1

Question 30

Par quoi est donné le degré d’une équation?

Answer 30

Par la plus grande puissance de x de l’équation (après développement des 2 membres)

Question 31

Qu’entend-t-on par résoudre une équation?

Answer 31

Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles l’équation devient une égalité

Question 32

Résoudre ax = -b

3 cas

Answer 32

• Si a différent de 0 = x = -(b/a)
• Si a = 0 et b = 0 alors 0x = 0 –> tout nombre réel est solution de l’équation S = R (l’ensemble des réels)
• Si a = 0 mais b différent de 0 : 0x = -b –> l’équation n’admet aucune solution, S = l’ensemble vide

Question 33

Qu’est ce qu’une équation produit?

Answer 33

Une équation de la forme (ax + b) (cx+d) = 0

C’est une équation du second degré particulière

Question 34

Comment résoudre une équation produit ? (ax + b) (cx+d) = 0

Answer 34

Il faut appliquer la propriété suivante: un produit de facteur est nul sis l’un de ses facteurs est nul
a x b = 0 ssi a = 0 ou b = 0
Ainsi (ax + b) (cx+d) = 0 équivaut à ax+b = 0 ou cx+d = 0
L’équation admet donc 2 solutions : x = -b/a ou x = -d/c
Plus simple à résoudre qu’une équation du second degré
A NOTER : au concours, toutes les équations du second degré peuvent être résolues en les ramenant à une équation produit

Question 35

Comment s’écrit l’ensemble des solutions d’une inéquation?

Answer 35

Sous forme d’un intervalle (que l’on peut aussi représenter sur une droite graduée)
Avec des limites inférieures et supérieures incluses et non incluses dans l’ensemble
Ex : x + 3 > 7 –> S = } 4 ; +inf {

Question 36

2 méthodes de résolution d’un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues

Answer 36

• Par substitution

- Par combinaison linéaire

Question 37

En quoi consiste la méthode de résolution par substitution et pour quelles équations est-elle recommandée ?

Answer 37

A exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans la 1ère équation du système et replacer cette expression dans la seconde –> on obtient une équation du 1er degré
Recommandé lorsque le coefficient d’une des inconnues est 1 ou -1

Question 38

En quoi consiste la méthode de résolution par combinaison linéaire et pour quelles équations est-elle recommandée ?

Answer 38

On élimine une des inconnues en effectuant une addition membre à membre des 2 égalités
Pour cela, on repère les coefficients d’une des 2 inconnues, on détermine leur PPCM et on s’arrange pour que les coefficients soient de signe opposés pour que leur somme soit nulle –> on obtient une équation du 1er degré

Question 39

Méthode pour développer et réduire une expression

Answer 39

Traiter les opérations par ordres de priorités

Grouper les termes par puissances décroissantes de x (une seule occurrence de chaque terme à une puissance donnée)

Question 40

Méthode pour factoriser une expression

Answer 40

Rechercher le facteur commun (et le faire apparaitre si besoin)
Le mettre en facteur et simplifier si besoin le contenu de la 2ème parenthèse
Si pas de facteur commun : utiliser les identités remarquables

Question 41

Qu’est ce qu’un carré parfait et comment l’utiliser?

Answer 41

Le résultat de la multiplication d’un nombre entier par lui même
On l’utilise pour réduire/simplifier des racines carrées
Ex : racine carrée de 48 = racine carrée de 3 x 16 = racine carrée de 3 x racine carrée de 16 = 4 racine carrée de 3

Question 42

Que se passe-t-il lorsqu’on a le signe - devant un trait de fraction?

Answer 42

C’est comme devant une parenthèse, le numérateur ou le dénominateur change de signe (pas les 2 en même temps)

Question 43

(a + b)^2 = ?

Answer 43

a^2 + 2ab + b^2

Question 44

(a - b)^2 = ?

Answer 44

a^2 - 2ab + b^2

Question 45

(a-b)(a+b) = ?

Answer 45

a^2 - b^2