C 11 - Calcul algébrique, équations et inéquations Flashcards
Comment procède la méthode arithmétique?
Déduction logique
Emission d’hypothèses
Validation/invalidation de ces hypothèses
Recherche de questions intermédiaires
Utilise des calculs relevant des 4 opérations définies dans les différents ensembles de nombres entiers
Comment procède la méthode algébrique?
Consiste à travailler en 2 étapes :
- Choix des inconnues, mise en équations algébriques (ou inéquations algébriques)
- Résolution des équations ou inéquations
- Vérification et interprétation des résultats obtenus et rédaction de la solution du problème en reprenant les termes de l’énoncé
En quelle classe est enseignée la méthode algébrique?
Au collège
Avantage de la méthode algébrique par rapport à l’arithmétique?
Plus efficace et plus rapide
Qu’est ce qu’un problème?
Une Situation (réelle ou fictive) qui débouche sur une interrogation dont on cherche scientifiquement la réponse Résoudre le problème passe par l'application d'une méthode Les problèmes de l'école élémentaire correspondent le plus souvent à des situations concrètes que l'on peut rencontrer dans la vie courante
Priorisation des opérations en l’absence de parenthèses
Calcul des puissances
Multiplications / Divisions (même degré de priorité)
Additions / Soustractions (même degré de priorité)
Ecriture fractionnaire : le quotient est effectué après le calcul du numérateur et du dénominateur –> la barre du trait de fraction joue alors le rôle d’une parenthèse en termes de priorité
Que ne faut-il pas oublier quand on supprimer les parenthèses précédées d’un signe - ?
De changer le signe de chaque terme à l'intérieur a-(b+c) = a-b-c a- (b-c) = a - b + c a - (-b+c) = a + b - c a - (-b - c) = a + b +c
A quoi sert une identité remarquable?
A développer plus rapidement
A résoudre les équations nécessitant une factorisation préalable
(2x)^2 = 2x^2 ?
NON
(2x)^2 = (2^2) x (x^2) = 4x^2
Développer une fraction c’est … ?
Transformer un produit de facteurs en une somme ou une différence de plusieurs termes
Factoriser une fraction, c’est … ?
Transformer une somme ou une différence de termes en un produit de plusieurs facteurs
–> On recherche un facteur commun, qui peut être un nombre, une lettre ou une expression algébrique
Ex : (5x+1)(x - 3) - 2(x+5)(x-3) = (x-3)((5x+1)-2(x+5))
a^n x a^m = ?
a^n+m
(a^n)^m = ?
a^nxm
(axb)^n = ?
a^n x b^n
(a/b)^n = ?
a^n / b^n
a^-n = ?
1/ a^n
a^n / b^m = ?
a^(n-m)
Pour multiplier un nombre par 10^n il faut … ?
Déplacer la virgule de n rangs vers la droite ou rajouter n 0 nécessaires
Pour multiplier un nombre par 10^-n il faut … ?
Déplacer la virgule de (n-1) rangs vers la gauche ou enlever n 0 nécessaires
Racine carrée de a (avec a>0)
L’unique nombre positif dont le carré est a
Racine carrée de a x racine carrée de b = ?
Racine carrée de axb
Racine carrée de a/b = ?
Racine carrée de a / racine carrée de b
Racine carrée de a^2 si a est négatif
-a
Racine carrée de a + b = racine carrée de a + racine carrée de b ?
NON
et Racine carrée de a^2 + b^2 n’est pas égal à a+ b
Racine carrée de 2 et de 3?
Nombre irrationnels : on ne peut qu’en déterminer une valeur approchée car ne sont les carrés parfaits d’aucun nombre
Par quoi peut être schématisée une égalité ?
Une balance à bras avec plateaux en équilibre
Qu’est ce qu’une inégalité ?
Une relation qui établit un ordre entre 2 quantités
Quand change-t-on le sens d’une inégalité?
En multipliant ou en divisant ses membres par un nombre négatif non nul
Ex : si c<0 et a<b>bc et a/c > b/c</b>
Qu’est ce qu’une équation du 1e degré à une inconnue?
Est de la forme ax+B = 0
Est dite du 1er degré car l’inconnue x est à la puissance 1
Par quoi est donné le degré d’une équation?
Par la plus grande puissance de x de l’équation (après développement des 2 membres)
Qu’entend-t-on par résoudre une équation?
Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles l’équation devient une égalité
Résoudre ax = -b
3 cas
- Si a différent de 0 = x = -(b/a)
- Si a = 0 et b = 0 alors 0x = 0 –> tout nombre réel est solution de l’équation S = R (l’ensemble des réels)
- Si a = 0 mais b différent de 0 : 0x = -b –> l’équation n’admet aucune solution, S = l’ensemble vide
Qu’est ce qu’une équation produit?
Une équation de la forme (ax + b) (cx+d) = 0
C’est une équation du second degré particulière
Comment résoudre une équation produit ? (ax + b) (cx+d) = 0
Il faut appliquer la propriété suivante: un produit de facteur est nul sis l’un de ses facteurs est nul
a x b = 0 ssi a = 0 ou b = 0
Ainsi (ax + b) (cx+d) = 0 équivaut à ax+b = 0 ou cx+d = 0
L’équation admet donc 2 solutions : x = -b/a ou x = -d/c
Plus simple à résoudre qu’une équation du second degré
A NOTER : au concours, toutes les équations du second degré peuvent être résolues en les ramenant à une équation produit
Comment s’écrit l’ensemble des solutions d’une inéquation?
Sous forme d’un intervalle (que l’on peut aussi représenter sur une droite graduée)
Avec des limites inférieures et supérieures incluses et non incluses dans l’ensemble
Ex : x + 3 > 7 –> S = } 4 ; +inf {
2 méthodes de résolution d’un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues
- Par substitution
- Par combinaison linéaire
En quoi consiste la méthode de résolution par substitution et pour quelles équations est-elle recommandée ?
A exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans la 1ère équation du système et replacer cette expression dans la seconde –> on obtient une équation du 1er degré
Recommandé lorsque le coefficient d’une des inconnues est 1 ou -1
En quoi consiste la méthode de résolution par combinaison linéaire et pour quelles équations est-elle recommandée ?
On élimine une des inconnues en effectuant une addition membre à membre des 2 égalités
Pour cela, on repère les coefficients d’une des 2 inconnues, on détermine leur PPCM et on s’arrange pour que les coefficients soient de signe opposés pour que leur somme soit nulle –> on obtient une équation du 1er degré
Méthode pour développer et réduire une expression
Traiter les opérations par ordres de priorités
Grouper les termes par puissances décroissantes de x (une seule occurrence de chaque terme à une puissance donnée)
Méthode pour factoriser une expression
Rechercher le facteur commun (et le faire apparaitre si besoin)
Le mettre en facteur et simplifier si besoin le contenu de la 2ème parenthèse
Si pas de facteur commun : utiliser les identités remarquables
Qu’est ce qu’un carré parfait et comment l’utiliser?
Le résultat de la multiplication d’un nombre entier par lui même
On l’utilise pour réduire/simplifier des racines carrées
Ex : racine carrée de 48 = racine carrée de 3 x 16 = racine carrée de 3 x racine carrée de 16 = 4 racine carrée de 3
Que se passe-t-il lorsqu’on a le signe - devant un trait de fraction?
C’est comme devant une parenthèse, le numérateur ou le dénominateur change de signe (pas les 2 en même temps)
(a + b)^2 = ?
a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = ?
a^2 - 2ab + b^2
(a-b)(a+b) = ?
a^2 - b^2
