C1 - Nombres entiers naturels, dénombrement

Question 1

Différence entre chiffre / nombre / numéro

Answer 1

Un chiffre est un caractère utilisé dans l’écriture d’un nombre ou d’un numéro
Un nombre est un concept abstrait, un objet mathématique qui répond à des lois précises (désigne des quantités, exprime des mesures, permet de résoudre des problèmes)
Un numéro est une combinaison de chiffres qui joue généralement le rôle d’une étiquette numérique (j’habite au 9 de la rue XXX) -> Ne respecte pas nécessairement une énumération

Question 2

Qu’est ce qu’un entier naturel?

Answer 2

Un nombre entier et positif

Question 3

Qu’est ce qu’une quantité discrète?

Answer 3

Une quantité constituée d’unités distinctes séparées
Ex : doigts de la main, moutons dans un troupeau

Par opposition à quantités continues

Question 4

Qu’est ce qu’une quantité continue?

Answer 4

Une quantité constituée d’unités non séparées
Ex : longueurs, capacités

Par opposition à quantités discrètes

Question 5

Qu’est ce qu’un axiome?

Answer 5

Une proposition, propriété, considérée comme vraie sans qu’il soit besoin de la démontrer

Question 6

Définition axiomatique de l’ensemble des entiers naturels selon Peano (5 axiomes)

Answer 6

• L’élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
• Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
• Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur.
• Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
• Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N

Question 7

Qu’est ce que N*?

Answer 7

L’ensemble N privé de zéro

Sous-ensemble de N

Question 8

Comment appelle-t-on le nombre d’éléments d’un ensemble A?

Answer 8

card A

“Nombre quantifiant”
“Nombre sans dimension”

Ex : ensemble des voyelles de l’alphabet :
A = (a,e,i,o,u)
card A = 6

Question 9

A U B

Answer 9

Ensemble réunion de A et de B
lire « A union B »
L’ensemble des éléments appartenant à A ou à B
Card(A U B) = card A + card B - card (A ∩ B )

Question 10

A ∩ B

Answer 10

L’ensemble intersection de A et de B
lire « A inter B »
L’ensemble des éléments de A qui sont également éléments de B

Question 11

Comment appelle-t-on des ensembles dont l’intersection est vide?

Answer 11

Ensembles disjoints

Noté ∅

Question 12

Avec quoi représente-t-on des ensembles?

Answer 12

Avec des diagrammes de Venn, appelés le plus souvent des diagrammes (des patates)

Question 13

Quels sont les 2 aspects d’un nombre?

Answer 13

• Cardinal (pour exprimer une quantité, le nombre d’éléments d’une collection)
• Ordinal (pour repérer la position dans une collection ordonnée)

Question 14

Comment appelle-t-on une succession de nombre qui se suivent en augmentant?
Ex 1 2 3 4 5

Et inversement?

Answer 14

Une suite ordonnée croissante

Question 15

Citer les 5 procédures de dénombrement “organisées”

Answer 15

• Organisation : regroupement et détermination d’une unité appropriée pour compter
• Utilisation d’un arbre de choix
• Utilisation d’un diagramme
• Utilisation d’un diagramme à double entrée
• Mémorisation de formules (ex : somme d’entiers naturels successifs)

Question 16

Dénombrer une collection en faisant des regroupements

4 étapes

Answer 16

• Observer des régularités dans la collection
• Faire des groupements selon ces régularités
• Etudier et compter l’un des groupes constitués
• Appliquer le résultat de cette étude à la collection pour connaitre le nombre de ses éléments

Ex : compter le nombre de zéro pour écrire tous les nombres de 111 à 999

Question 17

Dénombrer une collection en faisant des arbres de choix

Answer 17

• Constitution de l’arbre de choix
  Premières branches = nombre de premiers choix
  Pour chaque branche : continuer avec le nombre de choix suivants
• Vérifier que toutes les combinaisons sont bien différentes les unes des autres

Le nombre de possibilités différentes est alors
(Nbr de premiers choix) X (nbre deuxièmes choix) X ….

Question 18

3 difficultés dans la détermination d’une unité de comptage appropriée

Answer 18

• Ne pas oublier de compter une unité
• Ne pas en compter plusieurs fois la même
• Distinguer
  les ensembles à n éléments (comme les paires: compte pour 1, ordre sans importance)
  les n-uplets (comme les couples: compte pour 2, importance de l’ordre)

Question 19

Dénombrer 2 sous-populations à l’aide d’un diagramme de Venn

Answer 19

Card(A U B) = card A + card B - card (A ∩ B )

Question 20

Qu’est ce qu’un modèle ensembliste?

Answer 20

Représentation de la situation par un Diagramme de Venn

Question 21

Quand utilise-t-on un tableau à double entrée?

Answer 21

Dans la recherche de cardinaux d’ensembles résultants d’intersections ou de réunions
A préférer au diagramme de Venn lorsque la situation est plus complexe

Question 22

Formule d’une somme d’entiers naturels successifs

Ex : 1+2+3+4…..+n

Answer 22

n(n+1) / 2

Question 23

Bornes et intervalles

Answer 23

Le nombre de bornes est égal au nombre d’intervalles +1

Question 24

Que faire si on utilise un arbre de choix pour obtenir un nombre de paires?
indifférent (a,b) ou (b,a)

Answer 24

Diviser par deux car on aura obtenu le nombre de couples

Question 25

Nombre de possibilités différentes face à plusieurs choix en dénombrement

Answer 25

(Nbr de premiers choix) X (nbre deuxièmes choix) X ….

Question 26

Que permettent les entiers naturels?

5 utilités

Answer 26

• quantifier des quantités discrètes
• exprimer les mesures de quantités continues
• repérer une position
• numéroter
• résoudre des problèmes

Question 27

Avantage de l’utilisation d’un tableau à double entrée

Answer 27

Permet de compléter le tableau de manière déductive et par calcul

Question 28

L’ordre a-t-il une importance dans les ensembles à n éléments ?

Answer 28

NON
Chaque paire compte pour 1 seulement
Ex : (a;b) et (b;a) sont une seule et même paire

Question 29

L’ordre a-t-il une importance dans les n -uplets ?

Answer 29

OUI

Ex : avec UN ENSEMBLE DE 3 lettres, on peut former 6 TRIPLETS différents

Ex : (a;b) et (b;a) sont 2 COUPLES distincts formés par UNE PAIRE de 2 lettres

Question 30

Qu’est ce que le dénombrement?

Answer 30

L’activité qui consiste à trouver le nombre des éléments d’une collection