C1 - Nombres entiers naturels, dénombrement Flashcards
Différence entre chiffre / nombre / numéro
Un chiffre est un caractère utilisé dans l’écriture d’un nombre ou d’un numéro
Un nombre est un concept abstrait, un objet mathématique qui répond à des lois précises (désigne des quantités, exprime des mesures, permet de résoudre des problèmes)
Un numéro est une combinaison de chiffres qui joue généralement le rôle d’une étiquette numérique (j’habite au 9 de la rue XXX) -> Ne respecte pas nécessairement une énumération
Qu’est ce qu’un entier naturel?
Un nombre entier et positif
Qu’est ce qu’une quantité discrète?
Une quantité constituée d’unités distinctes séparées
Ex : doigts de la main, moutons dans un troupeau
Par opposition à quantités continues
Qu’est ce qu’une quantité continue?
Une quantité constituée d’unités non séparées
Ex : longueurs, capacités
Par opposition à quantités discrètes
Qu’est ce qu’un axiome?
Une proposition, propriété, considérée comme vraie sans qu’il soit besoin de la démontrer
Définition axiomatique de l’ensemble des entiers naturels selon Peano (5 axiomes)
- L’élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
- Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
- Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur.
- Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
- Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N
Qu’est ce que N*?
L’ensemble N privé de zéro
Sous-ensemble de N
Comment appelle-t-on le nombre d’éléments d’un ensemble A?
card A
“Nombre quantifiant”
“Nombre sans dimension”
Ex : ensemble des voyelles de l’alphabet :
A = (a,e,i,o,u)
card A = 6
A U B
Ensemble réunion de A et de B
lire « A union B »
L’ensemble des éléments appartenant à A ou à B
Card(A U B) = card A + card B - card (A ∩ B )
A ∩ B
L’ensemble intersection de A et de B
lire « A inter B »
L’ensemble des éléments de A qui sont également éléments de B
Comment appelle-t-on des ensembles dont l’intersection est vide?
Ensembles disjoints
Noté ∅
Avec quoi représente-t-on des ensembles?
Avec des diagrammes de Venn, appelés le plus souvent des diagrammes (des patates)
Quels sont les 2 aspects d’un nombre?
- Cardinal (pour exprimer une quantité, le nombre d’éléments d’une collection)
- Ordinal (pour repérer la position dans une collection ordonnée)
Comment appelle-t-on une succession de nombre qui se suivent en augmentant?
Ex 1 2 3 4 5
Et inversement?
Une suite ordonnée croissante
Citer les 5 procédures de dénombrement “organisées”
- Organisation : regroupement et détermination d’une unité appropriée pour compter
- Utilisation d’un arbre de choix
- Utilisation d’un diagramme
- Utilisation d’un diagramme à double entrée
- Mémorisation de formules (ex : somme d’entiers naturels successifs)
Dénombrer une collection en faisant des regroupements
4 étapes
- Observer des régularités dans la collection
- Faire des groupements selon ces régularités
- Etudier et compter l’un des groupes constitués
- Appliquer le résultat de cette étude à la collection pour connaitre le nombre de ses éléments
Ex : compter le nombre de zéro pour écrire tous les nombres de 111 à 999
Dénombrer une collection en faisant des arbres de choix
- Constitution de l’arbre de choix
Premières branches = nombre de premiers choix
Pour chaque branche : continuer avec le nombre de choix suivants - Vérifier que toutes les combinaisons sont bien différentes les unes des autres
Le nombre de possibilités différentes est alors
(Nbr de premiers choix) X (nbre deuxièmes choix) X ….
3 difficultés dans la détermination d’une unité de comptage appropriée
- Ne pas oublier de compter une unité
- Ne pas en compter plusieurs fois la même
- Distinguer
les ensembles à n éléments (comme les paires: compte pour 1, ordre sans importance)
les n-uplets (comme les couples: compte pour 2, importance de l’ordre)
Dénombrer 2 sous-populations à l’aide d’un diagramme de Venn
Card(A U B) = card A + card B - card (A ∩ B )
Qu’est ce qu’un modèle ensembliste?
Représentation de la situation par un Diagramme de Venn
Quand utilise-t-on un tableau à double entrée?
Dans la recherche de cardinaux d’ensembles résultants d’intersections ou de réunions
A préférer au diagramme de Venn lorsque la situation est plus complexe
Formule d’une somme d’entiers naturels successifs
Ex : 1+2+3+4…..+n
n(n+1) / 2
Bornes et intervalles
Le nombre de bornes est égal au nombre d’intervalles +1
Que faire si on utilise un arbre de choix pour obtenir un nombre de paires?
indifférent (a,b) ou (b,a)
Diviser par deux car on aura obtenu le nombre de couples
Nombre de possibilités différentes face à plusieurs choix en dénombrement
(Nbr de premiers choix) X (nbre deuxièmes choix) X ….
Que permettent les entiers naturels?
5 utilités
- quantifier des quantités discrètes
- exprimer les mesures de quantités continues
- repérer une position
- numéroter
- résoudre des problèmes
Avantage de l’utilisation d’un tableau à double entrée
Permet de compléter le tableau de manière déductive et par calcul
L’ordre a-t-il une importance dans les ensembles à n éléments ?
NON
Chaque paire compte pour 1 seulement
Ex : (a;b) et (b;a) sont une seule et même paire
L’ordre a-t-il une importance dans les n -uplets ?
OUI
Ex : avec UN ENSEMBLE DE 3 lettres, on peut former 6 TRIPLETS différents
Ex : (a;b) et (b;a) sont 2 COUPLES distincts formés par UNE PAIRE de 2 lettres
Qu’est ce que le dénombrement?
L’activité qui consiste à trouver le nombre des éléments d’une collection
