8. Tétel - 8. Gyakorisági sorok, gyakorisági sorok eloszlásának vizsgálata, koncentráció, aszimmetria Flashcards
Gyakoriság
Azt mutatja, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett egy-egy osztályba (osztályközbe) a sokaság hány egysége tartozik. Jele: fi
Relatív gyakoriságok
Azt mutatják, hogy a mennyiségi ismérv szerint képzett egy-egy osztályba (osztályközbe) a sokaságnak hányad része (hány százaléka) tartozik. Jele: gi
Kumulált gyakorisági sor
Megmutatja, hogy az adott osztályköz felső határának megfelelő és annál kisebb
ismérvértékek hányszor fordulnak elő. Jele fi’
Kumulált relatív gyakorisági sor
Megmutatja, hogy az adott osztályköz felső határának megfelelő és
annál kisebb ismérvértékek milyen arányban fordulnak elő. Jele gi’
Gyakorisági sorok vizsgálata
Gyakorisági sorok vizsgálata történhet átlagokkal, helyzeti középértékekkel és a szóródás vizsgálatával, viszont azonos, vagy közel azonos középértékekkel, szóródással rendelkező sokaságok eloszlása jelentősen eltérhet egymástól. Így további módszerek alkalmazhatók:
- a gyakorisági görbe további vizsgálata grafikusan és mutatószámok segítségével
- a valószínűségi eloszlások különböző típusainak elemzése.
Asszimetria
A gyakorisági sorokat ábrázolva megállapítható, h a görbék igencsak változatosak lehetnek, de nagy többségük szabályszerűséget mutat. Így besorolhatóak az alábbi típusokba:
- egymóduszú
- szimmetrikus
- aszimmetrikus (v ferde)
- többmóduszú eloszlás.
Többmóduszú gyakorisági sorok
Általában heterogén sokaságból származtathatók. A fősokaságot a heterogenitást előidéző ismérv szerint csoportosítva egymóduszú gyakorisági sorokhoz jutunk, ezért ezeket összetett gyakorisági soroknak is nevezzük.
Egymóduszú gyakorisági sorok és jellegzetteségei
Az egymóduszú gyakorisági sorok poligonjának egy helyi maximuma van. A helyzetmutatók elhelyezkedésétől függően az eloszlás szimmetrikus vagy aszimmetrikus lehet.
Az egymóduszú eloszlások jellegzetességei:
A leggyakoribb asszimetria a bal oldali. Azoknál a jelenségeknél fordul elő, ahol a 0 érték vagy valamilyen, a jelenség természetéből adódó minimális érték alsó korlátot képez (pl fizetések esetében a minimálbér), míg ellenkező irányban nem létezik ilyen korlát. Felülről korlátos jelenségeknél jobboldali asszimetriáttapasztalunk.
A baloldali aszimmetriájú eloszlásokat gyakran jobbra hosszan elnyúló eloszlásoknak nevezi. A jobboldali aszimmetriát mutató eloszlásokat pedig balra hosszan elnyúló aszimmetriának.
Pearson-féle A mutató. – jele: A
A következő mutatók számba sűrítve fejezik ki az aszimmetria fennállását, irányát és fokát. Arra a kérdésre
keressük a választ, hogy milyen mértékűnek ítélhető a szimmetrikushoz képest az megoszlás aszimmetriája,
ferdesége.
A számtani átlag és a módusz nagyságrendi viszonyán alapul: A=(´x−Mo)/σ
A számlálóban lévő különbség nagysága a ferdeség fokán kívül a szóródás nagyságától is függ. Nagymértékű szóródás esetén ugyanis a különbség akkor is viszonylag nagy lehet, ha az aszimmetria kisfokú. Ezért, ha a két középérték különbségét elosztjuk a szórással, olyan mérőszámot kapunk, melynek
értékéből következtetni tudunk az aszimmetria mértékére. A mérőszám előjele az aszimmetria irányát mutatja. Ha A>0 – bal oldali, jobbra elnyúló asszimetriáról, A<0 – jobb oldali, balra elnyúló aszimmetriáról, A=0 esetén szimmetrikus eloszlásról beszélünk. A mérőszám abszolút értékének nincs határozott felső korlátja, azonban már 1-nél nagyobb érték erős aszimmetriára utal.
F - mutató
A következő mutatók számba sűrítve fejezik ki az aszimmetria fennállását, irányát és fokát. Arra a kérdésre
keressük a választ, hogy milyen mértékűnek ítélhető a szimmetrikushoz képest az megoszlás aszimmetriája,
ferdesége.
Az alsó és felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul. Bal oldali,
jobbra elnyúló aszimmetria esetén a medián az alsó (Q1), míg jobb oldali aszimmetria esetén a felső (Q3)
kvartilishez esik közelebb:
F=(Q 3−Me)−(Me−Q1)/(Q3−Me)+(Me−Q 1)
Abszolút értékének határozott felső korlátja van F ≤1
Az F-mutató ugyanolyan feltételek mellett ad nulla, pozitív és negatív eredményt, mint az A mutató. Az F mutató lényegesen kisebb értékkel jelzi a már nagyfokúnak tekinthető aszimmetriát, mint az A.
Az F mutató többmóduszú eloszlásoknál is használható a ferdeség vizsgálatára. Több gyakorisági sor ferdeségének összehasonlításakor, valamint ugyanazon jelenség eloszlásának időbeli vizsgálatára azonban mindig ugyanazt a mérőszámot kell használni.
Koncentráció
A következő mutatók számba sűrítve fejezik ki az aszimmetria fennállását, irányát és fokát. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy milyen mértékűnek ítélhető a szimmetrikushoz képest az megoszlás aszimmetriája, ferdesége.
A koncentráción általában tömörülést, összpontosulást értünk. Például a népesség nagy része a nagyobb településeken, városokban összpontosul.
Vizsgálatának egyik legfontosabb és legelterjedtebb eszköze a Lorenz-görbe, mely a koncentráció meglétén kívül annak mértékét is szemléletesen mutatja. A Lorenz-görbe egy egységnyi oldalú négyzetben elhelyezett vonaldiagram, mely a kumulált relatív gyakoriságok (g’i) függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszeget (z’i).
A P(0,0) pontból kiindulva a P(g’i;z’i) pontokkal egyenes szakaszokat összekötjük. A görbe végpontja a P(1;1) lesz. Koncentráció hiánya esetén a görbe egybeesik az átlóval. Minél távolabb esik a görbe az átlótól, annál nagyobb fokú a koncentráció. A görbe és az átló által bezárt területet koncentrációs területnek nevezzük. Ha a koncentrációs területet a háromszög területéhez viszonyítjuk, akkor a hányados alapján következtetni tudunk a koncentráció fokára. A koncentrációs terület arányát a koncentrációs együtthatóval (jele: K) mérjük: K=G/2 x
(0 ≤K≤1), ahol:
- G: az átlagos különbség (Gini-féle szóródási mérőszám)
- x̅ az ismérvek átlaga.
Box & whiskers ábra
A következő mutatók számba sűrítve fejezik ki az aszimmetria fennállását, irányát és fokát. Arra a kérdésre
keressük a választ, hogy milyen mértékűnek ítélhető a szimmetrikushoz képest az megoszlás aszimmetriája,
ferdesége.
A kvartilisek felhasználásával készített grafikus összegzés. A mennyiségi ismérv eloszlásának tömör jellemzését, összefoglalását adja. Az alábbi jellemzőket használja Xmin, Q1, Me, Q3, Xmax.
Az ábra egy egenesen helyezi el az öt jellemzőt oly módon hogy a Q1, Me, és Q3 felhasználásával az adatok középső 50%-át egy dobozba zárva tünteti fel.
