20. Kétváltozós lineáris regresszió modellje, a regressziófüggvény meghatározásának módja, a regressziós együtthatók becslése, a paraméterek értelmezése

Question 1

Az analitikus regresszió számítás célja

Answer 1

Az analitikus regresszió számítás célja: a tényezőváltozónak (x) az eredményváltozóra (y) gyakorolt hatását valamilyen matematikai modell segítségével fejezze ki.

Question 2

Leggyakoribb regresszió függvények:

Answer 2

A leggyakoribb regresszió függvények:
 - lineáris regresszió,
 - hatványkitevős regresszió,
 - exponenciális regresszió,
 - parabolikus regresszió,
 - hiperbolikus regresszió

Question 3

A kétváltozós lineáris regresszió modellje és meghatározásának módja

Answer 3

Legyen X egy tényezőváltozó és Y egy eredményváltozó.

Tételezzük fel, hogy X lineáris törvényszerűség szerint fejti ki hatását Y-ra, illetve közrejátszik egy véletlen mozzanat is. Ezt a „zavaró hatást” a modellben egy valószínűségi változó képviseli.

A lineáris (törvényszerű) és a véletlen tényező természetesen egyidejűleg fejti ki a hatását, így a két változó kapcsolatának a formulája:
ahol β0 és β1 az általunk ismeretlen, de a valóságban létezőnek tekintett (posztutált) lineáris kapcsolat paraméterei, amelynek összefoglaló neve regressziós együttható, továbbá ε egy véletlen
változó, amely a „zavaró hatást” képviseli.
 ε, véletlen változóról feltételezzük, hogy várható értéke 0, szórása állandó és εi változók páronként korrelálatlanok. Az eredményváltozó várható értéke az X=xi feltétel mellett nem függ a véletlentől,
csupán az xi értékétől, a lineáris összefüggés szerint. Ezt a feltételes várható értéket lineáris
regressziófüggvénynek nevezzük.

Question 4

A regressziós együtthatók becslése, a paraméterek értelmezése

Answer 4

A regressziós együtthatók becslése, a paraméterek értelmezése:

A lineáris regresszió ismeretlen β0 és β1 paramétereinek becsléséhez (xi, yi) adatpárokkal rendelkezünk.

Jelöljük a regressziós együtthatók becsült értékeit rendre b0 és b1 szimbólumokkal, így a
becsült regressziófüggvény:
 A μi feltételes várható érték becslése valamely rögzített X=xi helyen ennek megfelelően:
A becsült regressziós együtthatók kiszámításához a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk.
 b0 és b1 paraméterek becslései a legkisebb négyzetek módszerével:

A legkisebb négyzetek módszere szerint azzal az egyenessel becsüljük a lineáris regressziófgv-t, amelyre nézve a négyzetösszeg a legkisebb értéket vesz fel.

Ez a követelmény egy többváltozós szélsőérték feladathoz vezet, amelyből az alábbi ún.
normálegyenletet nyerjük:
Szélsőérték adott helyen akkor lehet, ha:

Az eredmények értelmezése:
 bo
regressziós együttható jelentőségét az adja meg, hogy az X=0 helyen a fgv éppen ezt az
értéket veszi fel. Értelmezése tehát attól függ, hogy a 0 beletartozik-e azon X értékek halmazába, amelyből a regressziót számítottuk, vagy legalábbis logikailag az értelmezési tartomány részének
tekinthető-e.
 b1
regressziós együttható geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó
iránytangens, azaz
dy/dx
A korrelációs kapcsolat elemzésekor ebből azt olvashatjuk le, hogy a tényezőváltozó egységnyi változása mekkora hatással ját együtt az eredményváltozóban.

Question 5

EGYSZERŰBBEN

Answer 5

A kétváltozós lineáris regresszió modellje egy olyan statisztikai modell, amely azt vizsgálja, hogy két változó között milyen lineáris kapcsolat van. A modell célja a regressziófüggvény meghatározása, amely azt jelenti, hogy próbáljuk megtalálni azt a lineáris összefüggést, amely legjobban illeszkedik a rendelkezésre álló adatokhoz.

A regressziófüggvény általában a következő alakban írható fel:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βnxn + ε

ahol y a függő változó, x1, x2, …, xn pedig a független változók. β0, β1, β2, …, βn a regressziós együtthatók, amelyek meghatározzák a független változók hatását a függő változóra. ε pedig a hiba vagy a zaj, amely a modellből nem magyarázható változásokat jelenti.

A regressziós együtthatók becslése a modell paramétereinek kiszámítása a rendelkezésre álló adatok alapján. A leggyakrabban használt becslési módszer a legkisebb négyzetek módszere (ordinary least squares, OLS), amely a legjobban illeszkedő regressziós vonalat vagy hipersíkot keresi az adatok között. Az OLS módszer célja, hogy minimalizálja a négyzetes hibát a modell és az adatok között.

Az együtthatók értelmezése a modellben a következő:

β0 (intercept): Ez az együttható a modell alapértéke vagy kezdőértéke, amikor a független változók értékei 0. Általában az y tengely metszéspontját jelenti.

β1, β2, …, βn (slope coefficients): Ezek az együtthatók meghatározzák a független változók hatását a függő változóra. Tehát ha egy adott független változó értéke egységnyivel növekszik, akkor a hozzá tartozó együttható hatására a függő változó mennyisége mennyivel változik.

Fontos megjegyezni, hogy a regressziós együtthatók értelmezése a konkrét alkalmazástól függ. Az együtthatók értelmezése általában a változók típusától és a probléma természetétől függően változik. Az együtthatók értelmezését és jelentőségét

User
Érthetően és egyszerűen magyarázd el: A kétváltozós lineáris regresszió modellje és meghatározásának módja:

ChatGPT
A kétváltozós lineáris regresszió modell egy olyan matematikai módszer, amely segít megtalálni a két változó közötti lineáris kapcsolatot. Ez a modell arra törekszik, hogy egyenes vonalat húzzon a rendelkezésre álló adatpontok között, és ezzel becsülje meg a függő változót (y) a független változó (x) alapján.

A regressziómodell létrehozásához szükségünk van adatokra, amelyek tartalmazzák mindkét változó értékét. Például, ha érdekel minket, hogyan függ az egyén fizetése (függő változó) a munkaévektől (független változó), akkor adatokat gyűjtünk, amelyekben minden adatpont tartalmazza az adott személy fizetését és a munkaéveket.

A regressziós modell meghatározásának módja a legkisebb négyzetek módszere. Ennek lényege, hogy az adatokhoz a legjobban illeszkedő egyenes vonalat vagy síkot keressünk. Az illeszkedést a négyzetes hiba minimalizálásával értékeljük, ami azt jelenti, hogy a modell és az adatok közötti különbséget minimalizáljuk. Azaz az egyenes vonal (a regressziófüggvény) úgy kerül meghatározásra, hogy a rajta lévő pontok közötti távolságok négyzetösszege a lehető legkisebb legyen.

A regressziófüggvény általában így néz ki: y = β0 + β1x1 + ε. Ahol y az előrejelzendő érték (függő változó), x1 a magyarázó változó (független változó), β0 és β1 a regressziós együtthatók (paraméterek), ε pedig a hiba vagy a zaj.

A regressziós együtthatók becslése az adatok alapján történik. Azaz az egyenes vonalat vagy síkot úgy helyezzük el a pontok között, hogy a négyzetes hibát minimalizáljuk. Ez a becslési módszer azt jelenti, hogy meghatározzuk a legjobban illeszkedő egyenes meredekségét (β1) és az egyenes metszéspontját az y tengellyel (β0).
ÉRTELMEZÉSE
Az együtthatók értelmezése egyszerűen azt jelenti, hogy milyen hatással van a független változó a függő változóra. A β0 (intercept) az a kezdőérték, amikor a független változók értékei mind 0. Ez az együttható általában az y tengelyt metszi, és azt mutatja, hogy milyen értékeket vesz fel a függő változó, amikor a független változók értékei nulla.

A β1 (slope coefficient) pedig azt mutatja, hogy milyen mértékben változik a függő változó, amikor a független változó egységgel növekszik. Ha a β1 pozitív, akkor a függő változó növekszik a független változóval együtt, míg ha negatív, akkor a függő változó csökken a független változó növekedésével. A β1 abszolút értéke azt is jelzi, hogy mekkora mértékben változik a függő változó a független változó egységgel történő változása esetén.

Az együtthatók értelmezése a konkrét problémától függ. Például, ha egy lineáris regressziót alkalmazunk a fizetés és a munkaévek közötti kapcsolat elemzésére, akkor a β0 az alapfizetést jelentheti, amikor a munkaévek nulla. A β1 pedig azt mutatja, hogy hány egységgel változik a fizetés egy év munkatapasztalattal történő növekedése esetén.

Fontos megérteni, hogy a lineáris regresszió modell feltételezi, hogy a kapcsolat lineáris, tehát a változók közötti összefüggés egyenes vonallal jellemezhető. Az is fontos, hogy más tényezők is befolyásolhatják a függő változót, amelyek nem szerepelnek a modellben. Emiatt a regressziós modell és az együtthatók értelmezése mindig kontextusfüggő és az adott problémától függ.