01 Нерівності та системи нерівностей -- 05 Раціональні нерівності

Question 1

Раціональною нерівністю з однією змінною x називають нерівність виду f(x) < g(x) , де f(x) і g(x)

Answer 1

раціональні вирази, тобто алгебраїчні вирази, складені з чисел, змінної x і за допомогою математичних дій, тобто операцій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня.

Question 2

За допомогою рівносильних перетворень раціональну нерівність зводять до вигляду h(x) < 0, де

Answer 2

h(x) — алгебраїчний дріб або многочлен і застосовують метод інтервалів.

Question 3

Позначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього

Answer 3

з кожного інтервалу достатньо взяти по одному значенню і підставити замість x у тричлен.

Question 4

Квадратний тричлен приймає

Answer 4

додатні значення на інтервалах (−∞;−0,5) і (4;+∞) .
https://yklua-resources.azureedge.net/870a9f31-dd80-4a0c-bf69-70bb881e7ac9/46_t01.png
То есть мы не берем интервал (−0,5;4), потому что там отрицательное значение. Мы не берем отрицательные интервали, только потому что в условие задачи выглядит так: h(x) > 0. И это значит, что нам нужно выбрать только положительные интервали.

Question 5

Позначимо на координатній прямій нулі функції і знайдемо знаки функції на кожному проміжку.
Досить знати, який знак має функція в одному з цих проміжків, і, користуючись

Answer 5

властивістю чергування знаків, визначити знаки у всіх інших проміжках.

Question 6

(x−7)(x+2) < 0

Розв’язати дану нерівність — це означає відповісти на запитання,

Answer 6

за яких значень x функція приймає від’ємні значення, отже, розв’язком нерівності є множина значень x з проміжку (−2;7) .
Відповідь: x ∈ (−2;7) .

Question 7

5/x−11 > 0

Оскільки, чисельник дробу 5 — число додатне, тоді

Answer 7

значення нерівності залежать від знаменника, тому перейдемо до нерівності

Question 8

f(x) / g(x) > 0, якщо

Answer 8

{f(x) > 0
{g(x) > 0
або
{f(x) < 0
{g(x) < 0

Question 9

f(x) / g(x) < 0, якщо

Answer 9

{f(x) > 0
{g(x) < 0
або
{f(x) < 0
{g(x) > 0

Question 10

f(x) / g(x) ≥ 0, якщо

Answer 10

{f(x) ≥ 0
{g(x) > 0
або
{f(x) ≤ 0
{g(x) < 0

Question 11

f(x) / g(x) ≤ 0, якщо

Answer 11

{f(x) ≥ 0
{g(x) < 0
або
{f(x) ≤ 0
{g(x) > 0

Question 12

Нерівність — твердження про те, що

Answer 12

два математичні об’єкти є різними, тобто не дорівнюють один одному.